流體動力學(xué)基礎(chǔ)(工程流體力學(xué))

1 第四章流體動力學(xué)基礎(chǔ) 2 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 雷諾輸運定理 運動微分方程 伯努利方程及其應(yīng)用 系統(tǒng)與控制體 動量方程 連續(xù)方程式 微分方程的求解 角動量方程 能量方程 引言 Introduction 4 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 流體動力學(xué)研究流體在外力作用下的運動規(guī)律 即流體的運動參數(shù)與所受力之間的關(guān)系 本章主要介紹流體動力學(xué)的基本知識 推導(dǎo)出流體動力學(xué)中的幾個重要的基本方程 連續(xù)性方程 動量方程和能量方程 這些方程是分析流體流動問題的基礎(chǔ) 與工程流體力學(xué)的各部分均有一定的關(guān)聯(lián) 因而本章是整個課程的重點 簡單地說 就是三大守恒定律 質(zhì)量 動量 能量守恒在流體力學(xué)中的體現(xiàn)形式 5 三大守恒定律 動力學(xué)三大方程 推廣到流體中 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 4 1系統(tǒng)與控制體 SystemandControlVolume 7 系統(tǒng) 體系 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 工程熱力學(xué) 閉口系統(tǒng)或開口系統(tǒng) 理論力學(xué) 質(zhì)點 質(zhì)點系和剛體 研究對象 均以確定不變的物質(zhì)集合作為研究對象 8 系統(tǒng) 質(zhì)量體 在流體力學(xué)中 系統(tǒng)是指由確定的流體質(zhì)點所組成的流體團(tuán) 如圖所示 系統(tǒng)以外的一切統(tǒng)稱為外界 系統(tǒng)和外界分開的真實或假象的表面稱為系統(tǒng)的邊界 定義 流體動力學(xué)基礎(chǔ) Lagrange方法 9 1 一定質(zhì)量的流體質(zhì)點的合集 2 系統(tǒng)的邊界隨流體一起運動 系統(tǒng)的體積 邊界面的形狀和大小可以隨時間變化 3 系統(tǒng)的邊界處沒有質(zhì)量交換 即沒有流體流進(jìn)或流出系統(tǒng)的邊界 4 在系統(tǒng)的邊界上受到外界作用在系統(tǒng)上的表面力 5 在系統(tǒng)的邊界上可以有能量交換 即可以有能量輸入或輸出系統(tǒng)的邊界 特點 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 10 多數(shù)流體力學(xué)實際問題中 對個別流體質(zhì)點或流體團(tuán)的運動及其屬性并不關(guān)心 而更關(guān)心流體對流場中的物體或空間中某體積的作用和影響 系統(tǒng) 拉格朗日觀點 應(yīng)采用歐拉觀點處理上述問題 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 11 控制體的邊界面稱為控制面 它總是封閉表面 定義 相對于某個坐標(biāo)系來說 有流體流過的固定不變的任何空間的體積稱為控制體 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 控制體 開系統(tǒng) Euler方法 12 控制面的幾何外形和體積是相對流動情況和邊界條件選定的控制面相對于坐標(biāo)系是固定的 在控制面上可以有質(zhì)量交換 即可以有流體流進(jìn)或流出控制面 在控制面上受到控制體以外物體施加在控制體內(nèi)流體上的力 動量交換 在控制面上可以有能量交換 即可以有能量輸入或輸出控制面 控制面的特點 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 13 t時刻 t t時刻 系統(tǒng) 控制體 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 14 定義 控制體內(nèi)某物理量的總和隨時間的增長率稱為局部導(dǎo)數(shù)定義 質(zhì)量體內(nèi)某物理量的總和隨時間的增長率稱為隨體導(dǎo)數(shù) 隨體導(dǎo)數(shù) 局部導(dǎo)數(shù) 質(zhì)量體 控制體 經(jīng)典定理應(yīng)用方便 研究實際問題方便 輸運公式 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 隨體導(dǎo)數(shù)和局部導(dǎo)數(shù) 15 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 4 2雷諾輸運定理 ReynoldsTransportEquation 17 回憶 物質(zhì)導(dǎo)數(shù)是反映流體質(zhì)點某一物理量對時間的變化率 即觀察者隨流體質(zhì)點一起運動時看到的物理量變化率 也可稱為質(zhì)點導(dǎo)數(shù)或隨體導(dǎo)數(shù) 流體質(zhì)點的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的歐拉變量表達(dá)式 借助雷諾輸運定理 如何用歐拉變量表達(dá)式來表示對系統(tǒng)體積分的物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 18 定理 任意時刻 質(zhì)量體內(nèi)物理量的隨體導(dǎo)數(shù)等于該時刻形狀 體積相同的控制體內(nèi)物理量的局部導(dǎo)數(shù)與通過該控制體表面的輸運量之和 質(zhì)量體 控制體 任一物理量 控制體表面外法向單位向量 雷諾輸運定理 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 19 將拉格朗日法求系統(tǒng)內(nèi)物理量的時間變化率轉(zhuǎn)換為按歐拉法去計算的公式 推導(dǎo)過程 符號說明 B t時刻該系統(tǒng)內(nèi)流體所具有的某種物理量 如質(zhì)量 動量等 單位質(zhì)量流體所具有的物理量 系統(tǒng)所占有的空間體積 控制體所占有的空間體積 t時刻 t t時刻 II II III II II I 雷諾輸運定理 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 20 流體動力學(xué)基礎(chǔ) V II III V II I t 0 II II 21 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 22 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 第一項就是控制體內(nèi)的當(dāng)?shù)貢r間變化率 第二項是 t時間內(nèi) 流體通過控制面隨著流體流入而帶進(jìn)來的相應(yīng)物理量除以 t 第二項是 t時間內(nèi) 流體通過控制面隨著流體流出而帶出去的相應(yīng)物理量除以 t 23 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 控制體內(nèi)物理量的變化率 流進(jìn)流出控制體的凈流通量 物理量的總導(dǎo)數(shù) Reynolds輸運定理表明 某個瞬間時刻 以某個控制體作為體系的系統(tǒng)中 某物理量的總量 其隨流導(dǎo)數(shù)等于控制體內(nèi)的該總量的當(dāng)?shù)貢r間變化率 