高考數(shù)學一輪復習第9章平面解析幾何第6節(jié)拋物線教學案文北師大版.docx

第六節(jié)拋物線最新考綱1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率).2.理解數(shù)形結(jié)合思想.3.了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應用(對應學生用書第158頁)1拋物線的概念平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線2拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)標準方程y22px (p0)y22px(p0)x22py (p0)x22py (p0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點坐標O(0,0)對稱軸x軸y軸焦點坐標FFFF離心率e1準線方程xxyy范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR開口方向向右向左向上向下焦半徑P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0與拋物線焦點弦有關的幾個常用結(jié)論設AB是過拋物線y22px(p0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，為弦AB的傾斜角則(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦長|AB|x1x2p.(3)以弦AB為直徑的圓與準線相切(4)通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦，長等于2p，通徑是過焦點最短的弦一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線()(2)拋物線y24x的焦點到準線的距離是4.()(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形()(4)方程yax2(a0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標是，準線方程是x.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1拋物線yx2的準線方程是()Ay1By2Cx1Dx2Ayx2，x24y，準線方程為y1.2若拋物線y4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是()A.B.C.D0BM到準線的距離等于M到焦點的距離，又準線方程為y，設M(x，y)，則y1，y.3過拋物線y24x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，如果x1x26，則|PQ|等于()A9B8 C7D6B拋物線y24x的焦點為F(1,0)，準線方程為x1.根據(jù)題意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.4已知拋物線的頂點是原點，對稱軸為坐標軸，并且經(jīng)過點P(2，4)，則該拋物線的標準方程為_y28x或x2y設拋物線方程為y22px(p0)或x22py(p0)將P(2，4)代入，分別得方程為y28x或x2y.(對應學生用書第159頁)考點1拋物線的定義及應用與拋物線有關的最值問題的解題策略(1)將拋物線上的點到準線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，構(gòu)造出“兩點之間線段最短”，使問題得解；(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中，垂線段最短”解決(1)(2019長春模擬)已知拋物線y24x的焦點為F，準線l與x軸的交點為K，拋物線上一點P.若|PF|5，則PFK的面積為()A4B5C8D10(2)(2019福州模擬)已知拋物線y24x的焦點F，點A(4，3)，P為拋物線上一點，且點P不在直線AF上，則當PAF周長取最小值時，線段PF的長為()A1B. C5D.(1)A(2)B(1)由拋物線的方程y24x，可得F(1,0)，K(1,0)，準線方程為x1.設P(x0，y0)，則|PF|x015，即x04，不妨設P(x0，y0)在第一象限，則P(4，4)，所以SPKF|FK|y0|244.故選A.(2)如圖，求PAF周長的最小值，即求|PA|PF|的最小值設點P在準線上的投影為D，根據(jù)拋物線的定義，可知|PF|PD|，因此|PA|PF|的最小值，即|PA|PD|的最小值，可得當D，P，A三點共線時，|PA|PD|最小，此時P，F(xiàn)(1,0)，線段PF的長為1.故選B.拋物線上的點到焦點的距離和到準線的距離相互轉(zhuǎn)化是解題的關鍵1.(2019臨川模擬)若拋物線y22px(p0)上的點A(x0，)到其焦點的距離是A到y(tǒng)軸距離的3倍，則p等于()A.B1 C.D2D由拋物線y22px知其準線方程為x.