圓冪定理及等冪軸的探究.doc

圓冪定理及等冪軸的探究 麟游縣九成宮初級(jí)中學(xué) 田宏剛摘要：圓冪定理是平面幾何中重要定理之一，有著及其廣泛的應(yīng)用。關(guān)于等冪軸的軌跡探究，更能加深學(xué)生的邏輯思維。以上內(nèi)容在2011版初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中不作要求，但對(duì)于學(xué)有余力，有興趣愛好的初中讀者，可作為提升知識(shí)、思想、方法的途徑。對(duì)于在職教師，可作為閱讀參考。關(guān)鍵詞：圓冪定理 等冪軸 探究圓冪定理的發(fā)現(xiàn)及證明分析：我們知道，若p為圓O（r）外部一點(diǎn)，過點(diǎn)p作割線PAB則PAPB為一常量,這一常量由O（r）與點(diǎn)P決定，不因割線的位置而改變，這一定理稱為割線定理，下面進(jìn)行證明。證：如圖，設(shè)P為O外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓O的兩條不同割線分別為PAB和PAB，連接AA，BB，則AABB為圓的內(nèi)接四邊形，由圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角知：PAA=PBB，又APA=BPB,PAAPBB, PA/PB=PA/PB，因而PAPB=PAPB。 T P A A O BO A oOOO A 圖1 B 下面探究這一常量（定值）究竟是多少？有下面的定理。分析：設(shè)P為圓O的切線（如上圖1）PAB為圓O的一條普通割線。而PAB是經(jīng)過圓心O的一條特殊割線，由上述割線定理知，這一常是不因割線位置而改變。且P= PAPB=PAPB總成立，而PAPB=(PO-r)(PO+r)=PO-r.由于PT是切線，T為切點(diǎn)，所以有RTPTO,且有PO-R=t (t表切線PT的長)于是切割線定理表述為：設(shè)P為O（r）外一點(diǎn)。PT為O的切線。T為切點(diǎn)，PAB和PAB為圓O的兩條不同割線，那么PAPB=PAPB= 文字語言表述為：從圓外一點(diǎn)引圓的一條割線和一條切線，那么這一點(diǎn)到割線上兩割點(diǎn)的距離之積等于這一點(diǎn)到圓的切線的長的平方。A 仿此，若P為圓O(r)內(nèi)部一點(diǎn)，如(圖2)過點(diǎn)P作任一弦APB，則PA,PB為常量（證明是相交弦定理），為求這一常量P是多少,可取過點(diǎn)P與PO垂直的弦AB，則P=PAPB=PAPB=-PA (此地用有向線段)B=-（-）=po- r,我們把P=PAPB=PO-r （1A） ABP定義為P對(duì)于圓O（r）的冪，這是一代數(shù)量，當(dāng)p在圓外時(shí)，O 圖2P為正， 其值等于由P所作的切線長的平方；當(dāng)p在圓上時(shí),PO=r;因而P=O;當(dāng)P在圓內(nèi)時(shí)，冪P為負(fù)，此時(shí)，PAPB=PAPB正是相交弦定理，（如上圖2）證明用到相似三角形的性質(zhì)，并以下面的引理為前提：引理1：在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等。（這一定理的證明在初中數(shù)學(xué)課本中講過，不再贅述）下證相交弦定理：設(shè)P為圓內(nèi)任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的兩條弦和，則：。證：如圖2，連結(jié)AA和BB，則AAP=BBP,又AB和AB相交于點(diǎn)P，APA=BPB，因而AAPBBP，所以有AP/BP=AP/BPPAPB=PAPB. 證畢分析：相交弦定理是P在O內(nèi)的情況；割線定理是點(diǎn)P在O外的情況，由割線定理的推論切割線定理求得了點(diǎn)P在O外時(shí)，圓冪P的值等于t（t表切線的長），不論P(yáng)在圓外，圓上，圓內(nèi)，圓冪P的值總是存在的，我們把相交弦定理，割線定理，切割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理。其圓冪的概念由此而來，圓冪定理是平面幾何中的重要定理，有著廣泛的應(yīng)用。 下面我們來介紹等冪軸的概念及其相關(guān)軌跡命題： 對(duì)于兩個(gè)不同的定圓(圓心確定的圓)有等冪的點(diǎn)的軌跡，是垂直于連心線的一條直線，此直線稱為兩圓的等冪軸。 此命題由下面的引理可以輕而易舉得到。引理2：到兩定點(diǎn)距離的平方差為常量的點(diǎn)的軌跡，是垂直于兩點(diǎn)連線的一條直線。證法：設(shè)A,B為兩定點(diǎn)，k為常量，先探求滿足條件的MAMB=K的點(diǎn)的軌跡（如圖3）探究：若M符合 條件，顯然M關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)也符合條件，所以軌跡如果是直線，必有直線上兩點(diǎn)對(duì)稱于AB，因而此直線與l垂直，所以只需知道這直線與AB交點(diǎn)N, 這個(gè)軌跡就完全確定了，設(shè)AB上過點(diǎn)N垂直于AB的直線l上滿足條件，（圖3）由K=MAMB=( AN+NM)（NB+NM） =(AN+NB)(ANNB) =ABAN（ABAN） =AB(2AN AB)解得AN=(),由此式確定點(diǎn)N而垂直于AB的直線L. 證明 : 1 .由剛才的探究過程，符合條件的點(diǎn)M在過AB上的定點(diǎn)N且垂直于AB的直線l上。 2反之，在l上任取一點(diǎn)有：MAMB=ANNB=AN（ABAN） =ANAB+2ABANAN =2AB AB =2AB()AB =K即點(diǎn)M滿足條件。 證畢特別地，當(dāng)K=O時(shí)，L就是眾所周知的AB的中垂線，此時(shí)，L上的點(diǎn)M在AB中垂線上，顯然有MA MB=0。下由引理2來證兩圓等冪軸的軌跡命題。設(shè)兩圓為圓O和圓，點(diǎn)P 對(duì)于兩圓的冪各為：P=POr及P= POr ， 則：P對(duì)于兩圓有等冪軸的充要條件是P= 或PO PO= rrK 證：1（充分性）兩圓有等冪，由上述分析及引理2推論其等冪軸是垂直于兩圓連心線的一條直線。2（必要性）作兩圓連心線的垂線，在垂線上取一點(diǎn)P，P=POr 及P=PO r ，所以PP =(PO r)（P Or）=（PO PO ）（rr ）所以即當(dāng)PO P = rr K時(shí)，顯然有PP=0即P= P 證畢。下面講一下兩圓的等冪軸的作法，若兩圓相交，(圖4)則兩交點(diǎn)對(duì)于兩圓的冪同等于零(P在圓上)所以等冪軸即兩交點(diǎn)連線;若兩圓相切,則等冪軸為兩圓的公切線.（圖5）若兩