高一數(shù)學(xué) 3.2.2 函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例課件 新人教A版必修1.ppt

學(xué)點(diǎn)一 學(xué)點(diǎn)二 學(xué)點(diǎn)三 2 用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的基本步驟 第一步 第二步 根據(jù)所給模型 列出函數(shù)關(guān)系式 第三步 第四步 再將所得結(jié)論轉(zhuǎn)譯成具體問題的解答 1 我們目前已學(xué)習(xí)了以下幾種函數(shù) 一次函數(shù) 二次函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 冪函數(shù) 試在橫線上依次填出其解析式 y kx b k 0 y ax2 bx c a 0 y ax a 0 且a 1 y logax a 0 且a 1 y x 為常數(shù) 審清題意 設(shè)立變量 利用函數(shù)關(guān)系求解 3 在處理曲線擬合與預(yù)測的問題時 通常需要以下幾個步驟 1 能夠根據(jù)原始數(shù)據(jù) 表格 繪出散點(diǎn)圖 2 通過考查散點(diǎn)圖 畫出 最貼近 的曲線 即 3 根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識 求出擬合曲線的 4 利用函數(shù)關(guān)系 根據(jù)條件對所給問題進(jìn)行預(yù)測和控制 以便為決策和管理提供依據(jù) 擬合曲線 函數(shù)解析式 學(xué)點(diǎn)一函數(shù)圖象的應(yīng)用 向高為h的水瓶中注水 注滿為止 如果注水量v與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示 那么水瓶的形狀是 分析 由函數(shù)圖象可知函數(shù)的性質(zhì) 如單調(diào)性等 考查圖象常用特殊點(diǎn)驗(yàn)證 b 解析 解法一 由圖知注水量v隨著高度的增加 增加的越來越慢 瓶子應(yīng)越來越細(xì) 故應(yīng)選b 解法二 中點(diǎn)判斷法 取h 如圖所示三點(diǎn)a b c 顯vb vc 即水高度達(dá)到瓶子一半時 水的體積超過瓶子的一半 顯然應(yīng)下粗上細(xì) 故應(yīng)選b 評析 抓住函數(shù)圖象的變化趨勢 定性地研究兩個變量之間的關(guān)系 是近年來常見應(yīng)用題的一種題型 其出發(fā)點(diǎn)是函數(shù)的圖象 處理問題的基本方法就是數(shù)形結(jié)合 一天 亮亮發(fā)燒了 早晨他燒得很厲害 吃過藥后感覺好多了 中午時亮亮的體溫基本正常 但是下午他的體溫又開始上升 直到半夜亮亮才感覺身上不那么發(fā)燙了 圖中能基本上反映出亮亮這一天 0時 24時 體溫的變化情況的是 設(shè)t f x 顯然在t 0 6 6 12 12 18 18 24 時 f t 依次為增 減 增 減函數(shù) 故應(yīng)選c c 某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥 據(jù)監(jiān)測 如果成人按規(guī)定的劑量服用 服藥后每毫升血液中的含藥量y 微克 與服藥后的時間t 小時 之間近似滿足如圖所示的曲線 其中oa是線段 曲線abc是函數(shù)y k at t 1 a 0 且k a是常數(shù) 的圖象 1 寫出服藥后y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式 學(xué)點(diǎn)二已知函數(shù)模型解實(shí)際問題 2 據(jù)測定 每毫升血液中含藥量不少于2微克時治療疾病有效 假若某病人第一次服藥為早上6 00 為了保持療效 第二次服藥最遲應(yīng)該在當(dāng)天幾點(diǎn)鐘 3 若按 2 中的最遲時間第二次服藥 則服藥后再過3小時 該病人每毫升血液中含藥量為多少微克 精確到0 1微克 分析 待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是一種求函數(shù)解析式的基本題型 2 設(shè)第一次服藥后最遲過t小時服第二次藥 依題意得t 1 2 解得t 5 因此 第二次服藥最遲應(yīng)在第一次服藥5小時后 即上午11時服藥 3 第二次服藥后3小時 每毫升血液中含第一次所服的藥的藥量為y1 微克 含第二次所服的藥的藥量為y2 4微克 y1 y2 4 4 7微克 答 該病人每毫升血液中含藥約為4 7微克 評析 這類題目主要有兩類 一是已知函數(shù)解析式形式 只需求待定系數(shù) 較容易 二是根據(jù)題目所給條件 能夠列出兩個變量x y之間的關(guān)系式 從而得出函數(shù)解析式 這類題目的關(guān)鍵是審清題意 弄清常量 變量等諸元素之間的關(guān)系 在前幾年的高考題目中 占有較大比例 物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述 設(shè)物體的初始溫度是t0 經(jīng)過一定時間t后的溫度是t 則t ta t0 ta 其中ta表示環(huán)境溫度 h稱為半衰期 現(xiàn)有一杯用88 熱水沖的速溶咖啡 放在24 的房間中 如果咖啡降溫到40 需要20min 那么降溫到35 時 需要多長時間 設(shè)半衰期為h 由題意知40 24 88 24 即 解之得h 10 故原式可化簡為t 24 88 24 當(dāng)t 35時 代入上式 得35 24 88 24 即 兩邊取對數(shù) 用計算器求得t 25 因此 約需要25min可降溫到35 學(xué)點(diǎn)三擬合函數(shù) 某工廠今年1月 2月 3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量分別為1萬件 