又點A到準線的距離等于點A到焦點的距離，3x0x0，x0，A.點A在拋物線y22px上，2.p0，p2.故選D.2動圓過點(1,0)，且與直線x1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為_. y24x設動圓的圓心坐標為(x，y)，則圓心到點(1,0)的距離與到直線x1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y24x.3已知拋物線方程為y24x，直線l的方程為xy50，在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，則d1d2的最小值為_31由題意知，拋物線的焦點為F(1,0) 點P到y(tǒng)軸的距離d1|PF|1，所以d1d2d2|PF|1.易知d2|PF|的最小值為點F到直線l的距離，故d2|PF|的最小值為3，所以d1d2的最小值為31.考點2拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)1求拋物線標準方程的方法求拋物線的標準方程的主要方法是定義法和待定系數(shù)法若題目已給出拋物線的方程(含有未知數(shù)p)，那么只需求出p即可；若題目未給出拋物線的方程，對于焦點在x軸上的拋物線的標準方程可統(tǒng)一設為y2ax(a0)，a的正負由題設來定；焦點在y軸上的拋物線的標準方程可設為x2ay(a0)，這樣就減少了不必要的討論2拋物線性質(zhì)的應用技巧(1)利用拋物線方程確定其焦點、準線時，關鍵是將拋物線方程化成標準方程(2)要結(jié)合圖形分析，靈活運用平面圖形的性質(zhì)簡化運算(1)頂點在原點，對稱軸為坐標軸，且過點P(4，2)的拋物線的標準方程是()Ay2xBx28yCy28x或x2yDy2x或x28y(2)(2018北京高考)已知直線l過點(1,0)且垂直于x軸，若l被拋物線y24ax截得的線段長為4，則拋物線的焦點坐標為_(1)D(2)(1,0)(1)(待定系數(shù)法)設拋物線為y2mx，代入點P(4，2)，解得m1，則拋物線方程為y2x；設拋物線為x2ny，代入點P(4，2)，解得n8，則拋物線方程為x28y.(2)由題知直線l的方程為x1，則直線與拋物線的交點為(1，2)(a0)又直線被拋物線截得的線段長為4，所以44，即a1.所以拋物線的焦點坐標為(1,0)若拋物線的焦點位置不確定，應分焦點在x軸和y軸兩種情況求解，如本例(1)教師備選例題1點M(5,3)到拋物線yax2的準線的距離為6，那么拋物線的標準方程是()Ax2yBx2y或x2yCx2yDx212y或x236yD將yax2化為x2y.當a0時，準線y，則36，a.當a0，即m1時，x1,222.從而|AB|x1x2|4.由題設知|AB|2|MN|，即42(m1)，解得m7.所以直線AB的方程為yx7.(1)對于拋物線x2ay(a0)，直線與拋物線相切問題多用到導數(shù)的有關知識(2)本例第(2)問中，找出隱含條件|AB|2|MN|是解題的關鍵拋物線的焦點弦問題解決拋物線的弦及弦中點問題的常用方法(1)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式(2)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數(shù)的關系采用“設而不求”“整體代入”等解法提醒：涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解(2018全國卷)設拋物線C：y24x的焦點為F，過F且斜率為k(k0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程解(1)由題意得F(1,0)，l的方程為yk(x1)(k0)設A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由題設知8，解得k1或k1(舍去)因此l的方程為yx1.(2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y2(x3)，即yx5.設所求圓的圓心坐標為(x0，y0)，則解得或因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.(1)本例第(1)問中，x1x2是建立等式的紐帶(2)本例第(2)問中，設出圓心坐標(x0，y0)，構(gòu)造關于x0，y0的方程組是關鍵1.(2019開封模擬)已知直線ykxt與圓x2(y1)21相切且與拋物線C：x24y交于不同的兩點M，N，則實數(shù)t的取值范圍是()A(，3)(0，)B(，2)(0，)C(3,0)D(2,0)A由直線與圓相切得，1，即k2t22t，由得x24kx4t0.由題意知16k216t0.即t23t0，解得t0或t3.故選A.2(2018全國卷)設拋物線C：y24x的焦點為F，過點(2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則()A5B6 C7D8D法一：過點(2,0)且斜率為的直線的方程為y(x2)，由得x25x40，解得x1或x4，所以或不妨設M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以(0,2)，(3,4)，所以8.