yyf§3.5 洛朗(Laurent)級(jí)數(shù)展開.ppt

1 3 4解析延拓 以幾何級(jí)數(shù)為例 對(duì)于 在的圓域b內(nèi) 等效于解析函數(shù) 在的區(qū)域 發(fā)散 除外 全平面解析 解析區(qū)域B 與在b上等同 但B含有b 2 解析延拓的唯一性 用不同方法延拓結(jié)果一樣 在b上解析 設(shè)用兩種方法延拓到B上 得函數(shù) 可證明 與必完全等同 所以 可盡量用簡(jiǎn)單 特殊的方法進(jìn)行延拓 3 3 5洛朗 Laurent 級(jí)數(shù)展開 已知 當(dāng)f z 在圓 z z0 R內(nèi)解析時(shí) Taylor定理告訴我們 f z 可展開成冪級(jí)數(shù) 考慮 當(dāng)f z 在圓 z z0 R內(nèi)有奇點(diǎn)時(shí) 能否展開成冪級(jí)數(shù)或展開成類似于冪級(jí)數(shù)的形式 問題的提出 為了研究函數(shù)在奇點(diǎn)附近的性質(zhì) 需要函數(shù)在孤立奇點(diǎn)z0鄰域上的展開式 4 負(fù)冪部分稱為主要 無限 部分 一 雙邊冪級(jí)數(shù) 含有正負(fù)項(xiàng) 5 收斂區(qū)域 環(huán) 的確定 收斂 圓 區(qū)域?yàn)?令 得 正則部分 負(fù)冪部分 6 設(shè) 由此 我們可以用它的正冪項(xiàng)級(jí)數(shù)和負(fù)冪項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性來定義原級(jí)數(shù)的斂散性 規(guī)定 當(dāng)且僅當(dāng)正冪項(xiàng)級(jí)數(shù)和負(fù)冪項(xiàng)級(jí)數(shù)都收斂時(shí) 原級(jí)數(shù)收斂 并且把原級(jí)數(shù)看成是正冪項(xiàng)級(jí)數(shù)與負(fù)冪項(xiàng)級(jí)數(shù)的和 7 R2 z z0 R1給出了雙邊冪級(jí)數(shù)的環(huán)狀收斂域 稱為收斂環(huán) 討論 1 若 則 1 式處處發(fā)散 2 若 則雙邊冪級(jí)數(shù)就在環(huán)狀域R2 z z0 R1內(nèi)收斂 雙邊冪級(jí)數(shù)在收斂環(huán)內(nèi)絕對(duì)且一致收斂 在環(huán)外發(fā)散 在環(huán)上斂散性不定 8 正則部分 主要部分 9 雙邊冪級(jí)數(shù)的性質(zhì) 定理1 雙邊冪級(jí)數(shù)在收斂環(huán)上的和函數(shù)是一解析函數(shù) 并且在任意較小的閉圓環(huán)上一致收斂 10 設(shè)雙邊冪級(jí)數(shù)的收斂環(huán)B為R2 z z0 R1 則 定理2 11 設(shè)函數(shù)f z 在環(huán)狀域R2 z z0 R1的內(nèi)部單值解析 則對(duì)于環(huán)內(nèi)任一點(diǎn)z f z 必可展開成 稱為洛朗系數(shù) c為環(huán)域內(nèi)按逆時(shí)針方向繞內(nèi)圓一周的任一閉合曲線 也可取圓周 其中 12 幾點(diǎn)說明 2 洛朗系數(shù) 3 洛朗展開的唯一性 13 若在z0不解析 不可微或無意義 而在去心鄰域內(nèi)解析 則稱z z0是的孤立奇點(diǎn) 若在z0無論多么小的鄰域內(nèi) 總有除z0外的奇點(diǎn) 則稱z0為的非孤立奇點(diǎn) 4 定義 14 在收斂圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)求導(dǎo) 在收斂圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)積分 在收斂圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)的和函數(shù)是解析函數(shù) 15 求洛朗展開式的系數(shù) 洛朗展開式的系數(shù)用公式計(jì)算是很麻煩的 由洛朗級(jí)數(shù)的唯一性 我們可用別的方法 特別是代數(shù)運(yùn)算 代換 求導(dǎo)和積分等方法展開 這樣往往更便利 即間接展開法 同一個(gè)函數(shù)在不同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅朗級(jí)數(shù)一般不同 由洛朗級(jí)數(shù)的唯一性可知 同一個(gè)函數(shù)在相同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)一定相同 16 舉例 例1 在z0 0的鄰域上把展開 17 若定義 實(shí)際上是對(duì)f z 的解析延拓 18 解 的奇點(diǎn)為 展開中心z0 0不是奇點(diǎn) z0 1是奇點(diǎn) 例2 將分別在區(qū)域 環(huán)域 以及z0 1的鄰域上展開為洛朗級(jí)數(shù) 1 若在上 只可展開為泰勒級(jí)數(shù) 19 無窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng) 2 20 3 展開中心z0 1 為奇點(diǎn) 第一項(xiàng)已經(jīng)是展開式的一項(xiàng) 對(duì)第二項(xiàng) z 1不是奇點(diǎn) z 1是奇點(diǎn) 可在上展開為泰勒級(jí)數(shù) 21 有限項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng) 22 23 24 無限多項(xiàng)正冪項(xiàng)