(高年級(jí) 老師用)第七講：盈虧問(wèn)題.doc

品淘?shī)W數(shù)（高年段 老師用）第七講：盈虧問(wèn)題專(zhuān)題簡(jiǎn)析：盈虧問(wèn)題又叫盈不足問(wèn)題，是指把一定數(shù)量的物品平均分給固定的對(duì)象，如果按某種標(biāo)準(zhǔn)分，則分配后會(huì)有剩余（盈）；按另一種標(biāo)準(zhǔn)分，分配后又會(huì)有不足（虧），求物品的數(shù)量和分配對(duì)象的數(shù)量。這種一盈一虧的情況，就是我們通常據(jù)說(shuō)的標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問(wèn)題。盈虧問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系是：（盈+虧）兩次所分之差=人數(shù)；還有一些非標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問(wèn)題，它們被分為四類(lèi)：1、兩盈：兩次分配都有多余；2、兩不足：兩次分配都不夠；3、盈適足：一次分配有余，一次分配夠分；3、不足適足：一次分配不夠，一次分配正好。一些非標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問(wèn)題都是由標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問(wèn)題演變過(guò)來(lái)的。解題時(shí)我們可以記住：1、“兩盈”問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系是：兩次盈數(shù)的差兩次分得的差=參與分配對(duì)象總數(shù)；2、“兩虧”問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系是：兩次虧數(shù)的差兩次分得的差=參與分配對(duì)象總數(shù)；3、“一盈一虧”問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系是：盈與虧的和兩次分得的差=參與分配對(duì)象總數(shù)。小試牛刀1、老猴子給小猴子分梨。每只小猴子分6個(gè)梨，就多出12個(gè)梨；每只小猴子分7個(gè)梨，就少11個(gè)梨。有幾只小猴子和多少個(gè)梨？分析與解答：每只小猴子分6個(gè)梨則多12個(gè)梨；每只小猴子分7個(gè)梨就少11個(gè)梨，這說(shuō)明小猴子的總只數(shù)為：121123（只），也就是說(shuō)：不足的個(gè)數(shù)多余的個(gè)數(shù)小猴子的只數(shù)。即：小猴子的只數(shù)為：121123（只）梨子的個(gè)數(shù)為：23612150（個(gè)）或：23711150（個(gè)）2、麗麗阿姨給幼兒園小朋友分蘋(píng)果。如果每人分3個(gè)，多16個(gè)；如果每人分5個(gè)，那么就差4個(gè)。有多少個(gè)小朋友？有多少個(gè)蘋(píng)果？分析與解答：先比較兩種分法中各個(gè)量之間的關(guān)系：每人分3個(gè)，余16個(gè)蘋(píng)果。每人分5個(gè)，還差4個(gè)蘋(píng)果。這兩次分蘋(píng)果，每人相差的個(gè)數(shù)為：532（個(gè)）。第1次余16個(gè)，第2次少4個(gè)，那么第2次與第1次總共相差蘋(píng)果的個(gè)數(shù)為：41620（個(gè)）。每人相差2個(gè)，結(jié)果總數(shù)就相差20個(gè)。即：有小朋友的人數(shù)為：20210（人）有蘋(píng)果的個(gè)數(shù)為：3101646（個(gè)）或510446（個(gè)）綜合算式：（416）（53）10（人），3101646（個(gè)）。3、小朋友分糖果，若每人分4粒則多9粒；若每人分5粒則少6粒。問(wèn)：有多少個(gè)小朋友分多少粒糖？分析與解答：由題目條件可以知道，小朋友的人數(shù)與糖的粒數(shù)是不變的。比較兩種分配方案，第一種方案每人分4粒就多9粒，第二種方案每人分5粒就少6粒，兩種不同的方案一多一少相差9615（粒）。