數(shù)學(xué)金融學(xué)第八章連續(xù)時(shí)間市場(chǎng)1.doc

長(zhǎng)沙理工大學(xué)備課紙數(shù)學(xué)金融學(xué)第八章連續(xù)時(shí)間市場(chǎng)第八章 連續(xù)時(shí)間證券市場(chǎng)本章開(kāi)始討論連續(xù)時(shí)間問(wèn)題.我們假定讀者具有初步的隨機(jī)分析知識(shí),如果讀者還有一些控制理論方面的知識(shí),則更好.有關(guān)隨機(jī)分析的一些定義和結(jié)果,讀者可以參閱本書(shū)的附錄口另外,我們作如下說(shuō)明: 在隨機(jī)分析中,人們遇到的等式或不等式往往是以概率1 成立的(未必是對(duì)所有的均成立),在一般的文獻(xiàn)中,常常用記號(hào)來(lái)表示(英文almost surely 的縮寫(xiě)).為了記號(hào)簡(jiǎn)便起見(jiàn),我們約定一般不用(除非有特別的強(qiáng)調(diào)),但是所有遇到的等式或不等式均理解為“以概率l 成立”.8.1 證券市場(chǎng)的描述假定在一個(gè)金融市場(chǎng)(記作)中有,+ l 種資產(chǎn): 1 種是所謂的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(即其市場(chǎng)價(jià)值始終是上升的),我們稱(chēng)之為債券或投資者的銀行賬戶;另外種是所謂的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(它們的市場(chǎng)價(jià)值未必總是上升的),為了方便起見(jiàn),通常這些風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)可以認(rèn)為就是普通的股票.我們知道,在真實(shí)的金融市場(chǎng)中,所有涉及的量均是離散的: 資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)值是離散的(比如精確到分);交易時(shí)刻是離散的(比如精確到秒);交易量是離散的(比如至少l 手)等等.利用前面章節(jié)中的結(jié)果,原則上我們可以解決許多問(wèn)題(未定權(quán)益定價(jià)、最優(yōu)投資問(wèn)題,等等).但是,如果我們面臨的是一個(gè)具有1000 個(gè)狀態(tài)(它們可以代表1 000 個(gè)有影響的投資機(jī)構(gòu)或個(gè)人獨(dú)立地參與投資所帶來(lái)的不確定因素)、1000個(gè)時(shí)段(如果每10 秒采一次樣,則3 小時(shí)就有1080 個(gè)時(shí)段)和100種股票的市場(chǎng),則很難想象用前面章節(jié)中的方法能得到深刻而簡(jiǎn)潔的結(jié)果.另一方面,不難想象,將離散的問(wèn)題“連續(xù)化”,比如,允許交易時(shí)刻是任何實(shí)數(shù).交易量也允許是任何實(shí)數(shù)(盡管股股票聽(tīng)起來(lái)有點(diǎn)滑稽),則許多諸如微積分、隨機(jī)分析等強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具就能夠在處理金融市場(chǎng)問(wèn)題中發(fā)揮作用.事實(shí)上,這種“連續(xù)化”的近似使得原來(lái)非常復(fù)雜的問(wèn)題變得相對(duì)容易了,我們將建立這種連續(xù)化市場(chǎng)模型下若干數(shù)學(xué)金融問(wèn)題的一般理論.在學(xué)習(xí)這些理論之前,首先介紹一些測(cè)度論及隨機(jī)過(guò)程方面的知識(shí).一、預(yù)備知識(shí)設(shè)為概率測(cè)度空間(一) 隨機(jī)變量的概率測(cè)度積分定義1.0.0 (1) 若簡(jiǎn)單隨機(jī)變量,其中(或)為的一個(gè)剖分,若存在,則稱(chēng)該值為在概率測(cè)度空間上的積分,記. (1.0.1)(2) 若為非負(fù)可測(cè)隨機(jī)變量,且非負(fù)簡(jiǎn)單隨機(jī)變量列滿足,若存在,則稱(chēng)該極限為在概率測(cè)度空間上的積分,記. (1.0.2)(3) 若為可測(cè)隨機(jī)變量,設(shè),若存在,則稱(chēng)該值為在概率測(cè)度空間上的積分,記. (1.0.3)注: 10 ,20 設(shè).若離散型隨機(jī)變量分布律為,則;若連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為,則.40 (二) 隨機(jī)積分1.隨機(jī)積分定義1.0.1 設(shè)、(,或)為隨機(jī)過(guò)程,令其中. 若 存在,則稱(chēng)該極限為的關(guān)于隨機(jī)積分.記為,. (1.0.4)2. Lebesgue積分定義1.0.2 設(shè)為隨機(jī)過(guò)程,則(1.0.4)為若 存在,則稱(chēng)該極限為的Lebesgue積分.記為. (1.0.5)3. Ito積分定義1.0.3 在域流的概率空間上的一個(gè)-值-適應(yīng)的隨機(jī)過(guò)程()稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)的始于0的一維Brown運(yùn)動(dòng)(簡(jiǎn)稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)的Brown運(yùn)動(dòng)),若滿足(1) (2) ,在上連續(xù); (3) 對(duì),均有; (4) 對(duì),均有與獨(dú)立,即對(duì)及,均有 注: 若服從標(biāo)準(zhǔn)的Brown運(yùn)動(dòng),則10增量具有平穩(wěn)性,即與分布相同,記為.20 具有獨(dú)立增量,即對(duì),相互獨(dú)立.