加上從控制面上凈輸出的該物理量的通量 24 推導(dǎo) 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 另一種證明 25 把一個有限體積內(nèi)流體的質(zhì)點導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為Euler描述下的控制體導(dǎo)數(shù) 提供了一個Lagrange描述的質(zhì)點力學(xué)向Euler描述的流體力學(xué)轉(zhuǎn)換的橋梁 系統(tǒng)內(nèi)部的某一物理量的時間變化率是由兩部分組成 等于控制體內(nèi)的該物理量的時間變化率加上單位時間內(nèi)通過控制面的該物理量的凈通量 雷諾輸運定理的作用 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 26 在定常流動條件下 有也就是說 系統(tǒng)內(nèi)物理量的變化只與通過控制面的流動有關(guān) 而與控制內(nèi)的流動無關(guān) 大大簡化了研究內(nèi)容 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 4 3連續(xù)性方程 ContinuityEquation 28 當(dāng)流體經(jīng)過流場中某一任意指定的空間封閉曲面時 可以斷定 1 若在某一定時間內(nèi) 流出的流體質(zhì)量和流入的流體質(zhì)量不相等時 則這封閉曲面內(nèi)一定會有流體密度的變化 以便使流體仍然充滿整個封閉曲面內(nèi)的空間 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的應(yīng)用 前提 流體是連續(xù)介質(zhì) 它在流動時連續(xù)地充滿整個流場 29 2 如果流體是不可壓縮的 則流出的流體質(zhì)量必然等于流入的流體質(zhì)量 上述結(jié)論可以用數(shù)學(xué)方程式來表達(dá) 稱為連續(xù)性方程 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 由哈維發(fā)現(xiàn)的人體血液循環(huán)理論是流體連續(xù)性原理的例證 30 雷諾輸運公式可用于任何分布函數(shù)B 如密度分布 動量分布 能量分布等 令 1 由系統(tǒng)的質(zhì)量不變可得連續(xù)性方程 積分形式的連續(xù)性方程 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 由流體系統(tǒng)滿足質(zhì)量守恒得 31 系統(tǒng)質(zhì)量變化率 流出控制體的質(zhì)量流率 控制體內(nèi)質(zhì)量變化率 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 上式表明 通過控制面凈流出的質(zhì)量流量等于控制體內(nèi)流體質(zhì)量隨時間的減少率 在推導(dǎo)上式的時候 未作任何假設(shè) 因此只要滿足連續(xù)性假設(shè) 上式總是成立的 32 固定的控制體對固定的CV 積分形式的連續(xù)性方程可化為 運動的控制體將控制體隨物體一起運動時 連續(xù)性方程形式不變 只要將速度改成相對速度vr 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 33 1 對于均質(zhì)不可壓流體 const 可適用于均質(zhì)不可壓流體的定常及非定常流動 連續(xù)方程的簡化 連續(xù)方程簡化為 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 34 可適用于可壓 不可壓流體的定常流動 連續(xù)方程簡化為 2 對于定常流動 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 35 出 入口截面上的質(zhì)流量大小為設(shè) 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 有多個出入口 一般式 3 沿流管的定常流動 36 設(shè)出入口截面上的體積流量大小為Q VA 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 4 沿流管的不可壓縮流動 一般式 有多個出入口 37 5 一維流 一維定常流不可壓為什么河道窄的地方水流湍急 為什么水管捏扁了速度快 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 38 流體動力學(xué)基礎(chǔ) Ql Q2 Q3 Ql Q2 Q3 有匯流或分流的情況 39 解題的一般方法和步驟選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 使得在該坐標(biāo)系中相對流動是定常的 選取恰當(dāng)?shù)目刂企w 控制體的界面上包括要求的未知量和盡可能多的已知量 一般可選固體壁面或流面作為控制面 使得在其上輸運量為零或可求 積分型守恒方程的應(yīng)用 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 40 解題的一般方法和步驟在控制面上物理量均勻分布 易求積分 動量方程是矢量方程 三個坐標(biāo)方向三個方程 完整寫出控制體上受外力 外力具有代數(shù)正負(fù) 與坐標(biāo)方向一致為正 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 41 4 3 1 所有管截面均為圓形 d1 2 5cm d2 1 1cm d3 0 7cm d4 0 8cm d5 2 0cm 平均流量分別為Q1 6l min Q3 0 07Q1 Q4 0 04Q1 Q5 0 78Q1求 Q2及各管的平均速度 解 取圖中虛線所示控制體 有多個出入口 液按不可壓縮流體處理可得 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q2 Q1 Q3 Q4 Q5 Q1 0 07 0 04 0 78 Q 0 11Q1 0 66l min 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 42 各管的平均速度為 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 43 例4 3 2 思考題 要使注射器穩(wěn)定地以300cm3 min注射 問推進(jìn)速度Vp 已知Ap 500mm2關(guān)鍵 選控制體 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 44 利用Gauss公式來證明 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 微分形式的連續(xù)方程 45 在流場內(nèi)取一固定不動的平行六面體微元控制體 并建立合適的坐標(biāo)系 選取適當(dāng)?shù)奈⒃刂企w 分析系統(tǒng) 微元控制體 的流動 受力等情況 分析包括控制體內(nèi)的物理量變化及受力 控制面上流入 流出的物理量流率以及受力等 并注意各物理量的正負(fù)號 列出守恒方程 整理 簡化 如質(zhì)量守恒方程 動量定理方程及能量守恒方程等 微分形式的連續(xù)方程的推導(dǎo)二 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 46 在流場的任意點處取微元六面體 如圖所示 六面體中的質(zhì)量隨空間和時間變化 