《1.2.3 幾類特殊的矩陣變換》教案1.doc

1.2.3 幾類特殊的矩陣變換教案1教學(xué)目標(biāo)1 理解可以用矩陣來表示平面中常見的幾何變換，掌握恒等、伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、投影、切變變換的矩陣表示及其幾何意義2理解二階矩陣對應(yīng)的幾何變換是線性變換，了解單位矩陣3.了解恒等、伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、投影、切變變換這六個變換之間的關(guān)系教學(xué)重難點了解并掌握幾種特殊的矩陣變換，可以簡單的運用。教學(xué)過程1理解可以用矩陣來表示平面中常見的幾何變換，掌握恒等、伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、投影、切變變換的矩陣表示及其幾何意義（）一般地，對于平面向量變換T，如果變換規(guī)則為T：=，那么根據(jù)二階矩陣與平面列向量在乘法規(guī)則可以改寫為T：=的矩陣形式，反之亦然（a、b、c、d）由矩陣確定的變換，通常記為TM,根據(jù)變換的定義，它是平面內(nèi)點集到自身的一個映射，平面內(nèi)的一個圖形它在TM,的作用下得到一個新的圖形.在本節(jié)中研究的變換包括恒等變換、伸壓變換、反射變換、旋轉(zhuǎn)變換、投影變換、切變變換等六個變換（）由矩陣M=確定的變換TM稱為恒等變換，這時稱矩陣M為恒等變換矩陣或單位矩陣，二階單位矩陣一般記為E.平面是任何一點（向量）或圖形，在恒等變換之下都把自己變?yōu)樽约?（）由矩陣M=或M=確定的變換TM稱為（垂直）伸壓變換，這時稱矩陣M=或M=伸壓變換矩陣當(dāng)M=時確定的變換將平面圖形作沿x軸方向伸長或壓縮,當(dāng)時伸長,當(dāng)時壓縮.變換TM確定的變換不是簡單地把平面上的點(向量) 沿x軸方向“向下壓”或“向外伸”,它是x軸方向伸長或壓縮,以為例，對于x軸上方的點向下壓縮，對于x軸下方的點向上壓縮，對于x軸上的點變換前后原地不動當(dāng)M=時確定的變換將平面圖形作沿y軸方向伸長或壓縮,當(dāng)時伸長,當(dāng)時壓縮在伸壓變換之下，直線仍然變?yōu)橹本€，線段仍然變?yōu)榫€段恒等變換是伸壓變換的特例，伸壓變換多與三角函數(shù)圖象的變換聯(lián)系起來研究（）將一個平面圖形變?yōu)殛P(guān)于定直線或定點對稱的平面圖形的變換矩陣稱為反射變換矩陣，對應(yīng)的變換稱為反射變換，關(guān)于定直線或定點對稱的反射又分別稱為軸反射和中心反射，定直線稱為反射軸，定點稱為反射點反射變換是軸對稱變換、中心對稱變換的總稱.在中學(xué)里常研究的反射變換有：由矩陣M=確定的變換是關(guān)于x軸的軸反射變換，由矩陣M=確定的變換是關(guān)于y軸的軸反射變換,由矩陣M=確定的變換是關(guān)于原點的中心反射變換由矩陣M=確定的變換是關(guān)于直線y=x的軸反射變換學(xué)習(xí)反射變換要與函數(shù)圖象的變換、解幾中二次曲線變換的知識聯(lián)系起來考慮.其實質(zhì)是變換對縱橫坐標(biāo)產(chǎn)生的影響.（）將一個平面圖形繞一個定點旋轉(zhuǎn)角得到另一個平面圖形的變換稱為旋轉(zhuǎn)變換，其中的角叫做旋轉(zhuǎn)角，定點稱為旋轉(zhuǎn)中心當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心為原點且逆時針旋轉(zhuǎn)角時旋轉(zhuǎn)變換的變換矩陣為旋轉(zhuǎn)變換只會改變幾何圖形的位置，不會改變幾何圖形的形狀和大小，旋轉(zhuǎn)中心在旋轉(zhuǎn)過程中保持不變，圖形的旋轉(zhuǎn)由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角所確定繞定點旋轉(zhuǎn)的變換相當(dāng)于關(guān)于定點作中心反射變換（）將一個平面圖投影到某條直線（或某個點）的變換稱為投影變換，變換對應(yīng)的矩陣稱為投影變換矩陣，本節(jié)中主要研究的是由矩陣M=，M= ，M=確定的投影變換需要注意的是投影變換是映射，但不是一一映射（）由矩陣M=或確定的變換稱為切變變換，對應(yīng)的矩陣稱為切變變換矩陣以為例，矩陣把平面上的點沿x軸方向平移ky|個單位，當(dāng)ky時沿x軸正方向移動，當(dāng)ky時沿x軸負(fù)方向移動，當(dāng)ky時原地不動，切變變換有如下性質(zhì)：（）x軸上的點是不動點；（）保持圖形面積大小不變,點間的距離和夾角大小可以改變且點的運動是沿坐標(biāo)軸方向進(jìn)行的切變變換的實質(zhì)是橫（縱坐標(biāo)）成比例地運動.2理解二階矩陣對應(yīng)的幾何變換是線性變換，了解單位矩陣一般地，二階非零矩陣對應(yīng)變換把直線變?yōu)橹本€，把直線變?yōu)橹本€的變換叫做線性變換，本節(jié)中所研究的6種變換均為線性變換，在研究平面上多邊形或直線在矩陣的變換作用后的圖形時，只需考察頂點（或端點）的變化結(jié)果即可3.