高考數(shù)學一輪復習 《第八章 立體幾何》第5課時　直線 平面垂直的判定及性質(zhì)課件.ppt

第5課時直線 平面垂直的判定及性質(zhì) 1 以立體幾何的定義 公理和定理為出發(fā)點 認識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理 2 能運用公理 定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題 2011 考綱下載 縱觀近幾年高考題 始終圍繞著垂直關(guān)系命題 這突出了垂直關(guān)系在立體幾何中的重要地位 又能順利實現(xiàn)各種關(guān)系的轉(zhuǎn)化 從而體現(xiàn)了能力命題的方向 特別是線面垂直 集中了證明和計算的中心內(nèi)容 請注意 課前自助餐課本導讀1 直線與平面垂直的判定定理如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直 則這條直線與這個平面垂直 推論如果在兩條平行直線中 有一條垂直于平面 那么另一條直線也垂直于這個平面 2 直線與平面垂直的性質(zhì)定理 1 如果兩條直線垂直于同一個平面 那么這兩條直線平行 2 如果一條直線垂直于一個平面 那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直 3 平面與平面垂直的判定定理 如果一個平面經(jīng)過了另一個平面的一條垂線 則兩個平面互相垂直 4 平面與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直 那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面 教材回歸1 2011 衡水調(diào)研 設b c表示兩條直線 表示兩個平面 下列命題中真命題是 a 若b c 則b cb 若b b c 則c c 若c c 則 d 若c 則c 答案c解析如果一條直線平行于一個平面 它不是與平面內(nèi)的所有直線平行 只有部分平行 故a錯 若一條直線與平面內(nèi)的直線平行 該直線不一定與該平面平行 該直線可能是該平面內(nèi)的直線 故b錯 如果一個平面與另一個平面的一條垂線平行 那么這兩個平面垂直 這是一個真命題 故c對 對d來講若c 則c與 的位置關(guān)系不定 故選c 2 設 是三個互不重合的平面 m n是兩條不重合的直線 則下列命題中正確的是 a 若 則 b 若 m m 則m c 若 m 則m d 若m n 則m n答案b 解析選項a中平面 可以是斜交 也可以是平行 選項c中直線m可在 內(nèi) 選項d中的直線m n可以是斜交 平行 還可以是異面 選項b正確 3 2010 浙江 理 設l m是兩條不同的直線 是一個平面 則下列命題正確的是 a 若l m m 則l b 若l l m 則m c 若l m 則l md 若l m 則l m答案b解析根據(jù)定理 兩條平行線中的一條垂直于另一個平面 另一條也垂直于這個平面知b正確 4 2011 合肥第一次質(zhì)檢 設 為彼此不重合的三個平面 l為直線 給出下列命題 若 則 若 且 l 則l 若直線l與平面 內(nèi)的無數(shù)條直線垂直 則直線l與平面 垂直 若 內(nèi)存在不共線的三點到 的距離相等 則平面 平行于平面 上面命題中 真命題的序號為 寫出所有真命題的序號 答案 5 如圖 在空間四邊形abcd中 ab bc cd da e f g分別為cd da和ac的中點 求證 平面bef 平面bgd 證明 ab bc cd ad g是ac的中點 bg ac dg ac bg dg g ac 平面bgd 又e f分別為cd da的中點 ef ac ef 平面bgd ef 平面bef 平面bgd 平面bef 授人以漁題型一線線 線面垂直例1如圖 已知pa 矩形abcd所在平面 m n分別是ab pc的中點 1 求證 mn cd 2 若 pda 45 求證 mn 平面pcd 證明 1 連結(jié)ac pa 平面abcd pa ac 在rt pac中 n為pc中點 2 pda 45 pa ad ap ad abcd為矩形 ad bc pa bc 又 m為ab的中點 am bm 而 pam cbm 90 pm cm 又n為pc的中點 mn pc 由 1 知mn cd pc cd c mn 平面pcd 探究1證線面垂直的方法有 1 利用判定定理 它是最常用的思路 2 利用線面垂直的性質(zhì) 兩平行線之一垂直于平面 則另一條線必垂直于該平面 3 利用面面垂直的性質(zhì) 兩平面互相垂直 在一個面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一平面 兩相交平面都垂直于第三個平面 則它們的交線垂直于第三個平面 思考題1如圖 已知矩形abcd 過a作sa 平面ac 再過a作ae sb交sb于e 過e作ef sc交sc于f 1 求證 af sc 2 若平面aef交sd于g 求證 ag sd 證明 1 sa 平面ac bc 平面ac sa bc abcd為矩形 ab bc且sa ab a bc 平面sab 又 ae 平面sab bc ae 又sb ae且sb bc b ae 平面sbc 又 sc 平面sbc ae sc 又ef sc且ae ef e sc 平面aef 又 af 平面aef af sc 2 sa 平面ac dc 平面ac sa dc 又ad dc sa ad a dc 平面sad 又ag 平面sad dc ag 又由 1 有sc 平面aef ag 平面aef sc ag且sc cd c ag 平面sdc 又sd 平面sdc