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 微分形式的連續(xù)方程的推導(dǎo)二 47 1 空間變化 對于x軸方向 單位時間流入微元六面體的質(zhì)量為流出的質(zhì)量為X方向其質(zhì)量增加為 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 48 同樣y z軸方向的質(zhì)量增加分別為 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 2 時間變化 微元控制體內(nèi)流體質(zhì)量增長率 49 3 根據(jù)質(zhì)量守恒定律流體運動的連續(xù)方程式為 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 50 物理意義 空間上流入流出質(zhì)量的增加量應(yīng)該等于由于密度變化而引起的質(zhì)量增加量 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 連續(xù)方程兩種形式 51 簡化 1 定常壓縮性流體 t 0 則連續(xù)方程變?yōu)?流體動力學(xué)基礎(chǔ) 適用范圍 理想 實際 可壓縮 不可壓縮的恒定流 52 2 非壓縮性流體 常數(shù) 則連續(xù)方程變?yōu)樯鲜綖椴豢蓧嚎s流體三維流動的連續(xù)性的方程 它的物理意義是 在同一時間內(nèi)通過流場中任一封閉表面的體積流量等于零 也就是說 在同一時間內(nèi)流入的體積流量與流出的體積流量相等 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 上式三項之和為流體的體積變形率 膨脹率或收縮率 即單位時間內(nèi)單位流體的膨脹量或縮小量 也就是說不可壓縮流體的體積變形率為零 它的體積不會發(fā)生變化 53 在柱坐標(biāo)系中 連續(xù)方程式為式中ur u uz是速度u在r z坐標(biāo)上的分量 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 在球坐標(biāo)系中 連續(xù)方程式為 其它坐標(biāo)系的連續(xù)方程 4 7動量方程 MomentEquation 55 動量方程是動量定理 牛頓第二定律 在流體力學(xué)中的具體體現(xiàn) 它反映了流體運動的動量變化與作用力之間的關(guān)系 對于積分形式的動量方程其優(yōu)點在于不必知道流動范圍內(nèi)部的過程 而只需要知道邊界面上的流動情況即可 根據(jù)牛頓定律 質(zhì)量體內(nèi)動量的變化率等于該瞬間作用在質(zhì)量體上的外力之和 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 只適用于慣性系 56 將雷諾輸運定理應(yīng)用于流體系統(tǒng)的動量定理公式中 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 動量方程 系統(tǒng)動量變化率 流出控制體的凈動量流率 控制體內(nèi)動量變化率 系統(tǒng)所受合外力 Ff 質(zhì)量力 Fs 表面力 57 注意 1 動量方程是三維的 2 外力的各分量 以及各速度分量均有正 負(fù) 其取決于坐標(biāo)軸方向的選擇 3 矢量點積 V n ds也存在正負(fù)之分 流出為正 流入為負(fù) 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 在dt時間內(nèi) 作用在控制體內(nèi)流體上的合外力等于同時間間隔內(nèi)從控制體凈流出的流體動量與控制體內(nèi)流體動量對時間的變化率之和 58 在流場中選擇一個控制體 如圖中虛線所示 使它的一部分控制面與要計算作用力的固定邊界重合 其余控制面則視取值方便而定 控制體一經(jīng)選定 其形狀 體積和位置相對于坐標(biāo)系是不變的 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 控制體動量定理另一種證明方法 59 設(shè)t時刻流體系統(tǒng)與控制體V重合 且控制體內(nèi)任意空間點上的流體質(zhì)點速度為 密度為 則流體系統(tǒng)在t時刻的初動量為 經(jīng)過時刻以后 原流體系統(tǒng)運動到實線所示位置 這個流體系統(tǒng)在時刻的末動量為 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 60 式中 非原流體系統(tǒng)經(jīng)控制面A1流入的動量 原流體系統(tǒng)經(jīng)控制面A2流出的動量 控制體的全部控制面 于是 歐拉法表示的動量方程 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 61 式中 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 62 1 合力 是指作用在控制體上的質(zhì)量力 正應(yīng)力的和除正壓力 質(zhì)量力之外的一切外力之和 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 動量方程各項的簡化 質(zhì)量力 不考慮剪切力 也就是表面力只有正應(yīng)力 63 2 凈動量流率量 動量流進(jìn)流出控制體的總和 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 一般流動是三維的 但可以簡化為二維 一維流動加修正 3 定常流動 64 定?？偭髁魇鐖D所示 把流線方向取為自然坐標(biāo)s的正向 取如圖中虛線所示的總流流束為控制體 則總控制體表面上有動量交換 令這兩個過流斷面上的平均速度為v1 v2 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 定常總流的動量方程 動量方程的簡化 去掉時間偏導(dǎo)數(shù) 65 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 由于按平均流速計算得到的動量變化量和以實際流速計算的動量變化量是不同的 故引入一個動量修正系數(shù) 加以修正 根據(jù)實驗測定值約為1 02 1 05 近似于l 所以為計算方便 在工程計算中通常取 1 不可壓縮流體 控制體動量方程可化簡為 66 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 一維流 具有多個一維出入口的控制體 67 注意 1 控制體的選取 2 或代表流出平均速度矢量 或代表流入平均速度矢量 3 動量方程中的負(fù)號是方程本身具有的 和在坐標(biāo)軸上投影式的正負(fù)與坐標(biāo)系選擇有關(guān) 4 包含所有外力 大氣壓強 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 68 定常時 勻速運動控制體 坐標(biāo)系固定在勻速運動的控制體上 是相對速度 輸運公式為 有多個一維出入口時 為作用在控制體上的合外力 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 69 在定常流動中 可以有某一段流體進(jìn) 出口的流速變化 而不需要知道這一流段的內(nèi)部情況 就可以求出流體所受外力的合力 即管壁對流體的作用力 從而求出流體對管壁的作用力 動量方程是一個矢量方程 所以應(yīng)用投影方程比較方便 應(yīng)用時應(yīng)注意 適當(dāng)?shù)剡x擇控制面 完整地表達(dá)出控制體和控制面上的外力 