事實(shí)上:對(duì),均有,又與獨(dú)立,則.30 對(duì),均有 (1.0.6)從而得到(這是因?yàn)? 若關(guān)于-域可測(cè)隨機(jī)變量與(是的-子域)獨(dú)立,則有.事實(shí)上: 對(duì), 則,故,所以與獨(dú)立; 對(duì),所以,)40 若,記,則當(dāng)時(shí), (1.0.7) (1.0.8)(事實(shí)上,令 則)推論 . (1.0.9)定義1.0.4 設(shè)是二階矩過(guò)程(若對(duì)每一個(gè),二階矩均存在,則稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程為二階矩過(guò)程), (,或)為一維Brown運(yùn)動(dòng),若存在, 則稱(chēng),. (1.0.10)為關(guān)于的Ito積分.(三) Ito過(guò)程和 Ito引理1. Ito過(guò)程(1) 設(shè)d 維隨機(jī)變量取值于Rd .設(shè)服從d 維正態(tài)分布,其中, 則, 連續(xù)型d 維隨機(jī)變量的概率密度為; ; 為與的相關(guān)系數(shù),; 為對(duì)角矩陣,相互獨(dú)立;(2) 標(biāo)準(zhǔn)的始于0的維Brown運(yùn)動(dòng).定義1.0.4 稱(chēng)()維隨機(jī)過(guò)程(,或)服從標(biāo)準(zhǔn)的始于0的維Brown運(yùn)動(dòng)(簡(jiǎn)稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)的維Brown運(yùn)動(dòng)),若滿足(1) 具有獨(dú)立增量,即對(duì)任何,相互獨(dú)立;(2) ,在上連續(xù);(3) ,I是階單位矩陣(4) .注: 10 ,.20 服從Brown運(yùn)動(dòng),.30 相互獨(dú)立(3) Ito過(guò)程定義1.0.5 若隨機(jī)過(guò)程滿足 (1.0.11)其中,為帶域流的概率空間上的一個(gè)d 維標(biāo)準(zhǔn)Brown 運(yùn)動(dòng),其中為Brown 運(yùn)動(dòng)生成的自然-域流.則稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程為Ito過(guò)程(廣義布朗運(yùn)動(dòng)).2. Ito引理定理1.0.6 (Ito引理)若隨機(jī)過(guò)程為廣義Ito過(guò)程,且具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則. (1.0.12)證明: . (1.0.13) ,其中為的高階無(wú)窮小.令,則. (1.0.14) , (1.0.15)又 ,其中為的高階無(wú)窮小 .例 1.0.7 ,均為正常數(shù),. (1.0.16)幾何布朗運(yùn)動(dòng). , 但. 可以證明滿足(1.0.16)的有,.取,則. (1.0.17)(三) 測(cè)度轉(zhuǎn)換設(shè)在帶域流的概率空間上服從R-值標(biāo)準(zhǔn)的Brown運(yùn)動(dòng).假定隨機(jī)過(guò)程是的存在,且滿足下述所謂的Novikov 條件:, 令 (1.0.18) (1.0.19)定理1.0.8 (1) ,. (1.0.20)(2) . (1.0.21)(3) 是與概率測(cè)度等價(jià)的概率測(cè)度證明: (1) 設(shè)滿足, 則 .又由Ito公式知,故 ,則.,所以,.(2) 由(1.0.20)知 ,于是(1.0.7)知(3) 由(1.0.18)、(1.0.19)知.由(1.0.21)知.設(shè),則,則.定理1.0.9(Giranov定理) 令. (1.0.22)則是帶域流的概率空間上服從R-值標(biāo)準(zhǔn)的Brown運(yùn)動(dòng).(四) Holder不等式定理1.0.10 (Holder不等式) (1) 若在上Lebesgue可積,則,. (1.0.23)(2) 若 , 則. (1.0.24)(3) 若在上Lebesgue可積,則. (1.0.25)證明: (1) 所以(2)證明略.(3) .例 1.0.9 證明 , (1.0.26)其中, .證明：對(duì)于任何有. 二、基本假設(shè)和債券、價(jià)格過(guò)程1. 基本假設(shè)定義1.1 稱(chēng)市場(chǎng)M為無(wú)摩擦的,如果(1) 資產(chǎn)的交易時(shí)間和額度是連續(xù)的;(2) 不存在交易費(fèi)和稅收;(3) 對(duì)資產(chǎn)的交易沒(méi)有約束(比如,可以賣(mài)空等);(4) 存款與借款的利率相同.無(wú)摩擦市場(chǎng)是一種理想化的市場(chǎng).研究這樣市場(chǎng)的日的是揭示市場(chǎng)的許多內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì).以后,在無(wú)特殊聲明的情況下,我們總假定市場(chǎng)M是無(wú)摩擦的.仁面所說(shuō)的市場(chǎng)比較抽象.2. 債券、股票價(jià)格過(guò)程現(xiàn)在.讓我們來(lái)給出一個(gè)具體的市場(chǎng)模型,即給出市場(chǎng)中債券和股票的價(jià)格過(guò)程.記債券的價(jià)格過(guò)程為,假定它滿足如下常微分方程:, (1.1)其中稱(chēng)為時(shí)刻t的短期利率.我們記股票的價(jià)格過(guò)程為,.