數(shù)列綜合應(yīng)用答案.doc

專題三：數(shù)列第三講數(shù)列的綜合應(yīng)用一、基礎(chǔ)訓(xùn)練1（2011湖北理13）九章算術(shù)“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共為3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為 升?！敬鸢浮?.（2009重慶卷理）設(shè)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式= . 【答案】：2n+1【解析】由條件得且所以數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，則3.（2009湖北卷文）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來(lái)研究數(shù)，例如： . 他們研究過(guò)圖1中的1，3，6，10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù);類似地，稱圖2中的1，4，9，16這樣的數(shù)成為正方形數(shù)。下列數(shù)中既時(shí)三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是A.289 B.1024 C.1225 D.1378【答案】C4.（2009江西卷理）數(shù)列的通項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，則為A B C D答案：A5.(2009湖南卷理)將正ABC分割成（2，nN）個(gè)全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形），在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于ABC的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí)）都分別一次成等差數(shù)列，若頂點(diǎn)A ,B ,C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n)，則有f(2)=2，f(3)= ，f(n)= (n+1)(n+2) . 【答案】：【解析】當(dāng)n=3時(shí)，如圖所示分別設(shè)各頂點(diǎn)的數(shù)用小寫(xiě)字母表示，即由條件知 . 即進(jìn)一步可求得。由上知中有三個(gè)數(shù)，中 有6個(gè)數(shù)，中共有10個(gè)數(shù)相加 ，中有15個(gè)數(shù)相加.，若中有個(gè)數(shù)相加，可得中有個(gè)數(shù)相加，且由可得所以=二、例題考點(diǎn)1數(shù)列與函數(shù)、方程的綜合例題1(2009年廣東卷文)（本小題滿分14分）已知點(diǎn)（1，）是函數(shù)且）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的首項(xiàng)為，且前項(xiàng)和滿足=+（）.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列前項(xiàng)和為，問(wèn)的最小正整數(shù)是多少? . 【解析】（1）, , .又?jǐn)?shù)列成等比數(shù)列， ，所以 ；又公比，所以 ； 又, ；數(shù)列構(gòu)成一個(gè)首相為1公差為1的等差數(shù)列， ， 當(dāng)， ；()；（2） ； 由得，滿足的最小正整數(shù)為112.【變式訓(xùn)練】已知的前n項(xiàng)和為S=an+bn+c(nN),其中a、b、c是常數(shù)，求證：是等差數(shù)列的充要條件是c=0.考點(diǎn)2數(shù)列與函數(shù)，不等式例題2. (2009山東卷理)（本小題滿分12分）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為， 已知對(duì)任意的 ，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.（1）求r的值； （11）當(dāng)b=2時(shí)，記 . 證明：對(duì)任意的 ，不等式成立解:因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù)的圖像上.所以得,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),又因?yàn)闉榈缺葦?shù)列,所以,公比為,（2）當(dāng)b=2時(shí)，, 則,所以 . 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立. 當(dāng)時(shí),左邊=,右邊=,因?yàn)?所以不等式成立. 假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立,即成立.則當(dāng)時(shí),左邊=所以當(dāng)時(shí),不等式也成立. . 由、可得不等式恒成立.【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知求的基本題型,并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,以及放縮法證明不等式.【變式訓(xùn)練】（2011全國(guó)大綱理）設(shè)數(shù)列滿足且（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè)解：（I）由題設(shè) 即是公差為1的等差數(shù)列。 又 所以 （II）由（I）得 ，8分12分考點(diǎn)3運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于正整數(shù)成立的問(wèn)題例題3.(2009陜西卷理)（本小題滿分12分） 已知數(shù)列滿足， .猜想數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；()證明：。 證（1）由由猜想：數(shù)列是遞減數(shù)列下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，已證命題成立 （2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即易知，那么 =即也就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，結(jié)合（1）和（2）知，命題成立（2）當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論成立當(dāng)時(shí)，易知 【變式訓(xùn)練】設(shè)滿足a=a-na+1(nN).當(dāng)a3時(shí)，證明：對(duì)所有n(nN),有(1) an+2;(2) +。三、練習(xí)鞏固1.（2011福建理10）已知函數(shù)f（x）=e+x，對(duì)于曲線y=f（x）上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個(gè)點(diǎn)A,B,C，給出以下判斷：ABC一定是鈍角三角形ABC可能是直角三角形ABC可能是等腰三角形ABC不可能是等腰三角形其中，正確的判斷是A B C D2.（2009浙江文）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，成等差數(shù)列類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則， ， ，成等比數(shù)列3.（2010湖南高考理科4）若數(shù)列滿足：對(duì)任意的，只有有限個(gè)正整數(shù)使得成立，記這樣的的個(gè)數(shù)為，則得到一個(gè)新數(shù)列例如，若數(shù)列是，則數(shù)列是已知對(duì)任意的，則 ， +4（安徽理18）在數(shù)1和100之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個(gè)數(shù)的乘積記作，再令.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.本題考查等比和等差數(shù)