并注意流動方向和投影的正負(fù)等 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 動量定理的應(yīng)用 70 控制體應(yīng)包括動量發(fā)生的全部流段 即應(yīng)對總流取控制體 控制體的兩端斷面要緊接所要分析的流段 控制體的邊界一般沿流向由固體邊壁 自由液面組成 垂直于流向則由過流斷面組成 注意速度 流率的正 負(fù) 動量方程的應(yīng)用步驟 選取適當(dāng)?shù)倪^流斷面與控制體 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 投影軸可任意選取 以計算方便為宜 分析系統(tǒng) 控制體 的受力情況 注意 不要遺漏 并以正負(fù)號表明力的方向 橫界面壓力的計算 分析控制體動量變化 列動量方程 結(jié)合使用連續(xù)性方程及伯努利方程等求解 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 71 如下圖表示一水平轉(zhuǎn)彎的管路 由于液流在彎道改變了流動方向 也就改變了動量 于是就會產(chǎn)生壓力作用于管壁 因此在設(shè)計管道時 在管路拐彎處必須考慮這個作用力 并設(shè)法加以平衡 以防管道破裂 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 1 流體作用于彎管的力 72 現(xiàn)在我們用動量方程來確定這種作用力 在x y方向上分別應(yīng)用動量方程 首先看x軸 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 沿x軸方向的動量變化為 以流出動量為正 流入為負(fù) 1截面動量 2截面動量 總動量變化 73 沿x軸方向的作用力 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 上面應(yīng)用了連續(xù)性方程 u1 u2 u 沿x軸方向的作用力總和為 1截面所受力 2截面所受力 壁面對水的作用力 74 同理 對于y軸方向有 從以上公式可求出與 從而可以計算R 代入動量方程有 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 75 注意 若求解所取流體系統(tǒng)對壁面的作用力 則取絕對壓強 若求管 板 的受力 則選擇表壓強 必須注意 如果要考慮彎管的受力 因為彎管放置在大氣中 所以管外側(cè)受到大氣壓的作用 考慮互相抵消的問題 根據(jù)反作用力原理 流體對管壁的作用力為 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 76 彎管受力分析的擴(kuò)展 已知 無粘理想流體 已知進(jìn) 出口的P V A不計重力求水對彎頭的作用力 x y方向分別考慮 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 77 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 如左圖的容器在液面下深度等于h處有一比液面面積小得多的出流孔 其面積為A 在出流孔很小的前提下 假使只就一段很短的時間來看 其出流過程就可以當(dāng)作近似的穩(wěn)定流看待 這時理想流體的出流速度是 2 射流的背壓 反推力 這一瞬時 容器由流體水平方向的動量變化將決定于單位時間內(nèi)由容器流出來的動量 78 表明 射流反推力 背壓 的大小恰好等于出流孔處的流體靜壓力的兩倍 如果容器能夠運動 射流就可能克服容器移動的阻力 而使容器向流體射出速度的反方向運動 火箭 衛(wèi)星 飛機(jī)等運動原理 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 根據(jù)動量定理 這一動量變化當(dāng)然在大小上 方向上 位置上恰好等于器壁在水平方向加在流體上的壓力合力 流動流體則反過來對容器壁上作用一個方向與出流速度相反的水平推力 這個力的大小也就等于容器內(nèi)流體的動量變化率 即 79 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 3 求射流對彎曲對稱葉片的沖擊力計算公式 解 1 對于噴嘴和葉片均為固定的情況 射流的壓強等于周圍氣體的壓強 根據(jù)能量方程式 如果不計水頭損失 各斷面流速值應(yīng)保持不變 80 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 81 4 噴嘴的受力 已知 無粘不可壓流體p1 V1 A1和Ae 不計流體重力1 求氣體對噴嘴的沖擊力2 求螺栓受力 思考 如何確定速度Ve 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 4 4理想流體的運動微分方程 Themomentequationofideafluid 83 考慮如下圖所示的邊長為dx dy dz的微元直角六面體 其中角點A坐標(biāo)為A x y z 作用在此直角六面體上的外力有兩種 表面壓力和質(zhì)量力 對于理想流體 忽略剪切力 只有正壓強體積力一般只考慮重力 設(shè)在x y z軸方向上的單位質(zhì)量力為fx fy fz 理想流體的運動微分方程 積分形式的動量方程 不涉及流體內(nèi)部受力 現(xiàn)在我們分析一下流體微團(tuán)的受力及運動之間的動力學(xué)關(guān)系 建立理想流體動力微分方程 即歐拉方程 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 84 作用在流體微元上的力 流場中的分布力 表面力 切向應(yīng)力 重力場 重力勢 法向應(yīng)力p 單位質(zhì)量流體 體積力 重力 慣性力 單位體積流體 電磁力 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 85 設(shè)中心點M的坐標(biāo)為x y z 壓強為p 只考慮x軸方向受力分析 和 表面力為 質(zhì)量力為 利用泰勒級數(shù) ABCD和EFGH中心點處的壓強分別為 慣性力為 歐拉運動微分方程 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 86 根據(jù)牛頓第二定律得x方向的運動方程式為 上式簡化后得 同理可得 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 87 展開隨體導(dǎo)數(shù) 則有 上面二式即是理想流體運動的微分方程式 也叫做歐拉運動微分方程式 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 歐拉方程組 88 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 流動定常時Euler方程為 式中x y z t為四個變量 為x y z t的函數(shù) 是未知量 也是x y z的函數(shù) 一般是已知的 4 4伯努利方程及其應(yīng)用 BernoulliEquation 90 在一般情況下 作用在流體上的質(zhì)量力fx fy和fz是已知的 對理想不可壓縮流體其密度 為一常數(shù) 在這種情況下 上面方程組中有四個未知數(shù)u v w和p 而已有三個方程 再加上不可壓縮流體的連續(xù)性方程 從理論上就可以求解這四個未知數(shù) 運用上面得到的運動微分方程求解各種流動問題時 需要對運動方程進(jìn)行積分 但由于數(shù)學(xué)上的困難 目前還無法在一般情況下進(jìn)行 