高中數(shù)學（北師大版）必修五教案：11拓展資料：數(shù)列定義在解題中的潛在功能.doc

數(shù)列定義在解題中的潛在功能高考作為一種選拔性考試，在重視基礎知識考查的同時，更加重視對應用能力的考查.作為中學數(shù)學的重點內容之一，等差（比）數(shù)列一直是高考考查時重點，特別是近幾年，有關數(shù)列的高考綜合題，幾乎都與等差（比）數(shù)列有關.這里我們感興趣的是等差（比）數(shù)列的定義在解題中的潛在功能，即遇到數(shù)列問題，特別是證明通項為and或前n項和首先要證明它是等差（比）數(shù)列，必要時再進行適當轉化，即將一般數(shù)列轉化為等差（比）數(shù)列.例1.設等差數(shù)列的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為（ ）.（A）130 （B）170 （C）210 （D）260解 若等差數(shù)列前m項、次m項、又次m項和分別為S1，S2，S3，則S1，S2，S3也成等差數(shù)列.事實上，所以S1，S2，S3成等差數(shù)列.因為30，70，S3m100成等差數(shù)列，所以30+S3m100=140，即S3m=210.故應選（C）.例2.設an是等差數(shù)列，已知，求等差數(shù)列的通項公式.解 an成等差數(shù)列，bn成等比數(shù)列,=b1b3.由b1b2b3=,得b2=.從而有b1+b3= ,b1b3=.b1,b3是方程x2+兩根.解得或，a1=1,d=2或a1=3,d=2.故an=a1+(n1)d=2n3或an=52n.例3.一個數(shù)列an,當n為奇數(shù)時, an=5n+1;當n為偶數(shù)時,an=2,求這個數(shù)列的前2m項的和.解:a1,a3,a5,，a2m1成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，S2m=.例4.設數(shù)列前n項和Sn與an的關系是（其中k是與n無關的常數(shù)，且k1）.（1）試寫出由n,k表示的an的表達式；（2）若，求k的取值范圍.解：（1）當n=1時，由,得當n2時，由，得.若k=0，則an=1(n=1)或an=0(n2).若k0,則an是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.（2），1，解得k.例5.已知數(shù)列an的前n項和的公式是.（1）求證：an是等差數(shù)列，并求出它的首項和公差；（2）記，求證：對任意自然數(shù)n，都有.證明：（1）當n=1時，；當n2時，=.an是首項為，公差為的等差數(shù)列.（2）只要證明bn是首項為,公比為1的等比數(shù)列.，和bn是首項為，公比為1的等比數(shù)列，.例6.設an是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn，并且對于所有自然數(shù)n,an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項.（1）寫出數(shù)列an的前3項；（2）求數(shù)列an的通項公式（寫出推證過程）；（3）令，求解 （1），得0；，解得：0)；，解得：0).（2）當n2時，即，即.0,.an是首項為2，公差為4的等差數(shù)列，.（3），.例7.已知數(shù)列an滿足條件：0），且anan1是公比為q(q0)的等比數(shù)列.設.（1）求出使不等式成立的q的取值范圍；（2）求bn和，其中；（3）設，求數(shù)列的最大項和最小項的值.解： （1）0，q0,0,0q .（2）.又是首項為1+r，公比為q的等比數(shù)列，.（3）.記，則有c21.故cn的最大項為c21=2.25，最小項為c20=4.例8.設An為數(shù)列an前n項的和，數(shù)列bn的通項公式為（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）若，則稱d為數(shù)列an與bn的公共項.將數(shù)列an與bn的公共項，按它們在原數(shù)列中的先后順序排成一個新的數(shù)列dn，證明數(shù)列dn的通項是（3）設數(shù)列dn中的第n項是數(shù)列bn中的第r項，Br為數(shù)列bn前r項的和，Dn為數(shù)列dn前n項的和，Tn=BrDn，求解: （1）當n=1時，由,得a1=3;當n2時，由,得2)an是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，故（2）證dn是等比數(shù)列.顯然d1=a3=27,設ai=3