小學數學奧數方法義之-列舉法_通用版 (2).doc

第三講 列舉法解應用題時，為了解題的方便，把問題分為不重復、不遺漏的有限情況，一一列舉出來加以分析、解決，最終達到解決整個問題的目的。這種分析、解決問題的方法叫做列舉法。列舉法也叫枚舉法或窮舉法。 用列舉法解應用題時，往往把題中的條件以列表的形式排列起來，有時也要畫圖。例1 一本書共100頁，在排頁碼時要用多少個數字是6的鉛字？（適于三年級程度）解：把個位是6和十位是6的數一個一個地列舉出來，數一數。個位是6的數字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10個。十位是6的數字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10個。10+10=20（個）答：在排頁碼時要用20個數字是6的鉛字。*例2 從A市到B市有3條路，從B市到C市有兩條路。從A市經過B市到C市有幾種走法？（適于三年級程度）解：作圖3-1，然后把每一種走法一一列舉出來。第一種走法：A B C第二種走法：A B C第三種走法：A B C第四種走法：A B C第五種走法：A B C第六種走法：A B C答：從A市經過B市到C市共有6種走法。*例3 9137=1001425=把+、-、四種運算符號分別填在適當的圓圈中（每種運算符號只能用一次），并在長方形中填上適當的整數，使上面的兩個等式都成立。這時長方形中的數是幾？（適于四年級程度）解：把+、-、四種運算符號填在四個圓圈里，有許多不同的填法，要是逐一討論怎樣填會特別麻煩。如果用些簡單的推理，排除不可能的填法，就能使問題得到簡捷的解答。先看第一個式子：9137=100如果在兩個圓圈內填上“”號，等式右端就要出現(xiàn)小于100的分數；如果在兩個圓圈內僅填“+”、“-”號，等式右端得出的數也小于100，所以在兩個圓圈內不能同時填“”號，也不能同時填“+”、“-”號。要是在等式的一個圓圈中填入“”號，另一個圓圈中填入適當的符號就容易使等式右端得出100。913-7=117-7=110，未湊出100。如果在兩個圈中分別填入“+”和“”號，就會湊出100了。9+137=100再看第二個式子：1425=上面已經用過四個運算符號中的兩個，只剩下“”號和“-”號了。如果在第一個圓圈內填上“”號， 142得到整數，所以：142-5=2即長方形中的數是2。*例4 印刷工人在排印一本書的頁碼時共用1890個數碼，這本書有多少頁？（適于四年級程度）解：（1）數碼一共有10個：0、1、28、9。0不能用于表示頁碼，所以頁碼是一位數的頁有9頁，用數碼9個。（2）頁碼是兩位數的從第10頁到第99頁。因為99-9=90，所以，頁碼是兩位數的頁有90頁，用數碼：290=180（個）（3）還剩下的數碼：1890-9-180=1701（個）（4）因為頁碼是三位數的頁，每頁用3個數碼，100頁到999頁，999-99=900，而剩下的1701個數碼除以3時，商不足600，即商小于900。所以頁碼最高是3位數，不必考慮是4位數了。往下要看1701個數碼可以排多少頁。17013=567（頁）（5）這本書的頁數：9+90+567=666（頁）答略。*例5 用一根80厘米長的鐵絲圍成一個長方形，長和寬都要是5的倍數。哪一種方法圍成的長方形面積最大？（適于四年級程度）解：要知道哪種方法所圍成的面積最大，應將符合條件的圍法一一列舉出來，然后加以比較。因為長方形的周長是80厘米，所以長與寬的和是40厘米。列表3-1：表3-1表3-1中，長、寬的數字都是5的倍數。因為題目要求的是哪一種圍法的長方形面積最大，第四種圍法圍出的是正方形，所以第四種圍法應舍去。前三種圍法的長方形面積分別是：355=175（平方厘米）3010=300（平方厘米）2515=375（平方厘米）答：當長方形的長是25厘米，寬是15厘米時，長方形的面積最大。例6 如圖3-2，有三張卡片，每一張上寫有一個數字1、2、3，從中抽出一張、兩張、三張，按任意次序排列起來，可以得到不同的一位數、兩位數、三位數。請將其中的質數都寫出來。（適于五年級程度）解：任意抽一張，可得到三個一位數：1、2、3，其中2和3是質數；任意抽兩張排列，一共可得到六個不同的兩位數：12、13、21、23、31、32，其中 13、23和 31是質數；三張卡片可排列成六個不同的三位數，但每個三位數數碼的和都是1+2+3=6，即它們都是3的倍數，所以都不是質數。綜上所說，所能得到的質數是2、3、13、23、31，共五個。*例7 在一條筆直的公路上，每隔10千米建有一個糧站。一號糧站存有10噸糧食，2號糧站存有20噸糧食，3號糧站存有30噸糧食，4號糧站是空的，5號糧站存有40噸糧食?，F(xiàn)在要把全部糧食集中放在一個糧站里，如果每噸1千米的運費是0.5元，那么糧食集中到第幾號糧站所用的運費最少（圖3-3）？（適于五年級程度）解：看圖3-3，可以斷定糧食不能集中在1號和2號糧站。