下面先討論在恒定條件下理想流體運動方程沿流線的積分 流體動力學(xué)基礎(chǔ) Euler運動微分方程組 91 1 無粘 理想 動量方程 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 伯努利方程的導(dǎo)出 2 定常流動 利用變換 92 改寫成 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 伯努利方程的導(dǎo)出 3 沿流線 假設(shè)流體微團(tuán)沿流線的微小位移dl在三個坐標(biāo)軸上的投影為dx dy和dz 成立條件 沿同一流線 無旋w 0 93 注意到 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 伯努利方程的導(dǎo)出 4 只考慮重力場 94 積分 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 伯努利方程的導(dǎo)出 5 不可壓 廣義伯努利方程 伯努利方程 95 動能定理 某一運動物體在某一時段內(nèi)的動能增量 等于在該時段內(nèi)作用于此物體上所有的力所做的功之和 元流段的動能增量 重力所作的功為 根據(jù)動能定理 壓力所作的功為 得 4 18 用微元流束分析法推導(dǎo)出不可壓縮均質(zhì)理想流體恒定元流的伯努利方程 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 96 Bernoulli方程 成立條件1 無粘理想流體2 定常流3 沿同一流線4 重力場5 不可壓 正壓流場 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 單位質(zhì)量流體 單位體積流體 單位重量流體 97 有旋 沿同一流線積分同一流線常數(shù)相等 不同流線常數(shù)不同 流體動力學(xué)基礎(chǔ) Bernoulli方程 特例靜止流體 V 0 即靜力學(xué)基本方程 無旋流場所有常數(shù)都相等 98 Bernoulli方程的物理意義 不可壓理想流體在重力場中作定常流動時 同一流線上各點的單位重量流體的總機(jī)械能時守恒的 但動能 壓力勢能和位置勢能是可以相互轉(zhuǎn)換的 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 動量方程沿流線積分而來 能量方程 單位重量流體所具有的重力勢能 單位重量流體的動能 單位重量流體的壓力能 99 Bernoulli方程的幾何意義 不可壓理想流體在重力場中作定常流動時 同一流線上各點的單位重量流體的總水頭為常數(shù) 但位置水頭 壓力水頭和速度水頭是可以相互轉(zhuǎn)換的 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 各項單位都是米 工程流體力學(xué)稱為水頭 z 單位重量流體的位置水頭P pg 單位重量流體的壓力水頭v2 2g 單位重量流體的速度水頭 100 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 101 理想流體微元流束的伯努利方程 在工程中廣泛應(yīng)用于管道中流體的流速 流量的測量和計算 伯努利方程的應(yīng)用 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 皮托管 小孔出流 虹吸管 文丘里流量計 102 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 一 皮托管 皮托 Pitot 管是指將流體動能轉(zhuǎn)化為壓能 進(jìn)而通過測壓計測定流體運動速度的儀器 常用于測量河道 明渠 風(fēng)管中的流速 還可測量物體在流體中的運動速度 如船舶 飛機(jī)等的航行速度的測量 常用的是由裝有一半圓球探頭的雙層套管組成 并在兩管末端聯(lián)接上壓差計 探頭端點A處開一小孔與內(nèi)套管相連 直通壓差計的一肢 外套管側(cè)表面沿圓周均勻地開一排與外管壁相垂直的小孔 靜壓孔 直通壓差計的另一肢 測速時 將皮托管放置在欲測速度的恒定流中某點A 探頭對著來流 使管軸與流體運動的方向相一致 流體的速度接近探頭時逐漸減低 流至探頭端點處速度為零 103 皮托管測量原理示意圖 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 104 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 皮托管有簡單和復(fù)合之分 其機(jī)構(gòu)如圖所示 復(fù)合畢托管1 2 105 設(shè)測速管中上升的液柱高h(yuǎn) 其流速為零 形成一個駐點A 駐點A的壓強PA稱為全壓 在入口前同一水平流線未受擾動處 例如B點 的液體壓強為PB 速度為V 應(yīng)用伯努利方程于同一流線上的 兩點 則有 簡易皮托管是依據(jù)駐點流速為零 其動能轉(zhuǎn)變?yōu)閴毫δ?從而使管內(nèi)液面上升的原理設(shè)計成的 流體動力學(xué)基礎(chǔ) a 簡易皮托管 106 V B A Z Z 簡易皮托管測速原理 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 107 上式表明 只要測量出流體的運動全壓和靜壓水頭的差值h 就可以確定流體的流動速度 由于流體的特性 以及皮托管本身對流動的干擾 實際流速比上式計算出的要小 因此 實際流速為 式中 流速修正系數(shù) 一般由實驗確定 0 97 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 108 如果測定氣體的流速 則無法直接用皮托管和靜壓管測量出氣柱差來 必須把兩根管子連接到一個 形差壓計上 從差壓計上的液面差來求得流速 如下圖所示 則 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 代入前式有 用皮托管和靜壓管測量氣體流速 109 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 工程中使用的皮托管都必須經(jīng)過嚴(yán)格標(biāo)定 說明測量條件和流體種類 而且在安裝時應(yīng)按說明書要求去做 以減少測量誤差 在工程應(yīng)用中多將靜壓管和皮托管組合成一件 稱為皮托 靜壓管 又稱動壓管 由差壓計給出總壓和靜壓的差值 從而測出測點的流速 b 復(fù)式皮托管 110 例 復(fù)式皮托測速管 已知 設(shè)皮托管正前方的流速保持為v 靜壓強為p 流體密度為 U形管中液體密度 m 求 用液位差 h表示流速v a AOB線是一條流線 常稱為零流線 沿流線AO段列伯努利方程 解 設(shè)流動符合不可壓縮無粘性流體定常流動條件 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 111 b 端點O v0 0 稱為駐點 或滯止點 p0稱為駐點壓強 由于zA z0 可得 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 稱為動壓強 p0稱為總壓強 AB的位置差可忽略 c 112 因vB v 由上式pB p 在U形管內(nèi)列靜力學(xué)關(guān)系式 由 c d 式可得 k稱為畢托管系數(shù) 由 e 式可得 d e 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 113 假設(shè)容器非常大水位近似恒定 且薄壁出流 也就是銳緣孔口出流 流體與孔壁只有周線上接觸 孔壁厚度不影響射流形態(tài) 求出流速度 