ag sd 題型二面 面垂直例2 1 abc為正三角形 ec 平面abc bd ce 且ce ca 2bd m是ea的中點 求證 de da 平面bdm 平面eca 平面dea 平面eca 證明 取ec的中點f 連結(jié)df bd ce db ba 又ec bc 在rt efd和rt dba中 mn bd n點在平面bdm內(nèi) ec 平面abc ec bn 又ca bn bn 平面eca bn 平面bdm 平面bdm 平面eca dm bn bn 平面eca dm 平面eca 又dm 平面dea 平面dea 平面eca 2 已知 平面pab 平面abc 平面pac 平面abc ae 平面pbc e為垂足 求證 pa 平面abc 當e為 pbc的垂心時 求證 abc是直角三角形 思路分析 已知條件 平面pab 平面abc 想到面面垂直的性質(zhì)定理 便有如下解法 證明 在平面abc內(nèi)取一點d 作df ac于f 平面pac 平面abc 且交線為ac df 平面pac 又pa 平面pac df pa 作dg ab于g 同理可證 dg pa dg df都在平面abc內(nèi) pa 平面abc 連結(jié)be并延長交pc于h e是 pbc的垂心 pc bh 又已知ae是平面pbc的垂線 pc 平面pbc pc ae 又bh ae e pc 平面abe 又ab 平面abe pc ab pa 平面abc pa ab 又pc pa p ab 平面pac 又ac 平面pac ab ac 即 abc是直角三角形 探究2由 1 應掌握證明兩平面垂直常轉(zhuǎn)化為線面垂直 利用判定定理來證明 也可作出二面角的平面角 證明平面角為直角 利用定義來證明 由 2 已知兩個平面垂直時 過其中一個平面內(nèi)的一點作交線的垂線 則由面面垂直的性質(zhì)定理可得此直線垂直于另一個平面 于是面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直 由此得出結(jié)論 兩個相交平面同時垂直于第三個平面 則它們的交線也垂直于第三個平面 的關(guān)鍵是靈活利用 題的結(jié)論 思考題2如圖所示 在斜三棱柱a1b1c1 abc中 底面是等腰三角形 ab ac 側(cè)面bb1c1c 底面abc 1 若d是bc的中點 求證 ad cc1 2 過側(cè)面bb1c1c的對角線bc1的平面交側(cè)棱于m 若am ma1 求證 截面mbc1 側(cè)面bb1c1c 3 am ma1是截面mbc1 側(cè)面bb1c1c的充要條件嗎 請你敘述判斷理由 證明 1 ab ac d是bc的中點 ad bc 底面abc 側(cè)面bb1c1c 且交線為bc 由面面垂直的性質(zhì)定理可知ad 側(cè)面bb1c1c 又 cc1 側(cè)面bb1c1c ad cc1 2 方法一取bc1的中點e 連結(jié)de me 在 bcc1中 d e分別是bc bc1的中點 am ma1 na1 a1b1 又 ab ac 由棱柱定義知 abc a1b1c1 ab a1b1 ac a1c1 a1c1 a1n a1b1在 b1c1n中 由平面幾何定理知 nc1b1 90 即c1n b1c1 又 側(cè)面bb1c1c 底面a1b1c1 交線為b1c1 nc1 側(cè)面bb1c1c 又 nc1 面bnc1 截面c1nb 側(cè)面bb1c1c 即截面mbc1 側(cè)面bb1c1c 3 結(jié)論是肯定的 充分性已由 2 證明 下面僅證明必要性 即由截面bmc1 側(cè)面bb1c1c推出am ma1 實質(zhì)是證明m是aa1的中點 過m作me1 bc1于e1 截面mbc1 側(cè)面bb1c1c 交線為bc1 me1 面bb1c1c 又由 1 知ad 側(cè)面bb1c1c 垂直于同一個平面的兩條直線平行 ad me1 m e1 d a四點共面 又 am 側(cè)面bb1c1c 面ame1d 面bb1c1c de1 由線面平行的性質(zhì)定理可知am de1 又ad me1 四邊形ame1d是平行四邊形 ad me1 de1綊am 又 am cc1 de1 cc1 又 d是bc的中點 e1是bc1的中點 題型三平行與垂直的綜合問題例3 2010 遼寧卷 文 如圖 棱柱abc a1b1c1的側(cè)面bcc1b1是菱形 b1c a1b 1 證明 平面ab1c 平面a1bc1 2 設d是a1c1上的點 且a1b 平面b1cd 求a1d dc1的值 解析 1 因為側(cè)面bcc1b1是菱形 所以b1c bc1 又已知b1c a1b 且a1b bc1 b 所以b1c 平面a1bc1 又b1c 平面ab1c 所以平面ab1c 平面a1bc1 2 如圖 設bc1交b1c于點e 連結(jié)de 則de是平面a1bc1與平面b1cd的交線 因為a1b 平面b1cd 所以a1b de 又e是bc1的中點 所以d為a1c1的中點 即a1d dc1 1 探究3以棱柱或棱錐為載體 綜合考查直線與平面的平行 垂直關(guān)系是高考的一個重點內(nèi)容 解決這類問題時 核心是熟練掌握平行 垂直等的判定定理以及性質(zhì)定理 通過不斷利用這些定理 進行平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 證得問題結(jié)論 思考題3已知四邊形abcd是等腰梯形 ab 3 dc 1 bad 45 de ab 如圖1 現(xiàn)將 ade沿de折起 使得ae eb 如圖2 連接ac ab 設m是ab的中點 1 求證 bc 平面aec 2 判斷直線em是否平行于平面acd 并說明理由 解析 1 在圖1中 過c