它們?cè)跁r(shí)間區(qū)間內(nèi)滿足如下的隨機(jī)微分方程(過(guò)程): (1.2) 在方程(1.2)中,為帶域流的概率空間上的一個(gè)d 維標(biāo)準(zhǔn)Brown 運(yùn)動(dòng),其中為Brown 運(yùn)動(dòng)生成的自然-域流,為第i 種股票的平均回報(bào)率,稱(chēng)為股票價(jià)格的波動(dòng)系數(shù)(它表示第j 種不定因素對(duì)第i 種股票價(jià)格過(guò)程的影響), pi0第i 種股票的初始價(jià)格.我們記,由上面(1.1)和(1.2)可知,當(dāng)和給定時(shí),債券和股票的價(jià)格過(guò)程就完全確定了.因此,當(dāng)和給定時(shí),人們就認(rèn)為一個(gè)(連續(xù)時(shí)間的)證券市場(chǎng)給定了.我們將用M來(lái)記這個(gè)市場(chǎng)以強(qiáng)調(diào)市場(chǎng)對(duì)和的依賴.為了研究(1.1)和(1.2),讓我們引人一些空間,它們將在后面的討中反復(fù)用到.;. (1.3)現(xiàn)在,我們對(duì)市場(chǎng)M引人三種可能的假定:(M1) 為-循序可測(cè)的有界隨機(jī)過(guò)程.(相空間,對(duì)均有)(M2) 為有界可測(cè)函數(shù).(M3) 為常數(shù).在上述條件中, (M1)最弱, (M2)其次, (M3)最強(qiáng),以后,我們總假定市場(chǎng)M至少滿足(M1).4. 債券、股票價(jià)格的解析式容易知道,在(M1)條件下,常微分方程(1.1)存在惟一解:. (1.4)在引理中取,則(注意由于,我們可以證明,從而有意義.).由及(1.0.7)知, (1.5)所以,在(Ml)條件下,(1.2)的強(qiáng)解為. (1.6) 從上面(1.6)可見(jiàn),當(dāng)時(shí),必有.進(jìn)一步,我們不難證明: (1.7)需要注意的是,一般而言,對(duì),和未必是有界的,所以 (1.7)第二式中出現(xiàn)的是,而不是.以后,我們稱(chēng) (1.8)為貼現(xiàn)因子過(guò)程,并且對(duì)任何-適應(yīng)過(guò)程,我們稱(chēng)為相應(yīng)于的貼現(xiàn)過(guò)程.于是,我們稱(chēng)為貼現(xiàn)資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程,顯然.回憶第5章,我們知道,這意味著債券己被取作計(jì)價(jià)單位.由(1.2)和(1.8)知,故,貼現(xiàn)股票價(jià)格過(guò)程滿足: (1.9)類(lèi)似于求解(1.2),我們知道,在(Ml)條件下, (1.9)的惟一強(qiáng)解由下式給出:, (1.10) 并且也有:. (1.11)三、證券組合過(guò)程和財(cái)富過(guò)程現(xiàn)在我們來(lái)考慮一個(gè)投資問(wèn)題:假定投資者以初始財(cái)富調(diào)整在時(shí)刻t進(jìn)入市場(chǎng),該投資者可以在時(shí)間區(qū)間內(nèi)選擇股票和債券的持有量并可以連續(xù)調(diào)整.記時(shí)刻t投資者持有第i 種資產(chǎn)的股數(shù)為,并記時(shí)刻t投資者的財(cái)富總市值為,則有. (1.12)我們稱(chēng)為一個(gè)證券組合過(guò)程(也稱(chēng)之為投資策略),為一個(gè)財(cái)富過(guò)程.需要提請(qǐng)讀者注意的是,每個(gè)從都是允許取負(fù)值的,這表示賣(mài)空或借款是允許的.直觀地想象,每個(gè)都應(yīng)該是一個(gè)階梯函數(shù),并且是右連續(xù)的,因此應(yīng)該屬于的最自然的函數(shù)類(lèi)是右連續(xù)的有界變差函數(shù).由干有界變差函數(shù)是幾乎處處連續(xù)的,故每一點(diǎn)的左右極限總是存在的.所以,經(jīng)過(guò)修正以后,總是可以假定以概率1,過(guò)程在每一點(diǎn)右連續(xù)且存在左極限.我們常用RCLL表示右連續(xù)且具有左極限的函數(shù),現(xiàn)在引入, (1.13)其中,對(duì)任何(確定性函數(shù)) , (1.14)由 ，故. (1.15) 除了以投資者在時(shí)刻t持有資產(chǎn)的股數(shù)作為證券組合過(guò)程外,我們還有另外一些描述證券組合過(guò)程的方式.不同的情況下用不同方式來(lái)表示證券組合可以給我們的討論帶來(lái)方便.記為該投資者在時(shí)刻t 持有第種資產(chǎn)的市值,則. (1.16) 我們也稱(chēng)為一個(gè)證券組合過(guò)程,易知與可以由下述關(guān)系相互確定:. (1.17) 由于每個(gè)允許取負(fù)值,每個(gè)當(dāng)然也允許取負(fù)值,比較自然的每個(gè)所屬的空間應(yīng)當(dāng)是,其中,為某個(gè)常數(shù).由于未必是有界的,因此,當(dāng)時(shí),我們不能保證,反之依然, (因?yàn)橐膊皇怯薪绲?.所以,在的框架下,和缺乏理想的對(duì)等性.下面的命題改觀了這種情形,并且還揭示了和之間的一些重要關(guān)系.命題1.2 假定(M1)成立,(1) 對(duì)于當(dāng)且僅當(dāng);(2) 如果,則, (1.18)此處, (1.19) 對(duì),下述關(guān)系式成立: , (1.20) (類(lèi)似于黎曼積分中)證明：(1) 對(duì)于任何由(1.7), (1.17)和(1.0.23),我們有 (1.21)從而由(1.7)知,可以推出.反過(guò)來(lái) (1.21.1)(1)得證.