矩陣三角分解法.ppt

一 直接法概述 直接法是將原方程組化為一個(gè)或若干個(gè)三角形方程組的方法 共有若干種 對(duì)于線性方程組 其中 系數(shù)矩陣 未知量向量 常數(shù)項(xiàng) 根據(jù)Cramer 克萊姆 法則 若 若用初等變換法求解 則對(duì)其增廣矩陣作行初等變換 同解 即 以上求解線性方程組的方法稱為Gauss消去法 則 都是三角形方程組 上述方法稱為直接三角形分解法 2MatrixFactorization Doolittle 道立特分解法 DoolittleFactorization LU分解的緊湊格式 compactform 反復(fù)計(jì)算 很浪費(fèi)哦 2MatrixFactorization Doolittle 固定i 對(duì)j i i 1 n有 lii 1 a 固定j 對(duì)i j j 1 n有 b 上述解線性方程組的方法稱為直接三角分解法的Doolittle法 例1 用Doolittle法解方程組 解 由Doolittle分解 Doolittle法在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)是比較容易的 但如果按上述流程運(yùn)算仍需要較大的存儲(chǔ)空間 因此可按下列方法存儲(chǔ)數(shù)據(jù) 直接三角分解的Doolittle法可以用以下過程表示 存儲(chǔ)單元 位置 緊湊格式的Doolittle法 例2 用緊湊格式的Doolittle法解方程組 例1 解 所以 MatrixFactorization Choleski 平方根法 Choleski sMethod 對(duì)稱 symmetric 正定 positivedefinite 矩陣的分解法 回顧 對(duì)稱正定陣的幾個(gè)重要性質(zhì) A 1亦對(duì)稱正定 且aii 0 若不然 則 對(duì)任意 存在 使得 即 A的順序主子陣 leadingprincipalsubmatrices Ak亦對(duì)稱正定 對(duì)稱性顯然 對(duì)任意有 其中 A的特征值 eigenvalue i 0 設(shè)對(duì)應(yīng)特征值 的非零特征向量為 則 A的全部順序主子式det Ak 0 因?yàn)?一 對(duì)稱正定矩陣的三角分解 Cholesky分解 記為 Diagonal 對(duì)角 因此 所以 綜合以上分析 則有 定理1 Cholesky分解 且該分解式唯一 這種關(guān)于對(duì)稱正定矩陣的分解稱為Cholesky分解 二 對(duì)稱正定線性方程組的解法 線性方程組 則線性方程組 10 可化為兩個(gè)三角形方程組 對(duì)稱正定方程組的平方根法 例1 用平方根法解對(duì)稱正定方程組 解 即 三 平方根法的數(shù)值穩(wěn)定性 用平方根法求解對(duì)稱正定方程組時(shí)不需選取主元 由 可知 因此 平方根法是數(shù)值穩(wěn)定的 事實(shí)上 對(duì)稱正定方程組也可以用順序Gauss消去法求解 而不必加入選主元步驟 2MatrixFactorization TridiagonalSystem 追趕法解三對(duì)角方程組 CroutReductionforTridiagonalLinearSystem Step1 對(duì)A作Crout分解 直接比較等式兩邊的元素 可得到計(jì)算公式 Step2 追 即解 Step3 趕 即解 與G E 類似 一旦 i 0則算法中斷 故并非任何三對(duì)角陣都可以用此方法分解 有一類方程組 在今后要學(xué)習(xí)的插值問題和邊值問題中有著重要的作用 即三對(duì)角線