鏡像法及其應(yīng)用.doc

鏡像法在靜電場(chǎng)中，如果在所考慮的區(qū)域內(nèi)沒(méi)有自由電荷分布時(shí)，可用拉普拉斯方程求解場(chǎng)分布；如果在所考慮的區(qū)域內(nèi)有自由電荷分布時(shí)，可用泊松方程求解場(chǎng)分布。如果在所考慮的區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)或者幾個(gè)點(diǎn)電荷，區(qū)域邊界是導(dǎo)體或介質(zhì)界面時(shí)，一般情況下，直接求解這類(lèi)問(wèn)題比較困難，通?？刹捎靡环N特殊方法鏡象法來(lái)求解這類(lèi)問(wèn)題。鏡像法是直接建立在唯一性定理基礎(chǔ)上的一種求解靜電場(chǎng)問(wèn)題的方法。適用于解決導(dǎo)體或介質(zhì)邊界前存在點(diǎn)源或線(xiàn)源的一些特殊問(wèn)題。鏡像法的特點(diǎn)是不直接求解電位函數(shù)所滿(mǎn)足的泊松或拉普拉斯方程，而是在所求區(qū)域外用簡(jiǎn)單的鏡像電荷代替邊界面上的感應(yīng)電荷或極化電荷。根據(jù)唯一性定理，如果引入鏡像電荷后，原求解區(qū)域所滿(mǎn)足的泊松或拉普拉斯方程和邊界條件不變，該問(wèn)題的解就是原問(wèn)題的解。下面我們舉例說(shuō)明。1導(dǎo)體平面的鏡像例.1在無(wú)限大的接地導(dǎo)電平面上方處有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖3.2.1所示，求導(dǎo)電平板上方空間的電位分布。解建立直角坐標(biāo)系。此電場(chǎng)問(wèn)題的待求場(chǎng)區(qū)為；場(chǎng)區(qū)的源是電量為位于點(diǎn)的點(diǎn)電荷，邊界為面，由于導(dǎo)電面延伸到無(wú)限遠(yuǎn)，其邊界條件為面上電位為零。圖3.2.1導(dǎo)電平面上方的點(diǎn)電荷圖3.2.2點(diǎn)電荷的鏡像電荷 導(dǎo)電平板上場(chǎng)區(qū)的電位是由點(diǎn)電荷以及導(dǎo)電平面上的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的，但感應(yīng)電荷是未知的，因此，無(wú)法直接利用感應(yīng)電荷進(jìn)行計(jì)算。 現(xiàn)在考慮另一種情況，空間中有兩個(gè)點(diǎn)電荷和，分別位于和點(diǎn)，使得面的電位為零，如圖3.2.2。這種情況，對(duì)于的空間區(qū)域，電荷分布與邊界條件都與前一種情況相同，根據(jù)唯一性定理，這兩種情況區(qū)域的電位是相同的。也就是說(shuō)，可以通過(guò)后一種情況中的兩個(gè)點(diǎn)電荷來(lái)計(jì)算前種問(wèn)題的待求場(chǎng)。對(duì)比這兩種情況，對(duì)區(qū)域的場(chǎng)來(lái)說(shuō)，后一種情況位于點(diǎn)的點(diǎn)電荷與前一種情況導(dǎo)電面上的感應(yīng)電荷是等效的。由于這個(gè)等效的點(diǎn)電荷與待求場(chǎng)區(qū)的點(diǎn)電荷相對(duì)于邊界面是鏡像對(duì)稱(chēng)的，所以這個(gè)等效的點(diǎn)電荷稱(chēng)為鏡像電荷，這種通過(guò)場(chǎng)區(qū)之內(nèi)的電荷與其在待求場(chǎng)區(qū)域之外的鏡像電荷來(lái)進(jìn)行計(jì)算電場(chǎng)的方法稱(chēng)為鏡像法。需要特別強(qiáng)調(diào)，鏡像法只是對(duì)特定的區(qū)域才有效，鏡像電荷一定是位于有效的場(chǎng)區(qū)之外。現(xiàn)在回到本例中來(lái)，所求場(chǎng)區(qū)的電位應(yīng)滿(mǎn)足以下方程： （3.2）邊界條件為： （3.3） （3.4）圖3.2.3點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像電荷在處放一鏡像電荷來(lái)代替導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷的作用，并將區(qū)域換成真空。判斷能否代替的標(biāo)準(zhǔn)是看代替后在區(qū)域內(nèi)所產(chǎn)生的場(chǎng)是否仍滿(mǎn)足方程(3.2)和邊界條件(3.3)、(3.4)。