(2) 由(1.2)我們有, (1.22)則則 , (1.22.1)由(1.0.9)知 , (1.22.2)又 , (1.22.3)因此,注意到(M1),當(dāng)時(shí), (1.22.1)中第一式成立；由(1.0.25)知 , (1.23)其中K 0為一個(gè)絕對(duì)常數(shù).同理可知 (1.23.1)由(1.22.1), (1.22.2), (1.22.3), (1.23), (1.23.1) 知如果,則對(duì)任何的分割,我們有 , (1.24)上式中,第一項(xiàng)收斂是利用(1.2)以及Lebesgue 積分和Ito 積分的定義.這項(xiàng)收斂是在中的(當(dāng))時(shí),所以,也可以認(rèn)為是以概率1 收斂的.第二項(xiàng)的收斂是對(duì)幾乎所有的.由Lebesgue- stieltjes積分的定義,于是,(1.20)成立.上面(1.20)左端Lebesgue- stieltjes積分的那種寫(xiě)法是出于對(duì)端點(diǎn)的考慮.由命題1.2可知當(dāng)有界時(shí),對(duì)所有的,成立.在以后的討論中,我們將分別采用和作為和所屬于的空間.此外,如果記為時(shí)刻t 投資者持有第i 種資產(chǎn)的市值占總財(cái)富的比,則 (1.25) 我們有時(shí)也用作為證券組合過(guò)程.需要指出,只有在一定的條件下人們才能用來(lái)描述投資者的證券組合過(guò)程.比如,我們至少要求財(cái)富過(guò)程滿足: (1.26 ) 關(guān)于此點(diǎn),我們稍后還將討論.另外,每個(gè)也允許取負(fù)值.上面(1.25)中的第二式并不表明是一組凸組合系數(shù)。比較自然的每個(gè)所屬的空間似乎應(yīng)當(dāng)是,不過(guò),我們將會(huì)看到比稍大一些的某個(gè)空間將更合適.8.2 證券組合過(guò)程的自融資性一、 證券組合過(guò)程的自融資性定義2.1 在給定時(shí)間區(qū)間內(nèi),稱(chēng)投資者的投資行為(或證券組合過(guò)程)是自融資的,若在內(nèi),除了初始財(cái)富外,該投資者沒(méi)有資金流人或流出市場(chǎng)(即不再另有資金注人也不從市場(chǎng)中抽取資金).用數(shù)學(xué)語(yǔ)言可以這樣來(lái)描述: 稱(chēng)證券組合過(guò)程 為自融資的,假如. (2.1)又(2.1). (2.2)我們可以這樣來(lái)理解(2.1): 是投資者在時(shí)刻t 持有第i 種資產(chǎn)份數(shù)的調(diào)整量,而為第i 種資產(chǎn)份數(shù)調(diào)整后市值的變化量.在沒(méi)有另外的資金注入或抽出時(shí),增加某種資產(chǎn)的持有量只有通過(guò)減少其他資產(chǎn)的持有量來(lái)實(shí)現(xiàn),而這種調(diào)整不影響總的資產(chǎn)市值,也就是說(shuō),在任意時(shí)刻,股票與債券的持有量的變化不影響其總資產(chǎn)的市值.從另外一個(gè)角度來(lái)看,在任意一個(gè)時(shí)間段t,只有所持有資產(chǎn)價(jià)格的變化才會(huì)給投資者的總資產(chǎn)帶來(lái)變化,這恰恰是(2.1)中第一個(gè)等式所表達(dá)的意思.值得注意,為了使得(2.1)有意義,我們只需假定,而為了使(2.1)有意義,我們必須假定當(dāng).盡管這兩個(gè)條件互不包含,但后者用起來(lái)更方便一些,因此,我們采用了(2.2)作為證券組合過(guò)程為自融資的條件. 我們可以將上述關(guān)于證券組合過(guò)程的自融資性“翻譯”成關(guān)于證券組合過(guò)程的自融資性.事實(shí)上,當(dāng)(1.17)和(1.2)成立時(shí),(2.2)等價(jià)于下式:+, (2.3)于是,類(lèi)似于定義2.1,我們可以引人下述定義.二、 證券組合過(guò)程的自融資性定義2.2 證券組合過(guò)程稱(chēng)為自融資的,假如(2.3)成立.根據(jù)定義2.1和2.2,我們知道,假定一個(gè)證券組合過(guò)程本身屬于一個(gè)較小的空間.如果它作為一個(gè)較大空間的元素是自融資的,則它作為較小空間的元素也是自融資的.自融資條件(2.3)表明中的元素只有滿足某種約束才能成為自融資的。這對(duì)以后的論論是不太方便的,下面我們?cè)噲D解除這種不便.若記, ,則(2.1)(2.2)(2.3) , (2.4) 再由(1.16),可得， (2.5)如果我們記, (2.6)則易見(jiàn), 當(dāng)時(shí), (2.7)且(2.5)變成, (2.8)這是一個(gè)關(guān)于的(線性)積分方程,我們來(lái)求解它.為此, 記 (2.9)則(2.8)變成 (2.10)從而 (2.11). (2.12)這就是(2.8)的解.由(2.7)可知,從而,我們得到下述命題.命題2.3 設(shè)(M1)成立, 對(duì)任何的, 如果按(2.12)方式定義, 則是自融資的。命題2.3 告訴我們,對(duì)于任何,只會(huì)存在惟一的,使得是自融資的.值得注意的是,在空間是任意的，沒(méi)有額外的約束,這一點(diǎn)是很重要的.為方便起見(jiàn),以后我們稱(chēng)為一個(gè)證券組合過(guò)程.此時(shí)意味著我們討論自融資證券組合過(guò)程,其中, 由(2.12)給出,需要指出的是我們不討論的自融資性.由命題2.3,我們可以得到證券組合過(guò)程的相應(yīng)結(jié)果.事實(shí)上,由(1.17)和(2.6)可知(2.12)等價(jià)于=+ (2.13)因此,我們得到的表達(dá)式(注意(l.8): (2.14)也就是說(shuō),當(dāng)時(shí),由(2.14)可以定義.由于,而有界的,故,這樣,我們便得到了以下的命題.命題2.4 設(shè)(M1)成立,對(duì)任何,存在惟一的, 使得是自融資的.