高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 三次函數(shù)的再探索-對(duì)稱中心問(wèn)題.doc

三次函數(shù)的再探索-對(duì)稱中心問(wèn)題 三次函數(shù)已經(jīng)成為中學(xué)階段一個(gè)重要的函數(shù)，在高考和一些重大考試中頻繁出現(xiàn)有關(guān)它的單獨(dú)命題，而為二次函數(shù)，利用來(lái)研究三次函數(shù)的單調(diào)性、極值等三次函數(shù)的性質(zhì)已成為常用工具，而三次函數(shù)的對(duì)稱中心（處），雖然不是高考的重點(diǎn)，但還是應(yīng)該引起我們的重視。一 三次函數(shù)必定存在對(duì)稱中心嗎？結(jié)論：三次函數(shù)肯定存在對(duì)稱中心。證明：假設(shè)三次函數(shù)的對(duì)稱中心為（M，N）。即證曲線上的任意一點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)必在曲線上。因?yàn)?對(duì)比 由（1）有代入 (3)有 即 說(shuō)明三次函數(shù)的對(duì)稱中心不僅存在，而且是曲線上的某一個(gè)點(diǎn)，即對(duì)稱中心為【例1】 求的對(duì)稱中心解：令為的對(duì)稱中心 為曲線上任意一點(diǎn)，則也在曲線上，即 整理得 對(duì)比 有 解得 所以，的對(duì)稱中心為二 三次函數(shù)對(duì)稱中心的幾何位置問(wèn)題一回答了三次函數(shù)圖象對(duì)稱中心的存在性，其實(shí)三次函數(shù)對(duì)稱中心在圖象上還有它的獨(dú)特位置。 （4）結(jié)論 是可導(dǎo)函數(shù)，若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則圖象關(guān)于直線對(duì)稱。證明：的圖象關(guān)于對(duì)稱，則 由 圖象關(guān)于直線對(duì)稱，說(shuō)明對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)恰為的對(duì)稱軸。 圖圖 對(duì)照上述證明和，兩圖，不難發(fā)現(xiàn)A，B兩處分別為的極大值，極小值處，而從A到B的曲線是單調(diào)遞減的，但注意到對(duì)稱中心C處兩側(cè)附近的曲線形式（凹凸性）發(fā)生變化，即C為的拐點(diǎn)，而C的橫坐標(biāo)是恰為的對(duì)稱軸。令，則，這樣由得，所以對(duì)稱中心也是A，B的中點(diǎn)。綜上所述：三次函數(shù)的對(duì)稱中心是必定存在的，就是圖象中的拐點(diǎn)處，橫坐標(biāo)就是的對(duì)稱軸。如果三次函數(shù)極值存在的話，對(duì)稱中心還是兩極值處的中點(diǎn)位置。換句話說(shuō)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)就是極值處的橫坐標(biāo)，即。 【例2】 求的極值和對(duì)稱中心 解： 令有 易求極大值處A，極小值處B 而的對(duì)稱軸， 所以 對(duì)稱中心 易發(fā)現(xiàn)對(duì)稱中心為A，B的中點(diǎn)三過(guò)三次函數(shù)對(duì)稱中心的切線條數(shù)結(jié)論：過(guò)三次函數(shù)對(duì)稱中心且與該三次曲線相切的直線有且只有一條；而過(guò)三次曲線上除對(duì)稱中心外的任一點(diǎn)與該三次曲線相切的直線有兩條。由于三次曲線都是中心對(duì)稱曲線，因此，為便于研究，將三次曲線的對(duì)稱中心移至坐標(biāo)原點(diǎn)，這樣便可將三次函數(shù)的解析式簡(jiǎn)化為。證明：若是三次曲線上的任一點(diǎn)，設(shè)過(guò)M的切線與曲線相切于，則切線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)M在此切線上，故，又，所以，整理得：，解得，或。由此可見，不僅切線與三次曲線的公共點(diǎn)可以多于一個(gè)，而且過(guò)三次曲線上點(diǎn)的切線也不一定唯一?！纠?】 已知曲線，求曲線在點(diǎn)處的切線方程解：， 曲線在點(diǎn)處的切線斜率為 代入直線方程的斜截式，得切線方程為 即變式：已知曲線，則曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程_。錯(cuò)解：依上題做法，直接填上答案錯(cuò)因分析：因?yàn)榍筮^(guò)曲線上某點(diǎn)的切線方程，不一定這點(diǎn)就是切點(diǎn)，這與圓的切線是有不同的。本題點(diǎn)在曲線上，所以求過(guò)點(diǎn)（2，4）的切線，點(diǎn)（2，4）可以是切點(diǎn)也可以不是。正確解法：設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，斜率為，切線方程為即點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得， 又 解得 或所以過(guò)（2，4）的切線方程為或 點(diǎn)評(píng)：“在點(diǎn)”處的切線方程和“過(guò)點(diǎn)”的切線方程是不同的。 四三次函數(shù)對(duì)稱中心在高考題中的表現(xiàn) 【例4】（2004高考，浙江，理（11）題）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能是（ ）解：根據(jù)圖象特征，不防設(shè)是三次函數(shù)，則的圖象給出了如下信息：導(dǎo)函數(shù)方程兩根是0，2（對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是1）在上；在或上由可排