了解恒等、伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、投影、切變變換這六個變換之間的關(guān)系如恒等變換可以看做伸壓、旋轉(zhuǎn)、切變變換的特殊情形;關(guān)于坐標(biāo)原點的中心反射變換可以看做是繞原點作了角度的旋轉(zhuǎn)變換，它還可以看做是先作關(guān)于x軸的反射再作關(guān)于y軸的反射的復(fù)合; 繞原點作了角度的旋轉(zhuǎn)變換可以看做是先繞原點作了角度的旋轉(zhuǎn)變換再繞原點作了角度的旋轉(zhuǎn)變換等等.基礎(chǔ)訓(xùn)練、已知四邊形ABCD的頂點分別為A（-1，0），B（1，0），C（1，1），D（-1，1），四邊形ABCD在矩陣變換作用下變成正方形，則（）.、 、2 、3 、2、已知矩陣M1=，M2=，M3=，則由M1，M2，M3確定的變換分別是（ ）A、恒等變換、反射變換、投影變換 B、恒等變換、投影變換、反射變換C、投影變換、反射變換、恒等變換 D、反射變換、恒等變換、投影變換ABCD1-1Oxy1-13、直線x+y=5在矩陣 對應(yīng)的變換作用下得到的圖形是（ ）A、直線x+y=5 B、直線y=5 C、直線x=5 D、點（0，5）4、將向量繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到向量，則向量的坐標(biāo)為=_.5、圖中正方形ABCD在由矩陣所確定變換的作用后的圖形的 面積為_.6、若直線y=4x-4在矩陣M對應(yīng)的伸壓變換下變成另一條直線y=x-1，則 M=_.解題指導(dǎo)例1、求圓C：在矩陣對應(yīng)的伸壓變換下的曲線方程，并判斷曲線的類型.解：設(shè)P(x,y)是圓C：上的任一點,P1是P(x,y) 在矩陣對應(yīng)的伸壓變換下的曲線上的對應(yīng)點 ,則 即 ,所以代入得 方程表示的曲線為橢圓點評：通過變換矩陣建立所求曲線上的點的坐標(biāo)之間的關(guān)系是解決這類問題的關(guān)鍵例、若曲線y=x2（x0）在矩陣M對應(yīng)的反射變換作用下得到的曲線為y=x2（x0），求矩陣M.解：由兩曲線之間的關(guān)系知：矩陣M對應(yīng)的反射變換是以y軸為軸的反射變換，所以M點評：這類問題在求解時應(yīng)先確定兩曲線之間的反射變換是中心對稱反射變換還是是軸對稱變換如果是軸對稱變換再進(jìn)一步確定對稱軸，進(jìn)而寫出變換矩陣?yán)⑷鬉BC在矩陣M對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)變換作用下得到ABC，其中A（0，0），B（1，），C（0，2），A（0，0）， C（-，1），試求矩陣M并求B的坐標(biāo).解、由題意旋轉(zhuǎn)中心為原點，設(shè)逆時旋轉(zhuǎn)角為，則旋轉(zhuǎn)變換矩陣為 故而 設(shè)B（x,y）,則點評：逆時針旋轉(zhuǎn)角為時的旋轉(zhuǎn)矩陣為，若順時針旋轉(zhuǎn)角為時，則將上述矩陣中的換為即可例、已知在矩陣M的作用下點A（1，2）變成了點A（11，5），點B（3，-1）變成了點B（5，1），點C（x，0）變成了點C（y，2），求（1）矩陣M；求（2）x、y值.解： （1）設(shè)矩陣M=，解之得，M= （2）由 得 點評：求變換矩陣通常用待定系數(shù)法例、給定二階矩陣M，對任意向量 ，證明： 證明：設(shè)， 得證點評：更一般地，可以證明：，其中為任意實數(shù)。本課小結(jié) 基礎(chǔ)知識：用矩陣來表示平面中常見的幾何變換，掌握恒等、伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、投影、切變變換的矩陣表示及其幾何意義 基本技能：會根據(jù)各種變換矩陣確定已知圖形的對應(yīng)變換之下的圖形，會根據(jù)兩個圖形之間的關(guān)系求出變換矩陣 基本思想或方法：靈活運用等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的思想和待定系數(shù)法以及用代入法求曲線方程等方法解決變換問題能力測試、點（，k）在伸壓變換矩陣之下的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（-2,-4），則m、k的值分別為（）A、，B、，C、，D、，、設(shè)T是以 ox 軸為軸的反射變換，則變換T的矩陣為（）A、 、 、 、設(shè)A是到ox軸的正投影變換，A把點P（x，y）變成點P（x，0），B是到oy軸的正投影變換B把點P（x，y）變成點P（0，y），則變換A和B的矩陣分別為（）.、，、，、，、， 、在某個旋轉(zhuǎn)變換中，順時針旋轉(zhuǎn)所對應(yīng)的變換矩陣為、曲線在矩陣作用下變換所得的圖形對應(yīng)的曲線方程為、曲線xy=1繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)90后得到的曲線方程是，變換對應(yīng)的矩陣是.、已知曲線經(jīng)過伸壓變換T作用后變?yōu)樾碌那€，試求變換T對應(yīng)的矩陣M.、求出橢圓 在矩陣作用下變換所得的圖