概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)22連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布.ppt

1 2 2連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布1 連續(xù)型隨機(jī)變量2 均勻分布3 指數(shù)分布4 正態(tài)分布 2 在前面我們學(xué)習(xí)一類離散型隨機(jī)變量 主要特點(diǎn)是它僅取有限或可數(shù)個(gè)值 并且取每個(gè)值的概率大于0 但在實(shí)際問題中 我們時(shí)常需要考慮另外一類隨機(jī)變量 如 1 隨機(jī)地向區(qū)間 0 1 上投點(diǎn) 其落點(diǎn)的位置 可在 0 1 上取值 2 日光燈泡的使用壽命可在 0 上取值等 更為重要的是 它們?nèi)∶總€(gè)給定值的可能性均為0 這時(shí) 我們該怎樣刻畫這些隨機(jī)變量呢 1 連續(xù)型隨機(jī)變量 3 定義2 2 1設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F x 若存在非負(fù)可積函數(shù)f x 使得對于任意實(shí)數(shù)x 都有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量 稱f x 為X的概率密度函數(shù) ProbabilityDensityFunction 簡稱概率密度或密度函數(shù) 4 由定義可知 連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F x 在x點(diǎn)的函數(shù)值等于其概率密度函數(shù)f x 在區(qū)間 x 上的積分 故同時(shí) 密度函數(shù)f x 反映了概率在x點(diǎn)附近的 密集程度 所以用密度函數(shù)描述連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布與離散型隨機(jī)變量用分布列描述 在某種意義上有相似之處 5 一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布由它的密度函數(shù)所決定 F x 的值在幾何上可以表達(dá)為t軸以上曲線y f t 以下直線t x以左部分的面積 6 類似于離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)f x 具有如下基本性質(zhì) 反過來 若已知一個(gè)函數(shù)f x 滿足上述性質(zhì) 1 和 2 則一定是某連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù) 7 另外 對連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布 還具有如下性質(zhì) 1 對于任意實(shí)數(shù)2 即X落在區(qū)間的概率為密度函數(shù)y f x 與直線x a x b及x軸所圍面積 8 3 連續(xù)型隨機(jī)變量X取任一確定值a的概率為0 從而 即 在計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量X落在某一區(qū)間的概率時(shí) 可不必區(qū)分是開區(qū)間 閉區(qū)間還是半開半閉區(qū)間 9 概率為零的事件未必是不可能事件 注意 概率為1的事件也不一定是必然事件 事件A是不可能事件 事件A是必然事件 10 1 0 F x 1 x 2 F x 是x的單調(diào)不減函數(shù) 3 連續(xù)型隨機(jī)變量的其它若干結(jié)論 11 例 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 求分布函數(shù)F x 12 解 f x 的圖形如圖 13 從而得 其圖像為 14 例 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 1 確定常數(shù)A 2 計(jì)算概率 解由密度函數(shù)性質(zhì) 15 例 某批晶體管的使用壽命X 以小時(shí)計(jì) 具有密度函數(shù) 任取其中5只 求 使用最初150小時(shí)內(nèi) 無一晶體管損壞的概率 2 使用最初150小時(shí)內(nèi) 至多有一只晶體管損壞的概率 16 解任一晶體管使用壽命超過150小時(shí)的概率為 設(shè)Y為任取的5只晶體管中使用壽命超過150小時(shí)的晶體管數(shù) 則Y 故有 17 練習(xí)1 試確定常數(shù)a 使 為某個(gè)隨機(jī)變量X的概率密度 且計(jì)算事件 1 5 X 2 的概率 練習(xí)2已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為 求X的分布函數(shù) 18 2解 1解a 2 19 兩種類型的比較 連續(xù)型 1 概率密度f x 2 4 P a X b P a X b P a X b P a X b F b F a 離散型 1 概率分布 pk P X xk k 1 2 2 3 P aa 1 F a P X a F a F a 0 4 P X A 5 F x 有可列個(gè)間斷點(diǎn) 且右連續(xù) 5 F x 連續(xù) 且 P X a 0 20 幾種常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布 均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布 21 2 均勻分布 定義 若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為 則稱X在區(qū)間 a b 上服從均勻分布 記為X U a b 分布函數(shù)為 22 密度函數(shù)f x 與分布函數(shù)F x 的圖形如圖2 2 2和圖2 2 3所示 23 意義 X 等可能 地取區(qū)間 a b 中的值 這里的 等可能 理解為 X落在區(qū)間 a b 中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的 或者說X落在子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長度而與子區(qū)間的位置無關(guān) 即X取值在 a b 上是均勻的 24 若X在 a b 上服從均勻分布 對區(qū)間內(nèi)的任一個(gè)區(qū)間 c d 有 25 例2102電車每5分鐘發(fā)一班 在任一時(shí)刻某一乘客到了車站 求乘客候車時(shí)間不超過2分鐘的概率 解1 設(shè)隨機(jī)變量X為候車時(shí)間 則X U 0 5 均勻分布 故 解2 幾何概率 0 2 5 26 例設(shè)隨機(jī)變量X服從 1 2 區(qū)間上的均勻分布 求X的分布函數(shù) 解 如圖 1 2 2 1 3 F 1 x f x 1 x 1時(shí) 2 1 x 2時(shí) 3 2 x時(shí) 分布函數(shù)為 27 分布函數(shù)為 3 指數(shù)分布 定義若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為 其中 0 則稱X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布 28 指數(shù)分布的密度函數(shù)f x 與分布函數(shù)F x 的圖形如圖2 2 4和圖2 2 5所示 29 注 在應(yīng)用中 壽命問題?？