類(lèi)似于對(duì)自融資性的分析,由命題2.4,任給的,可以構(gòu)造出一個(gè)自融資的證券組合過(guò)程,其中由(2.14)給出.以后我們稱(chēng)為一個(gè)證券組合過(guò)程,這意味著我們討論自融資證券組合過(guò)程.容易想象,對(duì)于證券組合過(guò)程也可以討論其自融資性。不過(guò)，由于它牽扯到其他一些問(wèn)題，我們暫時(shí)將其放一下.三、 在自融資條件下,財(cái)富過(guò)程下面,對(duì)給定的自融資證卷組合過(guò)程我們來(lái)推導(dǎo)投資者的財(cái)富過(guò)程所滿足的方程。由自融資條件(2.1)可得(注意(1.12): (2.15)從而,我們有 (2.16) 利用(1.17),我們還順便得到: (2.17)再由(1.25),并, 則有 (2.18)在假設(shè)(M1)下,對(duì)任何的,(2.17)與(2.18.1)等價(jià) (2.18.1) 由隨機(jī)微分方程理論,(2.17)存在唯一的強(qiáng)解: (2.19)從這里可以看到,在自融資條件下,財(cái)富過(guò)程由和唯一確定,而,所以,在自融資條件下,投資者的證券組合中債券資者的證券組合中債券持有量由股票持有量和總資產(chǎn)所確定,股票持有量的調(diào)整聽(tīng)造成的資金盈余或不足由購(gòu)買(mǎi)債券或出售債券所軋平.類(lèi)似地,在假設(shè)(M1)下,方程( 2.16)有強(qiáng)解: (2.20) 其中,由(1.6)給出.由(1.7)知,只要, (2.20)的右端就有明確定義.對(duì)于方程(2.18),形式上,其強(qiáng)解具有表達(dá)式(Iot引理):. (2.21) 從上式可以看出,只要右端定義明確,則財(cái)富過(guò)程的符號(hào)完全由初始財(cái)富y決定.下面的命題對(duì)給出了更多有用的信息,并且也讓我們明了證券組合過(guò)程應(yīng)該屬于的空間. 命題2.5 假定(M1)成立，且y0，則對(duì)任何. (2.22)由(2.21)可以明確地定義財(cái)富過(guò)程,且它滿足, (2.23). (2.24)其中,不依賴于和y .證明: 對(duì)任何的,我們有(任取) . (2.25)在上面的證明中,我們用到了下面的事實(shí): , (2.26)(設(shè)滿足:,則.又由Ito公式可知,所以.)這是一個(gè)重要的結(jié)論.詳細(xì)證明可以參見(jiàn)文獻(xiàn)(I. Karatzas and S. E. Shreve,1998).我們注意到. (2.27)四、 證券組合過(guò)程的自融資性現(xiàn)在,我們來(lái)簡(jiǎn)略地討論證券組合過(guò)程的自融資性.由(1.25)可知自融資條件(2.3)等價(jià)于+, (2.28)于是當(dāng)時(shí),有(注意), , (2.29)再由(2.6) 、(2.11)和(1.25),我們得到的表達(dá)式:, (2.30)另一方面,由(1.25)的第二式,我們有常數(shù),使得 (2.31)因此,當(dāng)時(shí),必有.這樣,我們就得到了下述的定義和命題.定義2.6 證券組合過(guò)程稱(chēng)為自融資的,假如(2.28)成立,其中,由(2.21)給出.命題 2.7 設(shè)(M1)成立,則對(duì)任何,存在唯一的,使得是自融資的.上面，我們介紹了三類(lèi)證券組合過(guò)程.它們由(1.1)和(1.2)）聯(lián)系在一起,為了確定起見(jiàn),在無(wú)特別指明的情況下,以后我們的證券組合過(guò)程由來(lái)描述.記為-適應(yīng)的,滿足, (2.32)其中,.任何稱(chēng)為一個(gè)(上的)可行證券組合過(guò)程.容易看到. (2.33)前面曾經(jīng)提到貼現(xiàn)因子(見(jiàn)(1.8)和貼現(xiàn)股價(jià),等等,進(jìn)一步,我們稱(chēng)為貼現(xiàn)財(cái)富過(guò)程(回憶(1.8).由(2.18.1)推得滿足下述方程: (2.34) 其中,稱(chēng)為貼現(xiàn)證券組合過(guò)程.五. 有摩擦的市場(chǎng)的財(cái)富過(guò)程現(xiàn)在,我們對(duì)有摩擦的市場(chǎng)作一點(diǎn)簡(jiǎn)單的討論.實(shí)際的金融市場(chǎng)總是有摩擦的.這主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:證券組合受約束、有交易費(fèi)要求以及存借款利率不同且有借款約束,等等。以下我們將分別加以描述.首先,在實(shí)際的金融市場(chǎng)中總是存在證券組合約束.這種約束主要來(lái)自兩個(gè)原因:一方面是金融市場(chǎng)的監(jiān)管者為防止投資者特別是大投資者過(guò)度操縱市場(chǎng)而強(qiáng)制規(guī)定的一些約束條件,如,單個(gè)投資者持有任一種股票的股數(shù)不能超過(guò)該股票總股數(shù)的一定比例;另一方面,投資者本身(特別是機(jī)構(gòu)投資者)為防范風(fēng)險(xiǎn),也會(huì)作出一些證券組合約束規(guī)定,如,持有任一種股票的總市值不能超過(guò)投資者財(cái)富總額的一定比例.用數(shù)學(xué)模型來(lái)描述,通常有如下幾種類(lèi)型的證券組合約束,對(duì)給定的 ,(C1) ; (C2) ;(C3) .我們定義: (2.35)任何稱(chēng)為一個(gè)(上的)允許可行證券組合過(guò)程.類(lèi)似地,我們可以定義證券組合過(guò)程和的可行性和允許性.