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 二 小孔出流 托里拆里公式及縮頸效應(yīng) 例 已知 圖示一敞口貯水箱 孔與液面的垂直距離為h 淹深 設(shè)水位保持不變 求 1 出流速度v 2 出流流量Q 114 小孔出流 托里拆里公式及縮頸效應(yīng) 1 設(shè)流動符合不可壓縮無粘性流體定常流動條件 解 從自由液面上任選一點1畫一條流線到小孔2 并列伯努利方程 a 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 115 液面的速度可近似取為零v1 0 液面和孔口外均為大氣壓強p1 p2 0 表壓 由 a 式可得 b 2 在小孔出口 發(fā)生縮頸效應(yīng) 設(shè)縮頸處的截面積為Ae 縮頸系數(shù) 小孔出流量 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 116 收縮系數(shù) 與孔口邊緣狀況有關(guān) 實際孔口出流應(yīng)乘上一速度修正系數(shù)k 1 上式中 k 稱為流量修正系數(shù) 由實驗測定 內(nèi)伸管 0 5 流線型圓弧邊 1 0 銳角邊 0 61 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 117 討論3 各種影響因素 由于粘性作用 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 大孔 取一條流線為準(zhǔn)定常流 然后積分 由于孔的形狀 孔壁的厚薄 速度系數(shù) 面積收縮系數(shù) 118 b 小孔出流的擴(kuò)展 虹吸管分析管最高點2處的壓力假設(shè) H恒定 1 2截面的壓力P1 2 Pa pgh 水流會變細(xì) 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 119 例 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 120 三 虹吸管 具有自由面的液體 通過一彎管使其繞過周圍較高的障礙物 容器壁 河堤等 然后流至低于自由液面的位置 這種用途的管子成為虹吸管 這類現(xiàn)象稱虹吸現(xiàn)象 右圖為一虹吸管的示意圖 該虹吸管從水槽中吸水 再從右下端出口流出 假定水槽很大 在虹吸過程中自由水面的下降速度為零 且不計流體的粘性 因此 該問題可用理想不可壓縮流體的一元定常流動模型來近似 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 121 分別選取水槽的自由水面 最高位置截面 出口截面為計算表面 位置高度基準(zhǔn)取在水槽自由面處 對1 3截面列伯努利方程得 對2 3截面列伯努利方程得 因此 因此 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 122 從虹吸管流速公式可知 引起虹吸管內(nèi)流動的能源來自于其出口與自由液面間的高度差 即由重力勢能轉(zhuǎn)換而來 因此 從理論上講 高度差L越大 則流速越大 從最高截面處壓力公式發(fā)現(xiàn) 其最高截面處壓強小于當(dāng)?shù)卮髿鈮?且其真空度等于 H L 可見 當(dāng)最高截面至自由液面的高度差H達(dá)到一定值時 最高截面處壓強已等于水流在該溫度下的飽和蒸汽壓 水將沸騰并產(chǎn)生大量蒸汽 破壞了流動的連續(xù)性 虹吸管不能正常工作 注意 液體中常溶解有氣體 當(dāng)壓強降低到一定程度時 此時壓強一般高于該狀態(tài)下的飽和蒸汽壓 氣體會釋放出來形成氣穴 在變截面管道流動 流速較高或位置較高的流動區(qū)域會發(fā)生類似現(xiàn)象 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 123 例 一個虹吸管 已知a 1 8m b 3 6m 水自池引至C端流入大氣 若不計損失 設(shè)大氣壓為10m水柱 求 1 管中流速及B點之絕對壓力 2 若B點絕對壓力下降到0 24m水柱以下時 將發(fā)生汽化 如C端保持不動 問欲不發(fā)生汽化 a不能超過多高 解 以C端及水面列出伯努利方程 水面處流速近似為零 出口端壓力近似為大氣壓 則立即有即 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 124 再對水面及B端實用伯努利方程 得為使B點不發(fā)生汽化 必須因此 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 125 Bernoulli方程的求解應(yīng)用 1分析是否滿足成立條件不可壓 重力場易滿足可以忽略粘性 加修正定常2選取一根流線定常時可以選跡線3確定流線上兩點高度 速度 壓力等兩點位置盡量選容易確定的 如出口 自由面等 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 126 伯努利方程是流體力學(xué)的基本方程之一 與連續(xù)性方程和流體靜力學(xué)方程聯(lián)立 可以全面地解決一維流動的流速 或流量 和壓強的計算問題 用這些方程求解一維流動問題時 應(yīng)注意下面幾點 1 弄清題意 看清已知什么 求解什么 是簡單的流動問題 還是既有流動問題又有流體靜力學(xué)問題 2 選好有效截面 選擇合適的有效截面 應(yīng)包括問題中所求的參數(shù) 同時使已知參數(shù)盡可能多 有效截面通常選在大容器的自由液面或者大氣出口截面 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 伯努利方程應(yīng)用時特別注意的幾個問題 127 3 選好基準(zhǔn)面 基準(zhǔn)面原則上可以選在任何位置 但選擇得當(dāng) 可使解題大大簡化 通常選在管軸線的水平面或自由液面 要注意的是 基準(zhǔn)面必須選為水平面 4 求解流量時 一般要結(jié)合一維流動的連續(xù)性方程求解 伯努利方程的p1和p2應(yīng)為同一度量單位 同為絕對壓強或者同為相對壓強 p1和p2的問題與靜力學(xué)中的處理完全相同 5 有效截面上的參數(shù) 如速度 位置高度和壓強應(yīng)為同一點的 絕對不許在式中取有效截面上 點的壓強 又取同一有效截面上另一點 的速度 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 128 例 有一貯水裝置如圖所示 貯水池足夠大 當(dāng)閥門關(guān)閉時 壓強計讀數(shù)為2 8個大氣壓強 而當(dāng)將閥門全開 水從管中流出時 壓強計讀數(shù)是0 6個大氣壓強 試求當(dāng)水管直徑d 12cm時 通過出口的體積流量 不計流動損失 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 129 解 當(dāng)閥門全開時列1 l 2 2截面的伯努利方程 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 當(dāng)閥門關(guān)閉時 根據(jù)壓強計的讀數(shù) 應(yīng)用流體靜力學(xué)基本方程求出 值 130 所以管內(nèi)流量 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 代入到伯努利方程 131 例 水流通過如圖所示管路流入大氣 已知 形測壓管中水銀柱高差 h 0 2m h1 0 72mH2O 管徑d1 0 1m 管嘴出口直徑d2 0 05m 不計管中水頭損失 試求管中流量qv 