高考數(shù)學一輪復習考案 3.5 數(shù)列的綜合應用課件 文.ppt

3 5數(shù)列的綜合應用 數(shù)列的綜合應用問題既能考查學生的潛能 又具有較強的區(qū)分度 創(chuàng)新應用問題選材也可以用數(shù)列為背景 在近幾年的高考試題中 在解答題中 有關數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高 不僅可與函數(shù) 方程 不等式相關聯(lián) 還可與三角 幾何 復數(shù)等知識相結(jié)合 題目新穎 難度較大 對數(shù)學思想方法的運用和各種數(shù)學能力的要求較高 學生面對問題時的心理壓力也較大 在復習中要重視緊扣等差 等比數(shù)列的性質(zhì)和定義 做到合理地分析 靈巧地選擇公式或性質(zhì) 找到解決問題的突破口與思路 本節(jié)內(nèi)容在高考中主要考查等差 等比的綜合問 題 遞推與求和的綜合 數(shù)列與其他知識的綜合 數(shù)列實際應用 數(shù)列是特殊的函數(shù) 而不等式則是深刻認識函數(shù)和數(shù)列的重要工具 三者的綜合求解是對基礎和能力的雙重檢驗 而三者的證明題是近幾年來高考熱點 一般情況下 本節(jié)內(nèi)容無論是選擇題 填空題還是解答題中都是以中檔題與難題為主 難度較大 數(shù)列的綜合應用通常有三種的類型 1 數(shù)列知識范圍內(nèi)的綜合應用 1 等差 等比數(shù)列以及遞推數(shù)列之間的綜合應用 2 緊扣等差 等比數(shù)列的定義和性質(zhì) 作出合理的分析 靈巧地選擇公式或性質(zhì)解決問題 2 數(shù)列的實際應用問題 1 構造等差 等比數(shù)列的模型 然后利用數(shù)列的通項公式和求和公式求解 2 通過歸納得到結(jié)論 再用數(shù)列知識求解 運用數(shù)列知識解決實際應用問題時 應在認真審題的基礎上 認清問題的那一部分是數(shù)列問題 又是哪種數(shù)列 等差數(shù)列 等比數(shù)列 的問題 在a d 或q n an sn中哪些量是已知的 哪些量是待求的 特別是 認準項數(shù)n為多少 充分運用 觀察 歸納 猜想 證明 的方法 建立等差 比 數(shù)列 遞推數(shù)列的模型 再綜合利用其他相關知識來解決問題 3 數(shù)列與其他分支知識的綜合應用 1 主要為數(shù)列與函數(shù) 方程 不等式 三角等高考重點知識的綜合 2 解決有關此類綜合問題時 首先要認真審題 弄清題意 分析出涉及哪些數(shù)學分支內(nèi)容 在每個分支中各是什么問題 其次 要精心分解 把整個大題分解成若干個小題或若干步驟 使它們成為在各自分 支中的基本問題 最后 分別求解這些小題或步驟 從而得到整個問題的結(jié)論 1 2011年房山區(qū)期末 已知數(shù)列 an 的通項公式an log2 n n 設其前n項和為sn 則使sn 4成立的自然數(shù)n有 a 最大值15 b 最小值15 c 最大值16 d 最小值16 解析 由已知 sn log2 log2 log2 log2 log2 log215且n n n的最小值為16 答案 d 2 2011年范水高中高三數(shù)學期末考試 某工廠的產(chǎn)量第二年比第一年增長的百分率是p1 第三年比第二年增長的百分率為p2 若p1 p2 m 定值 則年平均增長的百分率的最大值是 解析 設年平均增長的百分率為p 可知 1 p 2 1 p1 1 p2 2 1 p 1 p p的百分率的最大值是 答案 3 2011年石景山一模理14 函數(shù)y x2 x 0 的圖象在點 an 處的切線與x軸交點的橫坐標為an 1 n n 若a1 16 則a3 a5 數(shù)列 an 的通項公式為 解析 由導數(shù)的幾何意義可知 k 2x 2an 所以切線方程為y 2anx 切線與x軸交點的橫坐標0 2anan 1 可得an 1 an a1 16 a2 8 a3 4 a4 2 a5 1 a3 a5 5 an 1 an an 是以16為首項 為公比的等比數(shù)列 an 16 n 1 25 n 答案 525 n 4 某單位用3 2萬元買了一臺工作設備 已知該設備從啟用的第一天起連續(xù)使用 第n天的維修保養(yǎng)費為元 n n 使用它直至報廢最合算 所謂報廢最合算是指使用的這臺儀器的日平均耗資最少 為止 一共使用了 a 600天 b 800天 c 1000天 d 1200天 解析 由第n天的維修保養(yǎng)費為元 n n 可以得出整個耗資費用 由平均費用最少而求得最小值成立時的相應n的值 設一共使用了n天 則使用n天的平均耗資為 當且僅當 時取得最小值 此時n 800 答案 b 題型1等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合題 例1 2011年浙江卷 已知公差不為0的等差數(shù)列 an 的首項a1為a a r 設數(shù)列的前n項和為sn 且 成等比數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項公式及sn 2 記an bn 當n 2時 試比較an與bn的大小 分析 1 抓住數(shù)列中的項的兩重身份 由等比中項求出等差數(shù)列的公差 從而求出其通項公式與前n項和sn 2 由 1 求出的通項公式 利用裂項相消法求an 利用公式法求bn 利用二項式定理判斷an與bn的大小 解析 1 設等差數(shù)列 an 的公差為d 由 2 得 a1 d 2 a1 a1 3d 因為d 0 所以d a 所以an na sn 2 因為 所以an 1 因為 2n 1a 所以bn 1 當n 2時 2n n 1 即1 1 