與在的區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生的電位為（3.5）時(shí)，式（3.5），因此新系統(tǒng)對(duì)邊界條件（3.3）自然滿(mǎn)足。同時(shí)，式（3.5）也滿(mǎn)足式（3.4）的邊界條件。在的區(qū)域內(nèi)的電位為 （3.6）式（3.6）既滿(mǎn)足方程（3.2），又滿(mǎn)足邊界條件式（3.3）、（3.4），由解的唯一性定理可知，它就是原問(wèn)題所求的電位解。為了更好地理解鏡像法的物理含意，我們對(duì)此例再稍加討論。由式(3.6)可求出上半空間的電場(chǎng)為在的平面上，只有即法向電場(chǎng)分量存在，亦即根據(jù)導(dǎo)體表面的邊界條件，導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷面密度為 （3.7）上式表明，在導(dǎo)體表面上并不是均勻分布的，但它的總感應(yīng)電荷為 （3.8）感應(yīng)電荷總量與鏡像電荷總量相等。這一結(jié)論是合理的，因?yàn)辄c(diǎn)電荷所發(fā)出的電力線(xiàn)全部終止在無(wú)限大的接地導(dǎo)體平面上。 討論：1）鏡像電荷是一些假想的電荷，它的引入不能改變所研究區(qū)域的原有場(chǎng)分布，因此鏡像電荷應(yīng)放在所研究的場(chǎng)區(qū)之外。2）鏡像電荷的具體位置與量值大小、符號(hào)的確定，應(yīng)滿(mǎn)足給定的邊界條件。不過(guò)很多時(shí)候是根據(jù)界面的情況，先假定像電荷的位置，再由邊界條件來(lái)決定像電荷的大小。3）既然用鏡像電荷代替了感應(yīng)電荷的作用，因此考慮了鏡像電荷后，就認(rèn)為導(dǎo)體面（或介質(zhì)面）不存在了，把整個(gè)空間看成是無(wú)界的均勻空間。所求區(qū)域的電位等于給定電荷所產(chǎn)生的電位和鏡像電荷所產(chǎn)生的電位的疊加。例2兩個(gè)半無(wú)限大的接地導(dǎo)電平面折成一直角區(qū)域，直角區(qū)有一點(diǎn)電荷，如圖3.2.4所示。求直角區(qū)域中的電位分布。題6圖圖3.2.4直角區(qū)域中的點(diǎn)電荷和鏡像解建立直角坐標(biāo)系，使直角導(dǎo)電面與坐標(biāo)平面相合，并使點(diǎn)電荷位于平面，設(shè)其坐標(biāo)為。現(xiàn)在，待求場(chǎng)區(qū)為的區(qū)域，邊界面為面與，在邊界面上電位為零。容易看出，對(duì)于如圖3.2.4所示的空間有相對(duì)坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)分布的四個(gè)點(diǎn)電荷的情況，在坐標(biāo)的第一象限與原問(wèn)題有相同的電荷分布和邊界條件。因此，可通過(guò)這四個(gè)點(diǎn)電荷求解待求場(chǎng)區(qū)的場(chǎng)，即式中，鏡像法不僅可用于以上介紹的導(dǎo)電平面和直角形導(dǎo)電面的情況，所有相交成(為正整數(shù))的兩個(gè)接地導(dǎo)體平面間的場(chǎng)（），都可用鏡像法求解，其鏡像電荷的個(gè)數(shù)為。2導(dǎo)體球面的鏡像例.3有一點(diǎn)電荷置于半徑為的接地導(dǎo)體球外，距球心距離為處，計(jì)算導(dǎo)電球外的電位分布。解設(shè)想有一鏡像電荷位于球面內(nèi)點(diǎn)電荷與球心的連線(xiàn)上距球心為處，如圖3.2.5所示，球外任意點(diǎn)處的電位為 （3.9）為滿(mǎn)足邊界條件，應(yīng)有 （3.10）即 （3.11）圖3.2.5點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體球面的鏡像AB取球面上兩個(gè)特殊點(diǎn)和，將兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入（3.9）式。在點(diǎn)，有在點(diǎn)，有則有 （3.12） （3.13）由（3.12）、（3.13）兩式可解得 （3.14）這里，是因?yàn)樗l(fā)出的電力線(xiàn)并不全部終止在導(dǎo)體球上，有一部分將終止在無(wú)限遠(yuǎn)處。將（3.14）式代入（3.9）式，即得到球外任意點(diǎn)的電位為（3.15）電場(chǎng)強(qiáng)度為，所以 因?yàn)閷?duì)球面上的點(diǎn)有，所以在的球面上，而球面上的感應(yīng)電荷面密度為 球面上感應(yīng)電荷總量為 感應(yīng)電荷總和與鏡像電荷相等，這與預(yù)期的結(jié)果一致。