下面將運到3號、4號、5號糧站時所用的運費一一列舉，并比較。（1）如果運到3號糧站，所用運費是：0.510（10+10）+0.52010+0.540（10+10）=100+100+400=600（元）（2）如果運到4號糧站，所用運費是：0.510（10+10+10）+0.520（10+10）+0.53010+0.54010=150+200+150+200=700（元）（3）如果運到5號糧站，所用費用是：0.510（10+10+10+10）+0.520（10+10+10）+0.530（10+10）=200+300+300=800（元）800700600答：集中到第三號糧站所用運費最少。*例8 小明有10個1分硬幣，5個2分硬幣，2個5分硬幣。要拿出1角錢買1支鉛筆，問可以有幾種拿法？用算式表達出來。（適于五年級程度）解：（1）只拿出一種硬幣的方法：全拿1分的：1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1（角）全拿2分的：2+2+2+2+2=1（角）全拿5分的：5+5=1（角）只拿出一種硬幣，有3種方法。（2）只拿兩種硬幣的方法：拿8枚1分的，1枚2分的：1+1+1+1+1+1+1+1+2=1（角）拿6枚1分的，2枚2分的：1+1+1+1+1+1+2+2=1（角）拿4枚1分的，3枚2分的：1+1+1+1+2+2+2=1（角）拿2枚1分的，4枚2分的：1+1+2+2+2+2=1（角）拿5枚1分的，1枚5分的：1+1+1+1+1+5=1（角）只拿出兩種硬幣，有5種方法。（3）拿三種硬幣的方法：拿3枚1分，1枚2分，1枚5分的：1+1+1+2+5=1（角）拿1枚1分，2枚2分，1枚5分的：1+2+2+5=1（角）拿出三種硬幣，有2種方法。共有：3+5+2=10（種）答：共有10種拿法。*例9 甲、乙、丙、丁與小強五位同學一起比賽象棋，每兩人都要比賽一盤。到現(xiàn)在為止，甲賽了4盤，乙賽了3盤，丙賽了2盤，丁賽了1盤。問小強賽了幾盤？（適于五年級程度）解：作表3-2。表3-2 甲已經賽了4盤，就是甲與乙、丙、丁、小強各賽了一盤，在甲與乙、丙、丁、小強相交的那些格里都打上；乙賽的盤數，就是除了與甲賽的那一盤，又與丙和小強各賽一盤，在乙與丙、小強相交的那兩個格中都打上；丙賽了兩盤，就是丙與甲、乙各賽一盤，打上；丁與甲賽的那一盤也打上。丁未與乙、丙、小強賽過，在丁與乙、丙與小強相交的格中都畫上圈。根據條件分析，填完表格以后，可明顯地看出，小強與甲、乙各賽一盤，未與丙、丁賽，共賽2盤。答：小強賽了2盤。*例10 商店出售餅干，現(xiàn)存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千克重的，一位顧客要買9千克餅干，為了便于攜帶要求不開箱。營業(yè)員有多少種發(fā)貨方式？（適于五年級程度）解：作表3-3列舉發(fā)貨方式。表3-3答：不開箱有7種發(fā)貨方式。*例11 運輸隊有30輛汽車，按130的編號順序橫排停在院子里。第一次陸續(xù)開走的全部是單號車，以后幾次都由余下的第一輛車開始隔一輛開走一輛。到第幾次時汽車全部開走？最后開走的是第幾號車？（適于五年級程度）解：按題意畫出表3-4列舉各次哪些車開走。表3-4從表3-4中看得出，第三次開走后剩下的是第8號、16號、24號車。按題意，第四次8號、24號車開走。到第五次時汽車全部開走，最后開走的是第16號車。答：到第五次時汽車全部開走，最后開走的是第16號車。*例12 在甲、乙兩個倉庫存放大米，甲倉存90袋，乙倉存50袋，甲倉每次運出12袋，乙倉每次運出4袋。運出幾次后，兩倉庫剩下大米的袋數相等？（適于五年級程度）解：根據題意列表3-5。表3-5從表3-5可以看出，原來甲乙兩倉庫所存大米相差40袋；第一次運走后，兩倉剩下的大米相差78-46=32（袋）；第二次運走后，兩倉剩下的大米相差66-42=24（袋）；第三次運走后，兩倉剩下的大米相差54-38=16（袋）；第四次運走后，兩倉剩下的大米相差42-34=8（袋）；第五次運走后，兩倉剩下的大米袋數相等。40-32=832-24=824-16=8從這里可以看出，每運走一次，兩倉庫剩下大米袋數的相差數就減少8袋。由此可以看出，兩倉庫原存大米袋數的差，除以每次運出的袋數差就得出運幾次后兩個倉庫剩下大米的袋數相等。（90-50）（12-4）=5（次）答：運出5次后兩個倉庫剩下大米的袋數相等。*例13 有三組小朋友共72人，第一次從第一組里把與第二組同樣多的人數并入第二組；第二次從第二組里把與第三組同樣多的人數并入第三組；第三次從第三組里把與第一組同樣多的人數并入第一組。這時，三組的人數一樣多。問原來各組有多少個小朋友？（適于五年級程度）解：三個小組共72人，第三次并入后三個小組人數相等，都是723=24（人）。在這以前，即第三組未把與第一組同樣多的人數并入第一組時，第一組應是242=12（人），第三組應是（24+12）=36（人），第二組人數仍為24人