我們來(lái)看一看下面比較典型的證券組合約束:, (2.36) 若,則對(duì)約束條件(C1)來(lái)說(shuō),其意義是指投資者持有第種股票的市值有上下限限制;對(duì)約束條件(C2)來(lái)說(shuō),其意義是指投資者持有任何一種股票的股數(shù)有上下限限制;而對(duì)約束條件(C3)來(lái)說(shuō),則是指投資者持有任何一種股票的市值不能超過(guò)總財(cái)富額的一定比例.若,則對(duì)(C1)及(C2)來(lái)說(shuō),其意義為第種股票被禁止賣(mài)空.若,則對(duì)三種類(lèi)型的約束條件來(lái)說(shuō),均為不能買(mǎi)賣(mài)第i 種股票.其次,市場(chǎng)上的存借款利率總是不一樣的,有時(shí)還有借款約束.若投資者持有債券的市值為正時(shí),我們可以認(rèn)為該投資者在貨幣市場(chǎng)有儲(chǔ)蓄;若市值為負(fù)時(shí),則實(shí)際上為貨幣市場(chǎng)的借款。在實(shí)際市場(chǎng)中,借款的利率總是高于存款利率.如該投資者的貨幣市場(chǎng)賬戶是信用賬戶(如信用卡),則借款利率還可能與借款的額度有關(guān).特別地,還可能有借款的上限約束(透支上限).此時(shí),我們定義利息函數(shù),滿足如下條件:(l) ;(2)為凹函數(shù);(3) 存在常數(shù),當(dāng)時(shí)有.一個(gè)典型的利息函數(shù)例子為： (2.37) 在利息函數(shù)下,對(duì)給定的證券組合過(guò)程,財(cái)富過(guò)程滿足如下的隨機(jī)微分方程: (2.38) 市場(chǎng)上通常還有借款約束,比如存在常數(shù),要求, (2.39) 此時(shí),我們?cè)谀Ｐ椭锌梢詷?gòu)造這樣的利息函數(shù): 把(2.37)中的取值為充分大的常數(shù),其意義是對(duì)大于的借款部分,利率充分大,以至于人們不愿問(wèn)津.從而, (2.39)被自動(dòng)地“蘊(yùn)含”在利息函數(shù)(2.37)的采用之中.最后,市場(chǎng)總是有交易費(fèi)要求.假定交易費(fèi)是按照股票交易金額的一定比例收取: 買(mǎi)入的交易費(fèi)比率為,賣(mài)出為,.許多情況下,.記到t 時(shí)刻為止累積買(mǎi)人和賣(mài)出的第i 種股票股數(shù)分別為與,則恰為t時(shí)刻投資者持有的第i 種股票的股數(shù).記投資者在t 時(shí)刻持有的債券手?jǐn)?shù)為,則當(dāng)證券組合過(guò)程滿足 (2.40)時(shí),稱(chēng)投資者的投資組合過(guò)程為自融資的.記和為右連左極適應(yīng)增過(guò)程 (2.41) 我們稱(chēng)為證券組合過(guò)程集.在自融資條件下,對(duì)給定的證券組合過(guò)程,相應(yīng)的財(cái)富過(guò)程滿足: (2.42 )以上我們介紹了一些連續(xù)時(shí)間市場(chǎng)模型,這些模型將是以后的章節(jié)討論的基礎(chǔ).值得注意的是,在本書(shū)中我們總是假定股票價(jià)格過(guò)程滿足的方程是隨機(jī)微分方程(1.2),也就是說(shuō),股票價(jià)格過(guò)程是所謂的兒何Brown 運(yùn)動(dòng).有許多文獻(xiàn)研究了其他的一些價(jià)格模型,如股票價(jià)格過(guò)程為帶跳的隨機(jī)過(guò)程.對(duì)這些價(jià)格模型,我們也可以建立相應(yīng)的理論.如自融資的證券組合過(guò)程以及相應(yīng)的財(cái)富過(guò)程所滿足的方程.本書(shū)對(duì)此不作詳細(xì)論述,有興趣的讀者可以去查閱相應(yīng)的文獻(xiàn).8 .3 無(wú)套利與等價(jià)鞅測(cè)度在這一節(jié)和下一節(jié)中，我們將討論有關(guān)連續(xù)時(shí)間證券市場(chǎng)中的幾個(gè)重要概念。這些概念在離散時(shí)間市場(chǎng)的討論中已經(jīng)涉及過(guò),所以,它們對(duì)我們來(lái)說(shuō)已經(jīng)不陌生了.希望讀者能自行作一些比較.一、基本概念 定義3.1 對(duì)給定的市場(chǎng)與初始財(cái)富y =0,若證券組合滿足: (3.1) 則稱(chēng)為一個(gè)套利證券組合過(guò)程(也稱(chēng)套利策略過(guò)程).若在市場(chǎng)中這樣的證券組合過(guò)程存在,則稱(chēng)市場(chǎng)的在下是有套利的,否則稱(chēng)市場(chǎng)在下是無(wú)套利的.定義3.2 記,我們稱(chēng)為市場(chǎng)在時(shí)刻t的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)(risk premium).若存在值的適應(yīng)過(guò)程 使得 (3.2) 則稱(chēng)為市場(chǎng)在時(shí)刻t 的風(fēng)險(xiǎn)市價(jià)(market price of risk).我們分別稱(chēng)和為市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)過(guò)程和風(fēng)險(xiǎn)市價(jià)過(guò)程.從上面的定義3.2可見(jiàn),一般而言,市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)市價(jià)過(guò)程可以是不惟一的.事實(shí)上,如果為市場(chǎng)的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)市價(jià)過(guò)程, 為任何一個(gè)適應(yīng)過(guò)程滿足,則由(3.2),知也是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)市價(jià)過(guò)程.