高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 6.2 等差數(shù)列精品課件 理 新人教A版.ppt

6 2等差數(shù)列 1 等差數(shù)列的概念一般地 如果一個(gè)數(shù)列從等于同一個(gè)常數(shù) 那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列 2 通項(xiàng)公式an 推廣 an am 第2項(xiàng)起 每一項(xiàng)與前一 項(xiàng)的差都 a1 n 1 d n m d 考點(diǎn)分析 變式 a1 an d 由此聯(lián)想到點(diǎn)列 n an 所在直線的 3 等差中項(xiàng)若a b c成等差數(shù)列 則稱b為 且b a b c成等差數(shù)列是2b a c的 4 前n項(xiàng)和sn 變式 1 n d y dx a1 d a與c的等差中項(xiàng) 充要條件 5 等差數(shù)列 an 的一些常見性質(zhì) 1 若m n p q m n p q n 則 2 項(xiàng)數(shù)成等差數(shù)列 則相應(yīng)的項(xiàng)也成等差數(shù)列 即ak ak m ak 2m k m n 成等差數(shù)列 3 設(shè)sn是等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 則sk s2k sk s3k s2k 構(gòu)成的數(shù)列是數(shù)列 等差 am an ap aq 在等差數(shù)列 an 中 1 已知a15 33 a45 153 求a61 2 已知s8 48 s12 168 求a1和d 3 已知a6 10 s5 5 求a8和s8 4 已知a16 3 求s31 考點(diǎn)一基本量計(jì)算 題型分析 分析 在等差數(shù)列中有五個(gè)重要的量a1 an d n sn 只要已知任意三個(gè) 就可求出其他兩個(gè) 其中a1和d是兩個(gè)最重要的量 通常要先求出a1和d 4 中因?yàn)闂l件少求不出a1和d 但可利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解 解析 1 解法一 設(shè)首項(xiàng)為a1 公差為d 依題設(shè)條件 得33 a1 14d 153 a1 44d a61 23 61 1 4 217 解方程組得a1 23 d 4 解法二 由 得由an am n m d 得a61 a45 16d 153 16 4 217 2 sn na1 n n 1 d 8a1 28d 48 12a1 66d 168 解方程組得a1 8 d 4 a1 5d 10 5a1 10d 5 解方程組得a1 5 d 3 a8 a6 2d 10 2 3 16 s8 4 s31 31 a16 31 3 31 93 評(píng)析 方程思想是解決數(shù)列問題的基本思想 通過公差列方程 組 來求解基本量是數(shù)列中最基本的方法 同時(shí)在解題中也要注意數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 3 a6 10 s5 5 對(duì)應(yīng)演練 已知等差數(shù)列 an 中 a2 8 前10項(xiàng)和s10 185 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式an 2 若從數(shù)列 an 中依次取出第2 4 8 2n 項(xiàng) 按原來的順序排成一個(gè)新的數(shù)列 試求新數(shù)列的前幾項(xiàng)和an 1 設(shè)數(shù)列 an 的公差為d 由a2 8 s10 185 a1 d 8 10a1 d 185 a1 5 d 3 2 an a2 a4 a8 a2n 3 2 2 3 4 2 3 8 2 3 2n 2 3 2 4 8 2n 2n 3 2n 3 2n 1 2n 6 an 3n 2 得 設(shè)實(shí)數(shù)a1 0 且函數(shù)f x a x2 1 2x 有最小值 1 若數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和sn f n 令bn n 1 2 3 證明 數(shù)列 bn 是等差數(shù)列 分析 證明數(shù)列 an 為等差數(shù)列 只需證明an 1 an d d為常數(shù) 考點(diǎn)二等差數(shù)列的判定與證明 證明 f x a x2 1 2x a x 2 a 又f x a x2 1 2x 有最小值 1 f x 的最小值為f 且a 0 即f a 1 解得a 1或a 2 舍去 故f x x2 2x 即sn f n n2 2n 由a1 s1 得a1 1 當(dāng)n 2時(shí) an sn sn 1 n2 2n n 1 2 2 n 1 2n 3 即an 2n 3 又n 1時(shí) a1 1 2 1 3 即a1也滿足an 2n 3 當(dāng)n 2時(shí) an an 1 2n 3 2 n 1 3 2 an 是首項(xiàng)為 1 公差為2的等差數(shù)列 a2 a4 a2n n n n 2n 1 bn 2n 1 因此 當(dāng)n 2時(shí) bn bn 1 2n 1 2n 3 2 又b1 1 故 bn 是以1為首項(xiàng) 2為公差的等差數(shù)列 評(píng)析 證明一個(gè)數(shù)列 an 是等差數(shù)列的基本方法有兩種 一是利用等差數(shù)列的定義法 即證明an 1 an d n n 二是利用等差中項(xiàng)法 即證明 an 2 an 2an 1 n n 在選擇方法時(shí) 要根據(jù)題目條件的特點(diǎn) 如果能夠求出數(shù)列的通項(xiàng)公式 則可以利用定義法 否則 可以利用等差中項(xiàng)法 對(duì)應(yīng)演練 在數(shù)列 an 中 前n項(xiàng)和為sn 已知a1 3 a2 2 且sn 1 2sn sn 1 1 0 n n 且n 2 1 求證 數(shù)列 an 是等差數(shù)列 2 求數(shù)列 4 an 2n 的前n項(xiàng)和tn 1 證明 由sn 1 2sn sn 1 1 0 n n 且n 2 得 sn 1 sn sn sn 1 1 即an 1 an 1 n 2 又由已知a1 3 a2 2 a2 a1 2 3 1 an 1 an 1 n n 數(shù)列 an 是以3為首項(xiàng) 以 1為公差的等差數(shù)列 且an n 4 2 4 an 2n n 2n tn 1 2 2 22 3 23 n 2n 2tn 1 22 2 33 3 24 n 2n 1 得tn 2 22 23 2n n 2n 1 2 2n 1 n 2n 1 2 n 1 2n 1 在等差數(shù)列 an 中 已知a1 20 前n項(xiàng)和為sn 且s10 s15 