故選D.法二：過點(2,0)且斜率為的直線的方程為y(x2)，由得x25x40，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y10，y20，根據(jù)根與系數(shù)的關系，得x1x25，x1x24.易知F(1,0)，所以(x11，y1)，(x21，y2)，所以(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1445188.故選D.3已知拋物線y216x的焦點為F，過F作一條直線交拋物線于A，B兩點，若|AF|6，則|BF|_.12不妨設A(x1，y1)，B(x2，y2)(A在B上方)，根據(jù)焦半徑公式|AF|x1x146，所以x12，y14，所以直線AB的斜率為k2，所以直線方程為y2(x4)，與拋物線方程聯(lián)立得x210x160，即(x2)(x8)0，所以x28，故|BF|8412.課外素養(yǎng)提升數(shù)學運算“設而不求”在解析幾何中的妙用(對應學生用書第160頁)1數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的過程，解析幾何正是利用數(shù)學運算解決幾何問題的一門科學2“設而不求”是簡化運算的一種重要手段，它的精彩在于設而不求，化繁為簡解題過程中，巧妙設點，避免解方程組，常見類型有：(1)靈活應用“點、線的幾何性質(zhì)”解題；(2)根據(jù)題意，整體消參或整體代入等.巧妙運用拋物線定義得出與根與系數(shù)關系的聯(lián)系，從而設而不求【例1】(2019泰安模擬)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線1(a0，b0)的右支與焦點為F的拋物線x22py(p0)交于A，B兩點，若|AF|BF|4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為_yx設A(xA，yA)，B(xB，yB)，由拋物線定義可得|AF|BF|yAyB4yAyBp，由可得a2y22pb2ya2b20，所以yAyBp，解得ab，故該雙曲線的漸近線方程為yx.評析根據(jù)拋物線的定義把|AF|BF|用A，B點的縱坐標表示，再把雙曲線方程和拋物線方程聯(lián)立得到A，B點縱坐標和的關系，然后進一步求解即可【素養(yǎng)提升練習】1(2019懷化模擬)過拋物線y24x的焦點作兩條互相垂直的弦AB，CD，則四邊形ACBD面積的最小值為()A8B16C32D64C焦點F的坐標為(1,0)，所以可設直線AB的方程為yk(x1)，代入y24x并整理得k2x2(2k24)xk20，所以x1x22，|AB|x1x224.同理可得|CD|44k2.所以四邊形ACBD的面積S|AB|CD|4(k21)8832，當且僅當k1時取等號故選C.中點弦或?qū)ΨQ問題，可以利用“點差法”， “點差法”實質(zhì)上是“設而不求”的一種方法【例2】(1)ABC的三個頂點都在拋物線E：y22x上，其中A(2,2)，ABC的重心G是拋物線E的焦點，則BC所在直線的方程為_(2)拋物線E：y22x上存在兩點關于直線yk(x2)對稱，則k的取值范圍是_(1)xy0(2)(，)(1)設B(x1，y1)，C(x2，y2)，邊BC的中點為M(x0，y0)，易知G，則從而即M，又y2x1，y2x2，兩式相減得(y1y2)(y1y2)2(x1x2)，則直線BC的斜率kBC1，故直線BC的方程為y(1)，即4x4y50.(2)當k0時，顯然成立當k0時，設兩對稱點為B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中點為M(x0，y0)，由y2x1，y2x2，兩式相減得(y1y2)(y1y2)2(x1x2)，則直線BC的斜率kBC，由對稱性知kBC，點M在直線yk(x2)上，所以y0k，y0k(x02)，所以x01.由點M在拋物線內(nèi)，得y2x0，即(k)22，所以k，且k0.綜上，k的取值范圍為(，)評析(1)先求BC的中點坐標，再用點差法求解(2)分k0和k0兩種情況求解，當k0時，顯然成立，當k0時，用點差法求解【素養(yǎng)提升練習】2中心為(0,0)，一個焦點為F(0,5)的橢圓，截直線y3x2所得弦中點的橫坐標為，則該橢圓的方程是()A.1B.1C.1D.1C由題意知c5，設橢圓方程為1，聯(lián)立方程消去y，整理得(10a2450)x212(a250)x(4a2)(a250)0，由根與系數(shù)的關系得x1x21，解得a275，所以橢圓方程為1.求解直線與圓錐曲線的相關問題時，若兩條直線互相垂直或兩直線斜率有明確等量關系，可用“替代法”，“替代法”的實質(zhì)是設而不求【例3】已知F為拋物線C：y22x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|DE|的最小值為_8由題意知，直線l1，l2的斜率都存在且不為0，F(xiàn)，不妨設l1的斜率為k，則l1：yk，l2：y.由消去y得k2x2(k22)x0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則