彎曲的幾個補充問題.ppt

第十二章彎曲的幾個補充問題 Additionalremarksforbending 12 1非對稱彎曲 Unsymmetricalbending 12 2開口薄壁桿件的切應(yīng)力彎曲中心 Shearstressofopenthin wallmembers Flexuralcenter 第十二章彎曲的幾個補充問題 Additionalremarksforbending 12 1非對稱彎曲 Unsymmetricalbending 一 非對稱彎曲 Unsymmetricalbending 橫向力雖然通過截面的彎曲中心 但與形心主慣性平面存在一定夾角 在這種情況下 梁彎曲后的軸線不在力的作用平面內(nèi) 這種彎曲變形稱為斜彎曲 B A 二 斜彎曲的分析方法 Analysismethodforunsymmetricalbending 2 疊加 Superposition 對兩個平面彎曲進(jìn)行研究 然后將計算結(jié)果疊加起來 Fz Fy y z F j B A 1 分解 Resolution 將外載沿橫截面的兩個形心主軸分解 于是得到兩個正交的平面彎曲 梁在垂直縱向?qū)ΨQ面xy面內(nèi)發(fā)生平面彎曲 z軸為中性軸 梁的軸線 梁的軸線 水平縱向?qū)ΨQ面 梁在水平縱向?qū)ΨQ面xz平面內(nèi)彎曲 y軸為中性軸 三 梁內(nèi)任意橫截面上的內(nèi)力分析 Analysisofinternalforceonanycrosssection B A x My Fzx Fxsin 使梁在xz平面內(nèi)彎曲 y為中性軸 Mz Fyx Fxcos 使梁在xy平面內(nèi)彎曲 z為中性軸 m m 四 橫截面上的應(yīng)力分析 Stressanalysisofcrosssections 1 與My相應(yīng)的正應(yīng)力為 ThebendingnormalstresscorrespondingtoMy 2 與Mz相應(yīng)的正應(yīng)力為 ThebendingnormalstresscorrespondingtoMz C點處的正應(yīng)力 ThenormalstressatpointC 五 橫截面上中性軸的位置 locationofneutralaxisoncrosssection 中性軸上的正應(yīng)力為零 假設(shè)點e z0 y0 為中性軸上任意一點 Mz O e z0 y0 中性軸方程為 中性軸是一條通過橫截面形心的直線 theneutralaxisisalinewhichcrossthecentroidofanarea My 中性軸的位置由它與y軸的夾角 確定 公式中角度 是橫截面上合成彎矩M的矢量與y軸的夾角 橫截面上合成彎矩M為 y0 y z O 公式中角度y是橫截面上合成彎矩M的矢量與y軸的夾角 中性軸 Mz My 討論 1 一般情況下 截面的Iz Iy 故中性軸與合成彎矩M所在平面不垂直 此為斜彎曲的受力特征 所以撓曲線與外力 合成彎矩 所在面不共面 此為斜彎曲的變形特征 2 對于圓形 正方形等Iy Iz的截面 有 y 梁發(fā)生平面彎曲 planebending 正應(yīng)力可用合成彎矩M按正應(yīng)力計算公式計算 梁的撓曲線一般仍是一條空間曲線 故梁的撓曲線方程仍應(yīng)分別按兩垂直面內(nèi)的彎曲來計算 不能直接用合成彎矩進(jìn)行計算 六 最大正應(yīng)力分析 Analysisofmaximumnormalstress 作平行于中性軸的兩直線分別與橫截面周邊相切于D1 D2兩點 D1 D2兩點分別為橫截面上最大拉應(yīng)力點和最大壓應(yīng)力點 O D1 D2 對于矩形 工字形等有兩個相互垂直的對稱軸的截面 梁橫截面的最大正應(yīng)力發(fā)生在截面的棱角處 可根據(jù)梁的變形情況 直接確定截面上最大拉 壓應(yīng)力點的位置 無需定出中性軸 D2 D1 O 七 強度條件 Strengthcondition 斜彎曲的危險點處于單向應(yīng)力狀態(tài) 所以強度條件為 八 斜彎曲的撓度 Deflectionofunsymmetricalbending 分別求出Fy引起的撓度wy和Fz引起的撓度wz 方法 疊加原理 總撓度為w 總撓度與軸的夾角為y x ABC z y F2 2kN F1 1kN 0 5m0 5m 40 80 z y O ad bc 例題1矩形截面的懸臂梁承受荷載如圖所示 試確定危險截面上危險點所在的位置 計算梁內(nèi)最大正應(yīng)力的值 解 1 外力分析 梁在F2的作用下將在xOz平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲 y為中性軸 故此梁的變形為兩個相互垂直平面彎曲的組合 斜彎曲 梁在F1的作用下將在xOy平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲 z為中性軸 x ABC z y F2 2kN F1 1kN 0 5m0 5m 2 繪制彎矩圖 繪出Mz x 圖 繪出My x 圖 