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 132 解 首先計算1 1斷面管路中心的壓強 因為A B為等壓面 列等壓面方程得 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 列1 1和2 2斷面的伯努利方程 133 由連續(xù)性方程 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 管中流量 將已知數(shù)據(jù)代入上式 得 134 其中 積分得通過總流兩過流斷面的總機(jī)械能之間的關(guān)系式為 在工程實際中要求我們解決的往往是總流流動問題 如流體在管道 渠道中的流動問題 因此還需要通過在過流斷面上積分把它推廣到總流上去 將伯努利方程各項同乘以 gdQ 則單位時間內(nèi)通過微元流束兩過流斷面的全部流體的機(jī)械能關(guān)系式為 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 總流上的伯努利方程 135 其中 1 它是單位時間內(nèi)通過總流過流斷面的流體位能和壓能的總和 在急變流斷面上 各點的不為常數(shù) 積分困難 在漸變流斷面上 流體動壓強近似地按靜壓強分布 各點的為常數(shù) 因此 若將過流斷面取在漸變流斷面上 則積分 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 136 2 它是單位時間內(nèi)通過總流過流斷面的流體動能的總和 由于過流斷面上的速度分布一般難以確定 工程上常用斷面平均速度來表示實際動能 即 式中為動能修正系數(shù) 工程計算中常取 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 137 將上述兩式代入原方程中 考慮到穩(wěn)定流動時 Q1 Q2 Q3 化簡后得 這就是理想流體總流的伯努利方程 式中 因此實際流體總流的伯努利方程為 實際流體有粘性 由于流層間內(nèi)摩擦阻力作功會消耗部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 138 實際流體總流的伯努利方程 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 139 總流伯努利方程的應(yīng)用 例題 一救火水龍帶 噴嘴和泵的相對位置如圖所示 泵出口壓力 A點壓力 為2個大氣壓 表壓 泵排出管斷面直徑為50mm 噴嘴出口C的直徑20mm 水龍帶的水頭損失設(shè)為0 5m 噴嘴水頭損失為0 1m 試求噴嘴出口流速 泵的排量及B點壓力 1 一般水力計算 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 140 解 取A C兩斷面寫能量方程 通過A點的水平面為基準(zhǔn)面 則 在大氣中 水的重度重力加速度 水柱 即 將各量代入能量方程后 得 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 141 解得噴嘴出口流速為 而泵的排量為 為計算B點壓力 取B C兩斷面計算 即 通過B點作水平面基準(zhǔn)面 則 代入方程得 解得壓力 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 142 2 節(jié)流式流量計 下面以文丘里管為例 推導(dǎo)流量計算公式 文丘利管是一種測量有壓管道中流體流量的儀器 它由光滑的收縮段 喉道和擴(kuò)散段三部分組成 如圖所示 當(dāng)管路中液體流經(jīng)節(jié)流裝置時 液流斷面收縮 在收縮斷面處流速增 壓力降低 使節(jié)流裝置前后產(chǎn)生壓差 基本原理 分類 孔板 噴嘴和圓錐式 文丘里管 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 圖文丘里流量計 143 取斷面1 1和2 2 計算點均取在管道上 基準(zhǔn)面0 0置于管道下方某一固定位置 并取 對1 1 2 2兩過流斷面列總流的伯努利方程有 由連續(xù)性方程可得 聯(lián)立上面二式可得 流體動力學(xué)基礎(chǔ) a 144 故通過流量計的體積流量為 考慮到流體粘性的影響 上式右端需乘以一個流量修正系數(shù) 則 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 一般地 z1 z2 b 145 A1 A2截面上為緩變流 壓強分布規(guī)律與U形管內(nèi)靜止流體一樣 可得 3 5 位于等壓面上 p3 p5 由壓強公式 及 c d 將上兩式代入 d 式可得 e 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 146 將 c e 式代入 a 式 整理后可得 f 可得大管的平均速度為 上式中 稱為流速系數(shù) 文丘里管的流量公式為 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 綜合利用伯努利方程 連續(xù)性方程和動量定理的例題 148 例 彎曲噴管受力分析 壓強合力的影響 已知 設(shè)固定的收縮管的前半部向下彎曲 偏轉(zhuǎn)角為 A0 0 00636m2 Q 0 02m3 s d0 9cm d3 2cm 出口端水噴入大氣 忽略重力作用 求 1 水流對噴管的作用力F的表達(dá)式 2 若 30 求水流對噴管的作用力 解 1 只包含水流的控制體 2 建立如圖所示坐標(biāo)系oxy 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 149 3 由一維不可壓縮流體連續(xù)性方程 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 4 由伯努利方程 因相對壓強p3 0 p0 395332 85pa 150 5 由一維定常流動動量方程 設(shè)水對噴管的作用力F如圖所示 本例中對控制體的合外力包括噴管對水流的反作用力 F和壓強合力 作用在控制面上的壓強用表壓強表示 本例中入口截面壓強為p0 方向沿x軸正向 出口截面壓強為零 1 F的表達(dá)式為 2 設(shè) 30 F在x y方向的分量式為 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 151 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 152 Bernoulli方程的擴(kuò)展 忽略重力作用勻速轉(zhuǎn)動下 水輪機(jī) 水泵和風(fēng)機(jī) 離心力有能量輸入 出粘性流體的伯努利方程 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 153 沿流束的水頭形式 常數(shù) 沿流線的不可壓縮流體不定常流歐拉運動方程 不定常伯努利方程 沿流線從位置1積分到位置2 沿流線 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 能量方程 EnergyEquation 155 能量方程的本質(zhì)是體系 系統(tǒng) 中的能量守恒定理 慣性參考系中 在控制體上的表現(xiàn) 由流體系統(tǒng)的能量守恒定理得 其中 了解 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 遵照熱力學(xué)第一定律 質(zhì)量體內(nèi)總能量的變化率等于單位時間內(nèi)外力對質(zhì)量體所做的功和由外界輸入質(zhì)量體內(nèi)的熱量之和 156 單位質(zhì)量流體所具有的能量 