相差的原因在于兩種方案的分配數(shù)不同，第一種方案每人分4粒，第二種方案每人分5粒，兩次分配數(shù)之差為541（粒）。每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人數(shù)為15115（人），糖果的粒數(shù)為：415969（粒）。即：（96）（5-4）15（人），415969（粒）。4、泉州實(shí)驗(yàn)小學(xué)學(xué)生乘汽車(chē)到西湖公園去春游。如果每車(chē)坐65人，則有15人不能乘車(chē)。如果每車(chē)多坐5人，恰好多余了一輛車(chē)。一共有幾輛汽車(chē)？有多少學(xué)生？分析與解答：每車(chē)多坐5人，也就是每車(chē)坐70人，恰好多余了一輛車(chē)，也就是還差一輛車(chē)的人，即70人。因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：如果每車(chē)坐65人，則有15人不能乘車(chē)。如果每車(chē)坐70人，則還差70人。求有多少人和多少輛汽車(chē)。即：（1570）（7065）17（輛），6517151120（人）。5、老師拿來(lái)一批樹(shù)苗，分給一些同學(xué)去栽，每人每次分給一棵，一輪一輪往下分，當(dāng)分剩下12棵時(shí)不夠每人分一棵了，如果再拿來(lái)8棵，那么每個(gè)同學(xué)正好栽10棵。問(wèn)參加栽樹(shù)的有多少名同學(xué)？原有樹(shù)苗多少棵？分析與解答：當(dāng)分剩下12棵時(shí)不夠每人分一棵了，如果再拿來(lái)8棵，那么每個(gè)同學(xué)正好栽10棵。通過(guò)這一句話(huà)，我們可以知道參加種樹(shù)的同學(xué)一共有12+8=20人，加上再拿來(lái)的8棵，一共有2010=200棵。所以，原有樹(shù)苗=200-8=192棵。即：有同學(xué)12+8=20名，原有樹(shù)苗2010-8=192棵。挑戰(zhàn)自我1、少先隊(duì)員去植樹(shù)，如果每人挖5個(gè)樹(shù)坑，還有3個(gè)樹(shù)坑沒(méi)人挖；如果其中兩人各挖4個(gè)樹(shù)坑，其余每人挖6個(gè)樹(shù)坑，就恰好挖完所有的樹(shù)坑。請(qǐng)問(wèn)，共有多少名少先隊(duì)員？共挖了多少樹(shù)坑？分析與解答：這是一個(gè)典型的盈虧問(wèn)題，關(guān)鍵在于要將第二句話(huà)“如果其中兩人各挖4個(gè)樹(shù)坑，其余每人挖6個(gè)樹(shù)坑，就恰好挖完所有的樹(shù)坑”統(tǒng)一一下。即：應(yīng)該統(tǒng)一成每人挖6個(gè)樹(shù)坑，形成統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。那么它就相當(dāng)于每人挖6個(gè)樹(shù)坑，就要差（6-4）2=4個(gè)樹(shù)坑。這樣，盈虧總數(shù)就是3+4=7，所以，有少先隊(duì)員7（6-5）=7名，共挖了57+3=38個(gè)坑。即：盈虧總數(shù)等于3+（6-4）2=7，少先隊(duì)員有7（6-5）=7名，共挖了57+3=38個(gè)樹(shù)坑。2、某班學(xué)生去劃船，如果增加一條船，那么每條船正好坐6人；如果減少一條船，那么每條船就要坐9人。問(wèn)：學(xué)生有多少人？分析與解答：本題也是盈虧問(wèn)題，為清楚起見(jiàn)，我們將題中條件加以轉(zhuǎn)化。假設(shè)船數(shù)固定不變，題目的條件“如果增加一條船，那么每條船正好坐6人”表示“如果每船坐6人，那么有6人無(wú)船可坐”；“如果減少一條船，那么每條船就要坐9人”表示“如果每船坐9人，那么就空出一條船”。這樣，用盈虧問(wèn)題來(lái)做，盈虧總額為69=15（人），兩次分配的差為9-63（人）。即：（69）（9-6）5（條），656=36（人）。3、王師傅加工一批零件，每天加工20個(gè)，可以提前1天完成。工作4天后，由于改進(jìn)了技術(shù)，每天可多加工5個(gè)，結(jié)果提前3天完成。問(wèn)：這批零件有多少個(gè)？分析與解答：每天加工20個(gè)，如果一直加工到計(jì)劃時(shí)間，那么將多加工20個(gè)零件；改進(jìn)技術(shù)后，如果一直加工到計(jì)劃時(shí)間，那么將多加工（205）375（個(gè)）。