若對于函數(shù)f(x)定義域內任意一個x都有f(-x)f(x)則稱f(x).ppt

函數(shù)的奇偶性與周期性 1 若對于函數(shù)f x 定義域內任意一個x 都有f x f x 則稱f x 為偶函數(shù) 一 函數(shù)的奇偶性 2 若對于函數(shù)f x 定義域內任意一個x 都有f x f x 則稱f x 為奇函數(shù) 二 簡單性質 研究半個區(qū)間 1 奇函數(shù)的圖象關于原點對稱 偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱 反之成立 2 單調性 3 奇函數(shù) f 0 0 0在定義域中 偶函數(shù) f x f x 3 若函數(shù)f x 不具有上述性質 則稱f x 不具有奇偶性 若函數(shù)同時具有上述兩條性質 則f x 既是奇函數(shù) 又是偶函數(shù) 例 函數(shù)f x 0 x D D關于原點對稱 是既奇又偶函數(shù) 三 函數(shù)奇偶性的判定方法 1 根據(jù)定義判定 首先看函數(shù)的定義域是否關于原點對稱 若不對稱 則函數(shù)是非奇非偶函數(shù) 若對稱 再判定f x f x 或f x f x 2 利用定理 借助函數(shù)的圖象判定 3 性質法判定 在公共定義域內 兩奇函數(shù)之積 商 為偶函數(shù) 兩偶函數(shù)之積 商 也為偶函數(shù) 一奇一偶函數(shù)之積 商 為奇函數(shù) 注意取商時分母不為零 四 函數(shù)的周期性 如果存在一個非零常數(shù)T 使得對于函數(shù)定義域內的任意x 都有f x T f x 則稱函數(shù)f x 為周期函數(shù) T為函數(shù)的一個周期 若f x 的周期中 存在一個最小的正數(shù) 則稱它為函數(shù)的最小正周期 五 典型例題 1 判斷下列函數(shù)的奇偶性 偶函數(shù) 奇函數(shù) 既奇又偶函數(shù) 非奇非偶函數(shù) 奇函數(shù) 偶函數(shù) 2 試將函數(shù)y 2x表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和 f 1 g 0 g 2 偶函數(shù) 奇函數(shù) f 4a x f x 5 已知定義在R上的函數(shù)y f x 滿足f 2 x f 2 x 且f x 是偶函數(shù) 當x 0 2 時 f x 2x 1 求x 4 0 時f x 的表達式 6 若對任意的x R 都有f a x f a x 且f b x f b x 其中b a 則f x 是以2 b a 為周期的周期函數(shù) 8 已知f x 是定義在R上的不恒為零的函數(shù) 且對于任意的a b R都滿足 f ab af b bf a 1 求f 0 f 1 的值 2 判斷f x 的奇偶性 并證明你的結論 9 已知f x 是定義在R上的函數(shù) 且對于任意的a b R都滿足 f a b f a b 2f a f b 且f 0 0 1 求證 f x 是偶函數(shù) 2 若存在正數(shù)m 使f m 0 求滿足f x T f x 的一個T T 0 的值 0 0 f 1 0 f b f b 奇函數(shù) 1 f 0 1 f b f b 2 考慮f a m f a 2m f a 4m 7 若對任意的x R 都有f x f 2a x 且f x f 2b x 2c 其中a b 則f x 是以4 a b 為周期的周期函數(shù) 課堂練習 D B C A 5 奇函數(shù)f x 在 3 7 上是增函數(shù) 在 3 6 上的最大值為8 最小值為 1 則2f 6 f 3 的值為 A 5B 5C 13D 15 6 奇函數(shù)f x 在 1 0 上是減函數(shù) 是銳角三角形的兩個內角 且 則下列不等式中正確的是 A f cos f cos B f sin f sin C f cos f cos D f sin f cos D D 7 已知f x 的圖象關于直線x a對稱 又關于點 m n 對稱 其中m a 求證f x 是以4 a m 為周期的周期函數(shù) 證 由已知 f x f 2a x 且f x f 2m x 2n f 4 a m x f 2a 4m 2a x f 4m 2a x f 2m 2a