所以,只要使得的所有構(gòu)成的中的子集, 具有dPdt 正測(cè)度,則風(fēng)險(xiǎn)市價(jià)過(guò)程就不惟一.反之亦然.二、測(cè)度轉(zhuǎn)換現(xiàn)在假定風(fēng)險(xiǎn)市價(jià)過(guò)程存在,且滿足下述所謂的Novikov 條件:, (3.3)則我們可以定義, (3.4)然后定義, (3.5)是上的一個(gè)概率測(cè)度,并且它與P是等價(jià)的,即對(duì)任何,當(dāng)且僅當(dāng).事實(shí)上，由It方程知,滿足則,即,故,. 現(xiàn)在令, (3.6) (3.6.1)由Giranov 定理可知,是概率測(cè)度空間中的一個(gè)值標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng).這樣,股票價(jià)格過(guò)程所滿足的隨機(jī)微分方程可以寫(xiě)成(注意(3.2) : , (3.7)由知,貼現(xiàn)股票價(jià)滿足, (3.8)因此, (3.9)故從而,滿足, (3.10)則也就是說(shuō),是一個(gè)取值于的鞅.我們引入下述定義:定義3.3 概率空間上的概率測(cè)度Q 稱(chēng)為是市場(chǎng)的一個(gè)等價(jià)鞅測(cè)度,如果Q與P 等價(jià),并且是一個(gè)取值于的Q-鞅.上面的分析可以歸納為下述命題.命題3.4 假定(M1)成立,設(shè)風(fēng)險(xiǎn)市價(jià)過(guò)程存在,且滿足Novikov 條件(3.3),則由(3.5)定義的是市場(chǎng)的一個(gè)等價(jià)鞅測(cè)度.在命題3.4的條件下,財(cái)富過(guò)程滿足(注意(2.17)(3.2)(3.6) (3.11) 而貼現(xiàn)財(cái)富過(guò)程滿足(注意(2.35): (3.12) 類(lèi)似于(3.9)(3.10)可知,是一個(gè)-鞅。由股票價(jià)格過(guò)程所滿足的隨機(jī)微分方程(3.7)可知,在等價(jià)鞅概率測(cè)度下,每種股票的平均增長(zhǎng)率都等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率,如果我們假定是一個(gè)確定性的可測(cè)函數(shù),因而我們也稱(chēng)為風(fēng)險(xiǎn)中性的概率測(cè)度.三、無(wú)套利性與等價(jià)鞅測(cè)度的聯(lián)系值得注意,市場(chǎng)的存在等價(jià)鞅測(cè)度并不說(shuō)明即為等價(jià)鞅測(cè)度.事實(shí)上,甚至我們暫時(shí)還不知道風(fēng)險(xiǎn)市價(jià)過(guò)程是否存在,即使存在,也不知道它是否滿足Novikov 條件(3.3).不過(guò),在市場(chǎng)中，無(wú)套利性與等價(jià)鞅測(cè)度的存在性有著密切的聯(lián)系.定理3.5 若市場(chǎng)存在等價(jià)鞅測(cè)度,則市場(chǎng)是無(wú)套利的.證明: 首先,我們注意到(1.8) (3.13) 而對(duì)于自融資的, (3.14) 將(3.14)代入(3.13)可得: (3.15) 從而, (3.16)因是-鞅,我們斷言也必為-鞅.事實(shí)上,對(duì)任何的一個(gè)分割我們有, (3.17)由于 (3.18)此處，, (3.18)的收斂性成立于.因此,我們得到 (3.19)因而, 是-鞅,于是,如果,則 (3.20)從而不可能有證券組合過(guò)程,使得(3.1)成立,所以,市場(chǎng)無(wú)套利.嚴(yán)格說(shuō)來(lái),市場(chǎng)中等價(jià)鞅概率測(cè)度的存在性只與系數(shù)有關(guān),但是.市場(chǎng)是否無(wú)套利則與所考慮的自融資證券組合過(guò)程集合的大小及財(cái)富過(guò)程有關(guān),也就是說(shuō),市場(chǎng)是否無(wú)套利還與市場(chǎng)是否無(wú)摩擦有關(guān).這里我們僅考慮了在無(wú)摩擦市場(chǎng)的無(wú)套利問(wèn)題.盡管等價(jià)鞅測(cè)度的存在并不能說(shuō)明存在滿足Novikov條件(3.3)的風(fēng)險(xiǎn)市價(jià)過(guò)程,但我們?nèi)杂腥缦陆Y(jié)果:定理3.6 假定成立,如果市場(chǎng)是無(wú)套利的,則風(fēng)險(xiǎn)市價(jià)過(guò)程存在.證明: 假如風(fēng)險(xiǎn)市價(jià)過(guò)程不存在，我們令 (3.21)則有 (3.22)(因?yàn)樵鰪V矩陣秩系數(shù)矩陣秩)從而,由Filippov 引理,存在使得, (3.23)并且 (3.24)取 (3.25)則有，且 (3.26)易知(及(2.17) (3.27)這表明市場(chǎng)存在套利機(jī)會(huì),矛盾.下面的結(jié)果表明當(dāng)市場(chǎng)滿足一定條件時(shí)等價(jià)鞅測(cè)度存在。定理3.7 設(shè)成立，假定，且存在，使得 (3.28)則市場(chǎng)存在滿足Novikov 條件的風(fēng)險(xiǎn)市價(jià)過(guò)程，從而市場(chǎng)存在等價(jià)鞅測(cè)度.進(jìn)而市場(chǎng)無(wú)套利.證明: 由條件(3.28)可知,存在,且為一有界過(guò)程.令 (3.29)則為方程 (3.30)的一個(gè)解,且為有界過(guò)程,從而Novikov 條件(3.3)成立,即滿足Novikov 條件的風(fēng)市價(jià)過(guò)程存在,因此,由命題3.4,為市場(chǎng)的等價(jià)鞅測(cè)度.