醋鹘品闹笖?shù)分布 如燈泡的壽命 動(dòng)物的壽命 電話的通話時(shí)間等等都近似服從指數(shù)分布 其中 表示平均壽命的倒數(shù) 30 指數(shù)分布的無記憶性 設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為 指數(shù)分布 設(shè)s 0 t 0 則 31 即 假如X表示壽命的大小 則上式表示 如果已知壽命長于s年 則再存活t年的概率與年齡s無關(guān) 指數(shù)分布是唯一具有 無記憶性 性質(zhì)的連續(xù)型分布 32 例設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度 試確定常數(shù)k 并求 解由 解得k 3 于是X的概率密度為 33 例假設(shè)某元件的壽命服從參數(shù) 0 0015的指數(shù)分布 求它使用1000小時(shí)后還沒有壞的概率 解設(shè) 為該元件的壽命 則 34 4 正態(tài)分布 正態(tài)分布最早是德莫弗 A De Moivie 在1733研究二項(xiàng)分布的極限分布形式時(shí)提出的 在當(dāng)時(shí)沒有引起學(xué)術(shù)界的重視 后來 高斯 C F Gauss 在1809年 拉普拉斯 M D Laplace 在1812年分別重新提出 所以正態(tài)分布又稱為高斯分布或高斯 拉普拉斯分布 35 正態(tài)分布是概率論中最重要的分布之一 例如 測量的誤差 一批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo) 人體的身高或體重 農(nóng)作物的單位面積產(chǎn)量 炮彈彈著點(diǎn)的分布 氣象中的月平均氣溫 濕度 降水量等都服從或近似服從正態(tài)分布 另外 正態(tài)分布又具有許多良好的性質(zhì) 許多分布可用正態(tài)分布來近似 它能描述相互獨(dú)立的多個(gè)微小因素的綜合效果 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中解決實(shí)際問題時(shí)用得最多的就是正態(tài)分布或與正態(tài)分布有關(guān) 36 則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)的正態(tài)分布 記為 定義若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為 服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量又稱為正態(tài)變量 37 正態(tài)分布密度函數(shù)f x 的性質(zhì)與圖形 定義域?yàn)?對稱性 關(guān)于x 對稱 單調(diào)性 在區(qū)間 單調(diào)上升 在區(qū)間 單調(diào)下降 極值 38 凹凸性 凸弧 凹弧 漸進(jìn)線 y 0 拐點(diǎn) 圖像 39 當(dāng) 固定而 值改變時(shí) 曲線沿著x軸平移 形狀不變 故 稱為位置參數(shù) 40 當(dāng) 固定而 變小時(shí) 曲線變得陡峭 即分布越集中于 的附近 反之 變大時(shí) 曲線變得平緩 即分布越分散 故 稱為離散參數(shù) 41 正態(tài)分布的分布函數(shù) 42 特別地 當(dāng)即N 0 1 分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 其概率密度函數(shù)為 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 43 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖像如圖所示 44 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量落在區(qū)間內(nèi)的概率的計(jì)算 45 由于積分不能用常規(guī)方法計(jì)算 我們把分布函數(shù) x 的值編制成 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 1 當(dāng)x 0時(shí) 由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可以查出函數(shù) x 的數(shù)值 2 已知b求a使 a b 反過來查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得a的值 如 a 0 9750 查表得a 1 96 3 當(dāng)x 0時(shí) 利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)圖形的對稱性可得 46 一般地 若X N 0 1 則 1 P X a 0 2 P X a P Xa P X a 1 a 4 P a X b b a 5 P X a P a X a a a a 1 a 2 a 1 47 非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計(jì)算 證 48 意義 僅依靠標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 便可求得所有正態(tài)分布的函數(shù)值 且可求得X落在任意區(qū)間 a b 的概率 49 例2 2 2設(shè)X N 0 1 求P 1 X 3 解 50 例設(shè) N 0 1 計(jì)算 解 51 例設(shè)X N 1 22 求P 0 X 1 6 解 52 例設(shè)X N 0 1 P X a 0 9515 P X b 0 0495 求a b 解 a 0 9515 1 2所以 a 0反查表得 1 66 0 9515故a 1 66 而 b 0 04950 反查表得 1 65 0 9505 即 b 1 65故b 1 65 53 若 則 故 54 55 可見 服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量X 雖然理論上可以取任意實(shí)數(shù)值 但實(shí)際上它的取值落在區(qū)間內(nèi)的概率約為68 26 落在區(qū)間內(nèi)的概率約為95 44 落在區(qū)間內(nèi)的概率99 74 因此 服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量X落在區(qū)間之外的概率約0 26 還不到千分之三 這是一個(gè)小概率事件 在實(shí)際問題中認(rèn)為它幾乎是不可能發(fā)生的 這就是著名的 3 原則 它在實(shí)際中常用來作為質(zhì)量控制的依據(jù) 56 例設(shè)X N 2 P X 1 6 0 036 P X 5