盈虧總額為75-055（個(gè)）。兩種加工的速度比較，每天相差5個(gè)。根據(jù)盈虧問(wèn)題的公式，從改進(jìn)技術(shù)時(shí)到計(jì)劃完工的時(shí)間是55511（天），計(jì)劃時(shí)間為11415（天），這批零件共有20（15-1）280（個(gè)）。4、幼兒園將一筐蘋(píng)果分給小朋友。如果分給大班的小朋友每人5個(gè)則余10個(gè)；如果分給小班的小朋友每人8個(gè)則缺2個(gè)。已知大班比小班多3個(gè)小朋友，問(wèn)這筐蘋(píng)果共有多少個(gè)？分析與解答：分給大班的小朋友每人5個(gè)則余10個(gè)，大班比小班多3個(gè)小朋友，相當(dāng)于分給小班的小朋友每人5個(gè)則余10+35=25個(gè)，盈虧總數(shù)=25+2=27，小班人數(shù)=27（8-5）=9人，蘋(píng)果有95+25=70個(gè)。5、同學(xué)們暑假前到圖書(shū)館借書(shū)，如果每人借4本，則最后少2本；如果前2人每人先借8本，余下的人每人借3本，這些圖書(shū)恰好借完，書(shū)的總數(shù)是多少？分析與解答：第二種借法中如果每人借3本，則余下：（83）210（本）； 兩種借法每人相差：431（本）；兩種借法相差本數(shù)：10212（本） 借書(shū)的總?cè)藬?shù)：12112（人）；書(shū)的總數(shù)：412246（本）智慧一加一1、張宇上午7時(shí)25分從家里出發(fā)到校上課。如果每分鐘走50步，離上課還有7分鐘；如果每分鐘走35步，就要遲到5分鐘。求學(xué)校的上課時(shí)間。分析與解答：這種盈虧問(wèn)題的另一種比較常見(jiàn)的類(lèi)型。主要是在計(jì)算盈虧總數(shù)時(shí)必須注意量的單位的統(tǒng)一。這里，盈虧總數(shù)不是7+5=12分，而是750+535=525步。所以，準(zhǔn)點(diǎn)到校用時(shí)為525（50-35）=35分鐘。所以，上課時(shí)間是8點(diǎn)。 即：準(zhǔn)點(diǎn)到校的用時(shí)=（750+535）（50-35）=35分鐘，學(xué)校上課時(shí)間為8點(diǎn)。2、有兩根同樣長(zhǎng)的繩子，第一根平均剪成5段，第二根平均剪成7段，第一根剪成的每段比第二根剪成的每段長(zhǎng)2米。原來(lái)每根繩子長(zhǎng)多少米？分析與解答：第一根剪成的每段比第二根剪成的每段長(zhǎng)2米。那么，如果同樣是5段的話(huà)，第二種就要比第一種少52=10米，現(xiàn)在第二種7段和第一種5段一樣長(zhǎng)，說(shuō)明第二種的兩段長(zhǎng)是10米，也就是說(shuō)每一段為102=5米。所以，繩子長(zhǎng)為57=35米。即：原來(lái)每根繩子長(zhǎng)為7（252）=35米。3、小明的爺爺買(mǎi)回一筐梨，分給全家人。如果小明和小紅每人分4個(gè)梨，其余每人分2個(gè)梨，還多出4個(gè)梨。如果小明1人分6個(gè)梨，其余每人分4個(gè)梨，又差12個(gè)梨。小明家有多少人？這筐梨子有多少個(gè)？分析與解答：第一種分法是小明、小紅各4個(gè)梨，其余每人2個(gè)梨，多余4個(gè)梨。假設(shè)小明、小妹也分2個(gè)梨，那么會(huì)多多少個(gè)梨呢？很容易想，多出：2248（各）。第二種分法是小明一人得6個(gè)梨，其余每人4個(gè)梨，差12個(gè)梨。假設(shè)小明也只分4個(gè)，那么就只差：12210（個(gè)）。即：小明家的人數(shù)為：224（122）2182=9（人）。梨子的個(gè)數(shù)為：422（92）426（個(gè)）或：64（91）1226（個(gè)）。4、蘋(píng)果和梨各有若干只。如果5只蘋(píng)果和3只梨裝一袋，蘋(píng)果還多4只，梨恰好裝完；如果7只蘋(píng)果和3只梨裝一袋，蘋(píng)果恰好裝完，梨還多12只。那么蘋(píng)果和梨共有多少只？分析與解答：7只蘋(píng)果和3只梨裝一袋比5只蘋(píng)果和3只梨裝一袋多了2只蘋(píng)果，梨從剛好到多12只，相當(dāng)于把原來(lái)裝好的袋拿出了123=4袋，抽出