證畢.由于在條件(3.28)下,風(fēng)險(xiǎn)市價(jià)過(guò)程可以是不惟一的,因此,一般而言,在等價(jià)鞅測(cè)度存在時(shí),它可以是不惟一的,這和單時(shí)段市場(chǎng)情形下風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度的不惟一性是類(lèi)似的.需要指出的是,市場(chǎng)無(wú)套利性是依賴于證券組合過(guò)程集合大小的.市場(chǎng)在較小的證券組合過(guò)程集合下比較容易“無(wú)套利”,或者說(shuō),在較小的證券組合過(guò)程集合中較難找到套利證券組合過(guò)程.一個(gè)極端的例子是:如果證券組合過(guò)程集合為,即只允許買(mǎi)債券(或存銀行),則市場(chǎng)總是無(wú)套利的.由此可見(jiàn),嚴(yán)格地講,在定義市場(chǎng)無(wú)套利時(shí),應(yīng)該指明是關(guān)于哪一個(gè)證券組合過(guò)程集合而言的.我們也可以定義關(guān)于證券組合過(guò)程或的市場(chǎng)的無(wú)套利性.關(guān)于的市場(chǎng)無(wú)套利性的定義與定義2.1極為相似.不過(guò),需要提請(qǐng)讀者注意的是，關(guān)于的市場(chǎng)無(wú)套利性的定義卻不能照搬3.1.假如我們?nèi)匀挥?.1,則對(duì)于任何證券組合過(guò)程由表達(dá)式(2.21)可知,當(dāng),從而,市場(chǎng)似乎必?zé)o套利,這顯然不能令人信服.我們將這個(gè)問(wèn)題留給讀者去思考.8.4 市場(chǎng)完備性在離散時(shí)間市場(chǎng)的討論中,我們已經(jīng)接觸過(guò)完備性的概念.現(xiàn)在,對(duì)于連續(xù)時(shí)間市場(chǎng),我們對(duì)它作進(jìn)一步的討論.我們需要區(qū)分兩種情形:市場(chǎng)有摩擦和無(wú)摩擦.對(duì)于一個(gè)無(wú)摩擦的市場(chǎng)而言,它所體現(xiàn)的特性完全由其系數(shù)來(lái)決定,所以,這是一種內(nèi)蘊(yùn)的性質(zhì).而對(duì)于一個(gè)有摩擦的市場(chǎng)而言,除了系數(shù)以外,還牽扯到可能的證券組合過(guò)程或財(cái)富過(guò)程的約束條件、可能的交易費(fèi)率、不同的利息函數(shù)等等,因此,這時(shí)市場(chǎng)表現(xiàn)出來(lái)的特性還具有一些外在因素造成的后果.記可測(cè)的平方可積隨機(jī)變量全體為.我們首先引入下述定義.定義4.1 在時(shí)刻0簽署的一份承諾在時(shí)刻T 支付的合同稱(chēng)為一個(gè)0,T上的歐式未定權(quán)益。 為了方便起見(jiàn),在本節(jié)中,我們省略“歐式”二字,并且直接稱(chēng)為一個(gè)未定權(quán)益，現(xiàn)在我們給出下述定義.定義4.2 假定是一個(gè)允許有摩擦的市場(chǎng),為0,T上上允許投資策略全體.(1) 未定權(quán)益稱(chēng)為-可套期保值的(或可上復(fù)制的),如果存在初始財(cái)富及允許證券組合過(guò)程,使得 (4.1) 這里,證券組合過(guò)程稱(chēng)為的一個(gè)套期保值過(guò)程(或上復(fù)制過(guò)程), y 稱(chēng)為初始套期保值財(cái)富.(2) 未定權(quán)益稱(chēng)為-可復(fù)制的,如果存在初始財(cái)富及允許證券組合過(guò)程使得 (4.2)(3) 在給定的時(shí)間區(qū)0,T上稱(chēng)市場(chǎng)是廣義完備的,如果任意的未定權(quán)益都是-可復(fù)制的.如果市場(chǎng)不是廣義完備的,則稱(chēng)之為廣義不完備的.(4) 對(duì)于無(wú)摩擦市場(chǎng),相應(yīng)地,可以定義-可套期保值和-可復(fù)制.如果任意的未定權(quán)益都是-可復(fù)制的,則稱(chēng)市場(chǎng)是內(nèi)蘊(yùn)完備的,當(dāng)市場(chǎng)不是內(nèi)蘊(yùn)完備的,則稱(chēng)之為內(nèi)蘊(yùn)不完備的.容易知道,如果一個(gè)市場(chǎng)是內(nèi)蘊(yùn)不完備的,則對(duì)其施加任何約束(摩擦)后,市場(chǎng)必是廣義不完備的,因此,內(nèi)蘊(yùn)不完備性是本質(zhì)的.另外,至少?gòu)亩x中可見(jiàn),內(nèi)蘊(yùn)完備的市場(chǎng)在施加約束（摩擦）以后有可能成為廣義不完備的.事實(shí)上,只要施加的約束不是平凡的,即約束使得映照的值域變小,那么,該市場(chǎng)就可能是廣義不完備的了.因此,就市場(chǎng)的本質(zhì)特性而言,我們應(yīng)該著重討論市場(chǎng)的內(nèi)蘊(yùn)完備性.在本節(jié)余下部分中,我們僅討論市場(chǎng)的內(nèi)蘊(yùn)完備性,為了敘述簡(jiǎn)潔起見(jiàn),我們省略“內(nèi)蘊(yùn)”二字.由財(cái)富過(guò)程所滿足的方程可知,市場(chǎng)是完備的等價(jià)于:對(duì)任給的未定權(quán)益,存在,使得為倒向隨機(jī)微分方程 (4.3) 的一個(gè)適應(yīng)解.關(guān)于倒向隨機(jī)微分方程的有關(guān)知識(shí),可以參見(jiàn)附錄.定理4 .3 設(shè)(Ml)成立,且,若存在常數(shù),使得 (4.4) 則市場(chǎng)完備.證明: 由(4.4)可知,矩陣的逆存在且有界,則,由條件(M1)知,市場(chǎng)存在滿足Novikov 條件的風(fēng)險(xiǎn)市價(jià)過(guò)程,于是