求當(dāng)n取何值時(shí) sn取得最大值 并求出它的最大值 分析 1 由a1 20及s10 s15可求得d 進(jìn)而求得通項(xiàng) 由通項(xiàng)得到此數(shù)列前多少項(xiàng)為正 或利用sn是關(guān)于n的二次函數(shù) 利用二次函數(shù)求最值的方法求解 2 利用等差數(shù)列的性質(zhì) 判斷出數(shù)列從第幾項(xiàng)開始變號(hào) 考點(diǎn)三等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值 解析 解法一 a1 20 s10 s15 10 20 d 15 20 d d an 20 n 1 n a13 0 即當(dāng)a 12時(shí) an 0 n 14時(shí) an 0 當(dāng)n 12或13時(shí) sn取得最大值 且最大值為s12 s13 12 20 130 解法二 同解法一求得d sn 20n n2 n n 2 n n 當(dāng)n 12或13時(shí) sn有最大值 且最大值為s12 s13 130 解法三 同解法一得d 又由s10 s15 得a11 a12 a13 a14 a15 0 5a13 0 即a13 0 當(dāng)n 12或13時(shí) sn有最大值 且最大值為s12 s13 130 評(píng)析 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值 常用的方法 1 利用等差數(shù)列的單調(diào)性 求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng) 2 利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng) 便可求得和的最值 3 利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和sn an2 bn a b為常數(shù) 為二次函數(shù) 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值 對(duì)應(yīng)演練 在等差數(shù)列 an 中 a1 0 s9 s12 求數(shù)列前多少項(xiàng)和最小 解法一 由s9 s12 得9a1 d 12a1 d 得3a1 30d d a1 a1 0 d 0 sn na1 n n 1 d dn2 dn n 2 d d 0 sn有最小值 又 n n n 10或n 11時(shí) sn取最小值 最小值是 55d 即s10或s11最小且s10 s11 55d 解法二 由解法一知d a1 0 又 a1 0 數(shù)列 an 為遞增數(shù)列 a 0 a1 n 1 d 0an 1 0 a1 nd 0 a1 n 1 a1 0 1 n 1 0a1 n a1 01 n 0 10 n 11 數(shù)列的前10項(xiàng)均為負(fù)值 a11 0 從第12項(xiàng)起為正值 n 10或11時(shí) sn取最小值 即 令 解法三 s9 s12 a10 a11 a12 0 3a11 0 a11 0 又 a1 0 數(shù)列為遞增數(shù)列 因此數(shù)列的前10項(xiàng)均為負(fù)值 a11 0 從第12項(xiàng)起為正值 當(dāng)n 10或11時(shí) sn取最小值 設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為sn 已知前6項(xiàng)和為36 sn 324 最后6項(xiàng)的和為180 n 6 求數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n 分析 在等差數(shù)列 an 中 若m n p q 則am an ap aq m n p q n 用此性質(zhì)可優(yōu)化解題過程 考點(diǎn)四等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 解析 由題意可知a1 a2 a6 36 an an 1 an 2 an 5 180 得 a1 an a2 an 1 a6 an 5 6 a1 an 216 a1 an 36 又sn 324 18n 324 n 18 評(píng)析 本題的解題關(guān)鍵是將性質(zhì)m n p q am an ap aq與前n項(xiàng)和公式sn 結(jié)合在一起 采用整體思想 簡(jiǎn)化解題過程 對(duì)應(yīng)演練 1 等差數(shù)列 an 中 a15 33 a45 153 則d 2 等差數(shù)列 an 中 a1 a2 a3 a4 a5 20 則a3 3 若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34 最后三項(xiàng)的和為146 且所有項(xiàng)的和為390 則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為 a 13b 12c 11d 10 4 韶關(guān)11屆高三摸底考 等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為sn 若a3 a17 10則s19 a 55b 95c 100d 不確定 1 4 2 4 3 a 4 b 1 由d 得d 4 2 由a1 a5 a2 a4 2a3 得5a3 20 所以a3 4 3 因?yàn)閍1 a2 a3 34 an 2 an 1 an 146 a1 a2 a3 an 2 an 1 an 146 34 180 又因?yàn)閍1 an a2 an 1 a3 an 2 所以3 a1 an 180 從而a1 an 60 所以sn 即n 13 故應(yīng)選a 4 由等差數(shù)列的性質(zhì)知s19 故應(yīng)選b 1 深刻理解等差數(shù)列的定義 緊扣從 第二項(xiàng)起 和 差是同一常數(shù) 這兩點(diǎn) 2 由五個(gè)量a1 d n an sn中的三個(gè)量可求出其余兩個(gè)量 要求選用公式要恰當(dāng) 要善于減少運(yùn)算量 達(dá)到快速 準(zhǔn)確的目的 3 已知三個(gè)或四個(gè)數(shù)成等差一類問題 要善于設(shè)元 目的仍在于減少運(yùn)算量 如三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列時(shí) 除了設(shè)a a d a 2d外 還可設(shè)a d a a d 四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列時(shí) 可設(shè)為a 3d a d a d a 3d 高考專家助教 4 證明數(shù)列 an 是等差數(shù)列的兩種基本方法是 1 利用定義 證明an an 1 n 2 為