點(diǎn)電荷所受到的導(dǎo)體球的作用力為 （3.16）負(fù)號(hào)表示為吸力。討論：1） 導(dǎo)體球不接地，則此時(shí)的邊界條件是：導(dǎo)體球的電位不為零，導(dǎo)體球面為一等位面，而球面上的凈電荷為零。為滿(mǎn)足導(dǎo)體球面的邊界條件，如圖3.2.6所示，需在球心處再加上一個(gè)像電荷，以保持球面仍為等位面。此時(shí)，球外任意點(diǎn)的電位為圖3.2.6點(diǎn)電荷與不接地導(dǎo)體球面的鏡像 （3.17）由前可知，上式中的第一、二項(xiàng)共同作用在球面上，使球面的，則球的電位為 即導(dǎo)體球不存在時(shí)，點(diǎn)電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的電位。2） 導(dǎo)體球不接地，帶有總電荷為，則邊界條件為：導(dǎo)體球的電位不為零，導(dǎo)體球面為一等位面，球面上的凈電荷為零，球面的總電荷量為。在球內(nèi)處放一像電荷，和球外的使球面上的電位為零，把電荷量放在球上，則球面上的感應(yīng)電荷總量為零，球上的電荷量便為了。根據(jù)疊加原理，應(yīng)均勻分布上球面上，對(duì)于球外點(diǎn)，此電荷產(chǎn)生的電位等于它集中在球心所產(chǎn)生的電位，即 （3.18）3） 點(diǎn)電荷位于電位為的導(dǎo)體球附近時(shí)，有，此時(shí)相當(dāng)于在球心放置了電荷量為的點(diǎn)電荷，即故 （3.19）4） 均勻電場(chǎng)中的導(dǎo)體球如圖3.2.7所示，均勻電場(chǎng)可看作是在無(wú)窮遠(yuǎn)處的兩個(gè)正負(fù)電荷產(chǎn)生的，故有圖3.2.7均勻電場(chǎng)中導(dǎo)體球的鏡像當(dāng)時(shí)，（3.20）另一種解法：這里來(lái)研究一個(gè)導(dǎo)體球面的鏡像問(wèn)題。如圖所示， 在半徑為R的接地導(dǎo)體球外，距球心為d處有一點(diǎn)電荷q。根據(jù)問(wèn)題的對(duì)稱(chēng)性，可設(shè)鏡像電荷(q)放在球心O與點(diǎn)電荷q的聯(lián)線(xiàn)上，且距球心為b。雖然有（178）于是，球外任意點(diǎn)P的電位為（179）由此可知，點(diǎn)電荷附近接地導(dǎo)體球的影響，可用位于距球心b處的鏡像電荷(q)來(lái)表示。也即(q)代替金屬球面上感應(yīng)電荷的作用。 鏡像法對(duì)點(diǎn)電荷在雙層介質(zhì)引起的電場(chǎng)的應(yīng)用。如圖130所示，平面分界面S的左、右半空間分別充滿(mǎn)介電常數(shù)為 與 的均勻介質(zhì)，在左半空間距S為d處有一點(diǎn)電荷q，求空間的電場(chǎng)。設(shè)左半空間電位為 ，右半空間電位為 這里使用這樣的鏡像系統(tǒng)：即認(rèn)為左半空間的場(chǎng)由原來(lái)電荷q和在像點(diǎn)的像電荷q所產(chǎn)生(這時(shí)介電常數(shù) 的介質(zhì)布滿(mǎn)整個(gè)空間)；又認(rèn)為右半空間的場(chǎng)由位于原來(lái)點(diǎn)電荷q處的像電荷q單獨(dú)產(chǎn)生(這時(shí)介電常數(shù)為 的介質(zhì)布滿(mǎn)整個(gè)空間)。故兩介質(zhì)中的電位表達(dá)式為（180） （181）（182） （183）例4不接地空心導(dǎo)體球的內(nèi)、外半徑分別為和，在空腔內(nèi)距球心為處放置點(diǎn)電荷，在球外距球心為處放置點(diǎn)電荷，且與球心共線(xiàn)，如圖3.2.8所示，求點(diǎn)電荷和分別受到的電場(chǎng)力。圖3.2.9空心導(dǎo)體球內(nèi)表面的鏡像圖3.2.8不接地的空心導(dǎo)體球解由于球殼不接地，點(diǎn)電荷在球殼的內(nèi)表面上感應(yīng)電荷為，在球殼的外表面上感應(yīng)電荷為；而則在球殼的外表面上感應(yīng)等量異號(hào)的電荷。球殼內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷可用一個(gè)鏡像電荷等效代替，球殼外表面上的感應(yīng)電荷可用三個(gè)鏡像電荷等效代替。受到的電場(chǎng)力等于對(duì)的作用力，受到的電場(chǎng)力則等于對(duì)的作用力之和。根據(jù)鏡像法，內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷的鏡像電荷為，位于如圖3.2.9所示。