A截面為梁的危險截面 Mz 1kN m My 1kN m x ABC z y F2 2kN F1 1kN 0 5m0 5m Mz使A截面上部受拉 下部受壓 My使A截面前部受拉 后部受壓 3 應(yīng)力分析 D1是最大拉應(yīng)力點 D2是最大壓應(yīng)力點 兩點正應(yīng)力的絕對值相等 拉 壓 拉 壓 拉 壓 拉 壓 4 中性軸的位置 5 繪制總應(yīng)力分布圖 D1 7 02 D2 7 02 拉 壓 例題220a號工字形懸臂梁受集度為q的均布荷載和集中力F qa 2作用 力F作用在yOz平面內(nèi) 已知鋼的許用應(yīng)力 160MPa a 1m 試求此梁的許可荷載集度 q 解 將力F向y軸和z軸分解 Fy與均布荷載q使梁在xy平面內(nèi)產(chǎn)生彎曲 z為中性軸 Fz使梁在xz平面內(nèi)產(chǎn)生彎曲 y為中性軸 z xz面 xy面 D D 0 617a b c d a 0 456qa2 0 266qa2 0 383qa2 Mz圖 1 畫彎矩圖 A D兩截面可能是危險截面 MzA 0 266qa2 MzD 0 456qa2 MyA 0 642qa2 MyD 0 444qa2 A截面 D截面 2 計算應(yīng)力 查工字鋼表20a號 A截面 D截面 梁的危險點在A截面棱角處 12 2開口薄壁桿件的切應(yīng)力彎曲中心 Shearstressofopenthin wallmembers Flexuralcenter 一 非對稱截面梁平面彎曲的條件 Conditionsofplanebendingforunsymmetricalbeams 前面討論的平面彎曲 僅限于梁至少有一個縱向?qū)ΨQ面 外力均作用在該對稱面內(nèi)且垂直于軸線 對于非對稱截面梁 橫截面上有一對形心主慣性軸y z 形心主慣性軸y z與軸線x組成兩個形心主慣性平面xOy xOz 1 實體梁 Bodybeams 當(dāng)橫向外力作用在形心主慣性平面的平面內(nèi) 梁發(fā)生平面彎曲 否則將會伴隨著扭轉(zhuǎn)變形 但由于實體構(gòu)件抗扭剛度很大 扭轉(zhuǎn)變形很小 其帶來的影響可以忽略不計 2 開口薄壁截面梁 Openthin wallsections 對于開口薄壁截面梁 即使橫向力作用于形心主慣性平面內(nèi) 非對稱平面 則梁除發(fā)生彎曲變形外 還將發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形 只有當(dāng)橫向力的作用線平行于形心主慣性平面并通過某個特定點時 梁才只發(fā)生平面彎曲 而無扭轉(zhuǎn)變形 這個特定點稱為橫截面的彎曲中心 Shearcenterorflexuralcenter 用A表示 3 彎曲中心的確定 Determinationoftheshearcenter 1 彎曲中心 Shearcenterorflexuralcenter 切應(yīng)力合力的作用點就是截面彎曲中心 使桿不發(fā)生扭轉(zhuǎn)的橫向力作用點 2 彎曲中心的位置 Locationoftheshearcenter b 具有一個對稱軸的截面 其彎曲中心一定在這個對稱軸上 c 若截面的中線是由若干相交于一點的直線段所組成 則此交點就是截面的彎曲中心 a 具有兩個對稱軸或反對稱軸的截面 其彎曲中心與形心重合 例3試畫出下列各薄壁截面彎曲中心的大致位置 若剪力FS的方向垂直向下 試畫出切應(yīng)力流的方向 例題4一槽鋼制成的梁受方向平行于其腹板的橫向荷載作用 鋼槽截面簡化后的尺寸見圖 2 確定橫截面上剪力作用線的位置 1 分析橫截面上腹板 翼緣兩部分切應(yīng)力t和t1的變化規(guī)律 腹板上切應(yīng)力沿高度按二次拋物線規(guī)律變化 2 橫截面翼緣上的切應(yīng)力 沿翼緣厚度用縱向截面AC截出一體積元素C m 在C m的兩個截面D m C n上分別有由法向內(nèi)力元素 在C m的兩個截面D m C n上分別有由法向內(nèi)力元素組成的拉力FN1 FN11 由于翼緣很薄 故可認(rèn)為 1 11 沿翼緣厚度保持不變 且其值與翼緣中線上的正應(yīng)力相同 所以在AC截面上一定存在著切向內(nèi)力元素dFS 因為翼緣橫截面也是狹長矩形 故可采用切應(yīng)力沿壁厚不變及其方向平行于翼緣長度的假設(shè) 由于 根據(jù)剪應(yīng)力互等定理 橫截面上的切應(yīng)力和AC上的切應(yīng)力如圖所示 平衡方程 Fx 0 經(jīng)過整理 即得 由切應(yīng)力互等定理可知 得橫截面上的切應(yīng)力 式中 FS 為橫截面上的剪力 Iz 為整個橫截面對其中性軸的慣性矩 h 為截面兩翼緣中線間的距離 為從翼緣外端到要求切應(yīng)力點之間的長度 1沿翼緣長度按線性規(guī)律變化 翼緣上的最大剪應(yīng)力發(fā)生在橫截面上翼緣與腹板的中線相接處 切應(yīng)力的指向如圖所示 3 確定橫截面上剪力作用線的位置 腹板上切向內(nèi)力元素 dA的合力FR 式中 A 為橫截面腹板部分的面積 FR 為腹板