所以當a 0時 an bn 當abn 點評 等差數(shù)列 等比數(shù)列是兩種特殊數(shù)列 在處理等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合題時 要注意靈活運用它們的定義 性質(zhì) 對于等比數(shù)列還要注意對公比的討論 變式訓練1已知等差數(shù)列 an 的前n項和為sn 公差d 0 且s3 s5 50 a1 a4 a13成等比數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項公式 2 若從數(shù)列 an 中依次取出第2項 第4項 第8項 第2n項 按原來順序組成一個新數(shù)列 bn 記該數(shù)列的前n項和為tn 求tn的表達式 2 由已知得 bn 2 2n 1 2n 1 1 tn b1 b2 bn 22 23 2n 1 n n 2n 2 4 n 解析 1 依題意得解得 an a1 n 1 d 3 2 n 1 2n 1 即an 2n 1 題型2數(shù)列與函數(shù) 方程 不等式的綜合應用 例2已知二次函數(shù)f x x2 m 2 x m 2 x r 同時滿足 不等式f x 0的解集有且只有一個元素 在定義域內(nèi)存在x1 x2 使得x1 x2 0 但f x1 f x2 設數(shù)列 an 的前n項和sn f n 1 求f x 的表達式 2 求數(shù)列 an 的通項公式 分析 由不等式f x 0的解集有且只有一個元素 可得 0 再由sn可得an 解析 1 f x 0的解集有且只有一個元素 m 2 2 4 m 2 0 m 2或m 2 當m 2時 函數(shù)f x x2是一個偶函數(shù) 故不存在x1 x2 使得x1 x2 0 且f x1 f x2 當m 2時 函數(shù)f x x2 4x 4 在定義域內(nèi)存在x1 x2 使得x1 x2 0 且f x1 f x2 故f x x2 4x 4 2 由 1 可知sn n2 4n 4 當n 1時 a1 s1 1 當n 2時 an sn sn 1 n2 4n 4 n 1 2 4 n 1 4 2n 5 an 點評 以函數(shù)知識為背景 以數(shù)列知識為輔 考查學生對知識的綜合把握 符合高考題在知識的交匯處出題的特點 變式訓練2 江西省南康中學2011屆下學期高三理科數(shù)學二輪專題復習 已知函數(shù)f x x r 點p1 x1 y1 p2 x2 y2 是函數(shù)f x 圖象上的兩個點 且線段p1p2的中點p的橫坐標為 1 求證 點p的縱坐標是定值 2 若數(shù)列 an 的通項公式為an f m n n 1 2 m 求數(shù)列 an 的前m項sm 解析 1 由題可知 x1 x2 2 1 所以y1 y2 f x1 f x2 點p的縱坐標yp 是定值 問題得證 2 由 1 可知 對任意自然數(shù)m n f f 恒成立 由于sm f f f f f 故可利用倒序求和的方法 sm f f f f f sm f f f f f 2sm f f f f f f 2f m 1 2f 1 3m 1 所以sm 3m 1 例3 2011年湖南卷 某企業(yè)在第1年初購買一臺價值為120萬元的設備m m的價值在使用過程中逐年減少 從第2年到第6年 每年初m的價值比上年初減少10萬元 從第7年開始 每年初m的價值為上年初的75 題型3數(shù)列在實際問題中的應用 1 求第n年初m的價值an的表達式 2 設an 若an大于80萬元 則m繼續(xù)使用 否則須在第n年初對m更新 證明 須在第9年初對m更新 分析 分析理解題意 與等差 等比數(shù)列的定義相聯(lián)系 注意分類討論求數(shù)列的和 借助數(shù)列的單調(diào)性求范圍 解析 1 當n 6時 數(shù)列 an 是首項為120 公差為 10的等差數(shù)列 an 120 10 n 1 130 10n 當n 6時 數(shù)列 an 是以a6為首項 公比為的等比數(shù)列 又a6 70 所以 an 70 n 6 因此 第n年初 m的價值an的表達式an 2 設sn表示數(shù)列 an 的前n項和 由等差及等比數(shù)列的求和公式得 當1 n 6時 sn 120n 5n n 1 an 120 5 n 1 125 5n 當n 7時 sn s6 a7 a8 an 570 70 4 1 n 6 780 210 n6 an 因為 an 是遞減數(shù)列 所以 an 是遞減數(shù)列 又 a8 82 80 a9 76 80 所以須在第9年初對m更新 點評 在實際問題中 常出現(xiàn)等差數(shù)列或等比數(shù)列模型 利用所學到的等差 等比數(shù)列的知識便可使問題順利解決 數(shù)列是特殊的函數(shù) 從而常與函數(shù)的特性聯(lián)系起來 變式訓練3某油庫已儲油料a噸 按計劃正式運營后的第一年進油量為已儲油量的25 以后每年的進油量為上一年底儲油量的25 且每年運出b噸 設an為正式運營后第n年的儲油量 1 寫出an的表達式 不要求證明 2 為抵御突發(fā)事件 該油庫年底儲油量不得少于a噸 如果b a 該油庫能否長期按計劃運營 如果可以 請加以證明 如果不行 請說明理由 取lg2 0 30 lg3 0 48 解析 1 依題意 油庫原有儲油量為a噸 則 a1 a b a2 a1 b 2a 1 b a3 a2 b 3a 2 1 b 猜想 an na n 1 n 2 1 b na 4 n 1 b n n 2 當b a時 該油庫第n年年底儲油量不少于a噸 即 na 4 n 1 a a 即 n 3 n lo3 4 8 所以不能長期運營 1 等差 等比數(shù)列是基本數(shù)列 往往結(jié)合實際問題出題 并與