圖3.2.10空心導(dǎo)體球外表面的鏡像外表面上的感應(yīng)電荷的鏡像電荷為，位于，位于，位于如圖3.2.10所示。點(diǎn)電荷受到的靜電力為點(diǎn)電荷受到的靜電力為3線(xiàn)電荷對(duì)導(dǎo)體圓柱面的鏡像例.5在半徑為的無(wú)限長(zhǎng)接地導(dǎo)體圓柱外有一根與圓柱軸線(xiàn)平行的無(wú)限長(zhǎng)線(xiàn)電荷，線(xiàn)電荷密度為，與圓柱軸線(xiàn)的距離為，求柱外任意點(diǎn)的電位。解無(wú)限長(zhǎng)帶電直線(xiàn)的電位為 （3.21）圖3.2.11線(xiàn)電荷與導(dǎo)體圓柱的鏡像B其中為帶電直線(xiàn)到電位零點(diǎn)的距離,為帶電直線(xiàn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離。如圖3.2.11所示，設(shè)鏡像線(xiàn)電荷為，距O點(diǎn)的距離為，若取點(diǎn)為無(wú)限長(zhǎng)線(xiàn)電荷的電位參考點(diǎn)，則有（3.22）對(duì)于柱面外任意一點(diǎn)，有 （3.23） （3.34）將式（3.22）、（3.23）、（3.24）代入邊界條件（3.21）中，得 （3.35）滿(mǎn)足上式的一組最簡(jiǎn)單的解為柱外任一點(diǎn)的電位為 （3.36）4點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大介質(zhì)平面的鏡像圖3.2.12點(diǎn)電荷與兩種介質(zhì)分界面例6在無(wú)限空間中有兩種介質(zhì)，介電常數(shù)分別為和，其分界面為平面，在上半空間的處放一點(diǎn)電荷，如圖3.2.12所示，求兩種介質(zhì)中的電位分布。解空間中任意一點(diǎn)的電場(chǎng)是由點(diǎn)電荷與介質(zhì)分界面上的極化電荷共同產(chǎn)生的，在這種情況下，鏡像電荷的作用就等效于介質(zhì)分界面上的極化電荷對(duì)電場(chǎng)的貢獻(xiàn)。取分界面為的平面，且點(diǎn)電荷在軸上。設(shè)上半空間電位為，下半空間電位為。和應(yīng)滿(mǎn)足下列定解條件：在計(jì)算介質(zhì)1中的電位時(shí)，用介質(zhì)2中的鏡像電荷來(lái)代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿(mǎn)介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，如圖3.2.13所示。在計(jì)算介質(zhì)2中的電位時(shí)，用介質(zhì)1中的鏡像電荷來(lái)代替點(diǎn)電荷與分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿(mǎn)介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，如圖3.2.14所示。在介質(zhì)1、2中任一點(diǎn)的電位分別為圖3.2.13介質(zhì)1中的鏡像電荷 （3.37） （3.38）圖3.2.14介質(zhì)2中的鏡像電荷顯然，、均滿(mǎn)足定解條件1）、2），再利用邊界條件3）可確定和的值，其中在界面上，利用邊界條件3）得到 上兩式聯(lián)立求解，可得 式中，稱(chēng)為介質(zhì)2對(duì)介質(zhì)1的反射系數(shù)，稱(chēng)為透射系數(shù)。介質(zhì)中的電位分別為 （3.39） （3.40）注：邊值問(wèn)題的分類(lèi)： 根據(jù)問(wèn)題所給的邊界條件不同，邊值問(wèn)題分為以下三類(lèi)：1） 第一類(lèi)邊值問(wèn)題是指所給定的邊界條件為整個(gè)邊界上的電位值，又稱(chēng)為狄里赫利問(wèn)題；2） 第二類(lèi)邊值問(wèn)題是指所給定的邊界條件為整個(gè)邊界上的電位法向?qū)?shù)值，又稱(chēng)為紐曼問(wèn)題；3） 第三類(lèi)邊值問(wèn)題是指所給定的邊界條件部分為電位值，部分為電位法向?qū)?shù)值，又稱(chēng)為混合邊值問(wèn)題。如果邊界是導(dǎo)體，則上述三類(lèi)問(wèn)題變?yōu)椋阂阎鲗?dǎo)體表面的電位；已知各導(dǎo)體的總電量；已知一部分導(dǎo)體表面的電位和另一部分導(dǎo)體的電荷量。 注:點(diǎn)位即電勢(shì)。唯一性定理： 在邊值問(wèn)題的求解中，對(duì)于一維問(wèn)題可以直接用積分方法求解，但是二、三維