1 2萬件 1 3萬件 為了估計以后每個月的產(chǎn)量 以這三個月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù) 用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x的關(guān)系 模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù)y a bx c 其中a b c為常數(shù) 已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1 37萬件 問 用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好 并說明理由 分析 此題想判斷哪個函數(shù)最好 可以先通過前三個月給出的條件 確定兩種模擬函數(shù)中參數(shù)的值 再由4月份的產(chǎn)量 比較哪個函數(shù)值更接近1 37萬 解析 設(shè)y1 f x px2 qx r p 0 則f 1 p q r 1f 2 4p 2q r 1 2f 3 9p 3q r 1 3 解得p 0 05 q 0 35 r 0 7 f 4 0 05 42 0 35 4 0 7 1 3 再設(shè)y2 g x abx c a 0 b 0 b 1 則g 1 ab c 1g 2 ab2 c 1 2g 3 ab3 c 1 3 解得a 0 8 b 0 5 c 1 4 g 4 0 8 0 54 1 4 1 35 經(jīng)比較可知用y 0 8 0 5 x 1 4作為模擬函數(shù)較好 評析 問題中給出函數(shù)關(guān)系式 且關(guān)系式中帶有需確定的參數(shù) 這些參數(shù)需要根據(jù)問題的內(nèi)容或性質(zhì)來確定 然后再通過運(yùn)用函數(shù)使問題本身獲解 18世紀(jì)70年代 德國科學(xué)家提丟斯發(fā)現(xiàn)金星 地球 火星 木星 土星離太陽的平均 天文單位 如下表 他研究行星排列規(guī)律后預(yù)測在火星與木星之間應(yīng)該有一顆大的行星 后來果然發(fā)現(xiàn)了谷神星 但不算大行星 它可能是一顆大行星爆炸后的產(chǎn)物 請你推測谷神星的位置 在土星外面是什么星 它與太陽的距離大約是多少 由數(shù)值對應(yīng)表作散點(diǎn)圖如圖 由圖采用指數(shù)型函數(shù)作模型 設(shè)f x a bx c 代入 1 0 7 2 1 0 3 1 6 得ab c 0 7 ab2 c 1 0 ab3 c 1 6 得b 2 代入 2a c 0 7a 4a c 1 0 c 解得 得 f x 2x f 5 5 2 f 6 10 符合對應(yīng)表值 f 4 2 8 f 7 19 6 所以谷神星大約在離太陽2 8天文單位處 在土星外面是天王星 它與太陽的距離大約是19 6天文單位 1 怎樣理解 數(shù)學(xué)建模 和實(shí)際問題的關(guān)系 一般來說 對問題進(jìn)行修改和簡化 形成一種比較精確和簡潔的表述 這時可稱之為 實(shí)際模型 它和 實(shí)際原形 不同 因?yàn)樗缓喕?不是實(shí)際問題所有方面都得到了體現(xiàn) 而是在得到一個 實(shí)際模型 之后 再用數(shù)學(xué)符號和表達(dá)式來代替實(shí)際問題中的變量和關(guān)系 得到的結(jié)果是一個 數(shù)學(xué)模型 在 數(shù)學(xué)建模 中要把握好下列幾個問題 1 理解問題 閱讀理解 讀懂文字?jǐn)⑹?認(rèn)真審題 理解實(shí)際背景 弄清楚問題的實(shí)際背景和意義 設(shè)法用數(shù)學(xué)語言來描述問題 2 數(shù)學(xué)建模 把握新信息 勇于探索 善于聯(lián)想 靈活化歸 根據(jù)題意建立變量或參數(shù)間的數(shù)學(xué)關(guān)系 實(shí)現(xiàn)實(shí)際問題數(shù)學(xué)化 引進(jìn)數(shù)學(xué)符號 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型 常用的數(shù)學(xué)模型有方程 不等式 函數(shù) 2 怎樣才能搞好 數(shù)學(xué)建模 3 求解模型 以所學(xué)的數(shù)學(xué)性質(zhì)為工具對建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解 4 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?將所求的結(jié)果代回模型中檢驗(yàn) 對模擬的結(jié)果與實(shí)際情形比較 以確定模型的有效性 如果不滿意 要考慮重新建模 5 評價與應(yīng)用 如果模型與實(shí)際情形比較吻合 要對計算的結(jié)果作出解釋并給出其實(shí)際意義 最后對所建立的模型給出運(yùn)用范圍 如果模型與實(shí)際問題有較大出入 則要對模型改進(jìn) 并重復(fù)上述步驟 3 數(shù)學(xué)建模 中要注意什么問題 1 有的應(yīng)用題文字?jǐn)⑹鋈唛L 或者選擇的知識背景較為陌生 處理時 要注意認(rèn)真 耐心地閱讀和理解題意 2 解決函數(shù)應(yīng)用題時要注意用變化的觀點(diǎn)分析和探求具體問題中的數(shù)量關(guān)系 尋找已知量與未知量之間的內(nèi)在聯(lián)系 然后將這些內(nèi)在聯(lián)系與數(shù)學(xué)知識聯(lián)想 建立函數(shù)關(guān)系式或列出方程 利用函數(shù)性質(zhì)或方程觀點(diǎn)來求解 則可使應(yīng)用題化生為熟 盡快得到解決 1 如果實(shí)際問題中的規(guī)律很難用一個統(tǒng)一的