外界和系統(tǒng)間傳遞的熱量流率 向系統(tǒng)傳熱為正 外界與系統(tǒng)間做功功率 對系統(tǒng)做功為正 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 方程左端是流體的內(nèi)能 右端第一項是體積力做功 第二項是表面力做功 第三項是熱源 第四項是外界傳入的熱量 再加上其它外界功 具體到流體系統(tǒng)有 157 按雷諾輸運公式 把隨體導(dǎo)數(shù)寫出局部導(dǎo)數(shù) 為單位質(zhì)量流體儲存能 為外界輸入控制體的傳熱率 為控制體內(nèi)流體對外所做功率 控制體內(nèi)總能量的變化率 通過控制面流入的能量 外力所做的功 外界所傳導(dǎo)的熱量 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 158 外界做功和熱的交換用Q W來表示 能量方程的簡化 定常流動 理想無粘流體 表面力為正應(yīng)力 體積力只有重力 一維定常流形式 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 159 能量方程與伯努利方程的比較 單位質(zhì)量流體一維定常流動能量方程 有用功 比熱能率 比軸功率 比摩擦功率 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 不考慮外界熱量和做功 1 可壓縮流體絕熱流動 q 0 ws wv 0 忽略重力 160 能量方程與伯努利方程的比較 2 不可壓縮粘性流體 Ws Wv 0 水頭形式 稱為水頭損失 與粘性耗散有關(guān) 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 3 不可壓縮理想流體 伯努利方程 4 7角動量定理 MomentEquation 162 設(shè)為某參考點至流體速度矢量的作用點的矢徑 則用此矢量對動量方程兩端進(jìn)行矢性積運算 可得動量矩方程為 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 在一般力學(xué)中 一個物體單位時間內(nèi)對轉(zhuǎn)動軸的動量矩的變化 等于作用于此物體上所有外力對同一軸的力矩之和 這就是動量矩定理 163 等式左端是控制體上合外力對于坐標(biāo)原點的合力矩 等式右端第一項是控制體內(nèi)動量矩對時間的變化率 在定常流動時 第一項等于零 等式右端第二項是通過控制面流出與流入的流體動量矩之差 或通過控制面的凈動量矩 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 1 對定軸定常旋轉(zhuǎn)流場 外力矩僅考慮軸距Ts 動量矩方程為 164 歐拉渦輪機(jī)方程 轉(zhuǎn)子平面投影式 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 3 當(dāng)控制體固結(jié)于勻速旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子上時 忽略重力和表面力 動量矩方程為 式中為相對速度 向心加速度 柯氏加速度 165 現(xiàn)以定轉(zhuǎn)速的離心式水泵或風(fēng)機(jī)為例來推導(dǎo)葉輪機(jī)中的定常流動的動量矩方程 如圖所示 取葉輪出 入口的圓柱面與葉輪側(cè)壁之間的整個葉輪流動區(qū)域為控制體 1 入口 2 出口 牽連速度 流體在葉輪內(nèi)的相對速度 流體的絕對速度 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 166 假定葉輪葉片數(shù)目無限多 每個葉片的厚度均為無限薄 則流體在葉片間的相對速度必沿葉片型線的切線方向 于是將動量矩方程式用于葉輪機(jī)時 需用絕對速度代替質(zhì)點速度 由于定常運動 故得葉輪機(jī)中的定常流動的動量矩方程 由上圖中所示的速度三角形可以看出 因而動量矩可以寫成 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 167 因為葉輪機(jī)的角速度為 故葉輪機(jī)的功率 或單位重量流體所作的功為 這是泵與風(fēng)機(jī)的基本方程 它首先由歐拉在1754年得到 故又稱歐拉方程 對于渦輪類機(jī)械 如水輪機(jī)等 流體從葉輪外緣2流入內(nèi)緣1 基本方程為 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 168 例 混流式離心泵 固定控制體動量矩方程 已知 一小型混流離心泵如圖 d1 30mm d2 100mm b 10mm n 4000轉(zhuǎn) 分 vr2 3m s 求 1 輸入軸矩Ts 2 輸入軸功率 解 取包圍整個葉輪的固定控制體CV 忽略體積力和表面力 設(shè)流動是定常的 由連續(xù)性方程可得 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 169 V 1 0 由歐拉渦輪機(jī)方程 輸入功率為 葉輪旋轉(zhuǎn)角速度為 2 n 60 2 4000 60 418 88 1 s 出口切向速度為 V 2 R2 d2 2 418 88 0 1 2 20 94 m s 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 170 已知 灑水器示意圖 R 0 15m 噴口A 40mm2 30 Q 1200ml s 不計阻力 求 1 Ts 0時 旋轉(zhuǎn)角速度 1 s 例 灑水器 有多個一維出入口的動量矩方程 2 n 400轉(zhuǎn) 分的軸矩Ts和軸功率 解 取包圍整個灑水器的控制體CV 就整個控制體而言 從平均的意義上可認(rèn)為是定常的 對圓心取動量矩 當(dāng)?shù)刈兓蕿榱?流體動力學(xué)基礎(chǔ) 171 設(shè)噴口流體的絕對速度為V 牽連速度為U及相對速度為Vr 1 設(shè)Ts 0 V 1 0 由多出口動量矩方程 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 不同位置上的動量矩流量遷移項中的作用是相同的 作為具有兩個一維出口的定常流動處理 172 2 當(dāng)n 400轉(zhuǎn) 分時 400 2 60 41 89 1 s 0 3 41 89 0 15 15 cos30 1 2 1 21 N m 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 4 8微分形式的守恒方程 GoverningEquationindifferentialform 174 積分型方程 流動問題的總體性能關(guān)系 如合力 合力矩 總能量等 不需要考慮流場內(nèi)部細(xì)節(jié)微分型方程 流場的細(xì)節(jié) 即每一時刻 每一空間點上流動參數(shù)的分布 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 175 微分形式的動量方程 流體應(yīng)力場 1 一點的表面應(yīng)力矩陣 該矩陣是對稱矩陣 只有6個分量是獨立的 2 應(yīng)力矩陣的常用表達(dá)式 在運動粘性流體中壓強 壓強項 偏應(yīng)力項 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 176 作用在流體微團(tuán)上的力1 體積力設(shè)單位質(zhì)量上的體積力為fx fy fz則x方向總的體積力為 fxdxdydz2 表面力利用Taylor展開 x方向的受力為 流體動力學(xué)基礎(chǔ) 177 流入 流出流體微