陜西省漢中市陜飛二中高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三第三講 推理與證明課件.ppt

第三講推理與證明 1 合情推理 1 歸納推理 歸納推理是由某類事物的具有某些特征 推出該類事物的都具有這些特征的推理 或者由個(gè)別事實(shí)概括出的推理 歸納推理的思維過(guò)程如下 部分對(duì)象 全部對(duì)象 一般結(jié)論 2 類比推理 類比推理是由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征 推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理 類比推理的思維過(guò)程如下 2 演繹推理 三段論 是演繹推理的一般模式 包括 1 大前提 已知的一般原理 2 小前提 所研究的特殊情況 3 結(jié)論 根據(jù)一般原理 對(duì)特殊情況做出的判斷 3 直接證明 1 綜合法用p表示已知條件 已有的定義 定理 公理等 q表示所要證明的結(jié)論 則綜合法可用框圖表示為 2 分析法用q表示要證明的結(jié)論 則分析法可用框圖表示為 4 間接證明用反證法證明命題 若p則q 的過(guò)程可以用如圖所示的框圖表示 5 數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)命題的步驟為 1 證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立 2 假設(shè)n k k n0 k n 時(shí)命題成立 證明當(dāng)n k 1時(shí)命題也成立 3 得出結(jié)論 1 2011 江西 觀察下列各式 72 49 73 343 74 2401 則72011的末兩位數(shù)字為a 01b 43c 07d 49解析因?yàn)?1 7 72 49 73 343 74 2401 75 16807 76 117649 所以這些數(shù)的末兩位數(shù)字呈周期性出現(xiàn) 且周期t 4 又因?yàn)?011 4 502 3 所以72011的末兩位數(shù)字與73的末兩位數(shù)字相同 故選b 答案b 答案c 3 2011 陜西 觀察下列等式1 12 3 4 93 4 5 6 7 254 5 6 7 8 9 10 49 照此規(guī)律 第n個(gè)等式為 解析 1 12 2 3 4 9 32 3 4 5 6 7 25 52 第n個(gè)等式為n n 1 3n 2 2n 1 2 答案n n 1 3n 2 2n 1 2 4 2011 福建 設(shè)v是全體平面向量構(gòu)成的集合 若映射f v r滿足 對(duì)任意向量a x1 y1 v b x2 y2 v 以及任意 r 均有f a 1 b f a 1 f b 則稱映射f具有性質(zhì)p 現(xiàn)給出如下映射 f1 v r f1 m x y m x y v f2 v r f2 m x2 y m x y v f3 v r f3 m x y 1 m x y v 其中 具有性質(zhì)p的映射的序號(hào)為 寫(xiě)出所有具有性質(zhì)p的映射的序號(hào) 解析a x1 y1 b x2 y2 a 1 b x1 1 x2 y1 1 y2 對(duì)于 f1 m x y f a 1 b x1 1 x2 y1 1 y2 x1 y1 1 x2 y2 而 f a 1 f b x1 y1 1 x2 y2 f a 1 b f a 1 f b 具有性質(zhì)p 對(duì)于 f2 m x2 y 設(shè)a 0 0 b 1 2 a 1 b 1 2 1 f a 1 b 1 2 2 1 2 4 3 而 f a 1 f b 02 0 1 12 2 3 1 又 是任意實(shí)數(shù) f a 1 b f a 1 f b 故 不具有性質(zhì)p 對(duì)于 f3 m x y 1 f a 1 b x1 1 x2 y1 1 y2 1 x1 y1 1 x2 y2 1 又 f a 1 f b x1 y1 1 1 x2 y2 1 x1 y1 1 x2 y2 1 x1 y1 1 x2 y2 1 f a 1 b f a 1 f b 具有性質(zhì)p 綜上 具有性質(zhì)p的映射的序號(hào)為 答案 推理與證明是數(shù)學(xué)的基本思維過(guò)程 它有機(jī)地滲透到高中課程的各個(gè)章節(jié) 是高考考查的重點(diǎn)對(duì)象 特別是合情推理能力 高考對(duì)本部分的內(nèi)容 主要考查歸納和類比推理以及綜合法 分析法 反證法和數(shù)學(xué)歸納法等證明方法 考查考生的推理論證能力 所以在復(fù)習(xí)時(shí)要把合情推理作為復(fù)習(xí)的重點(diǎn) 并且要把各種證明方法的理論搞清楚 明白各種推理論證方法的基本原理和適用環(huán)境 在具體應(yīng)用中把推理論證方法的理論和實(shí)踐結(jié)合起來(lái) 隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展 人類通過(guò)計(jì)算機(jī)已找到了630萬(wàn)位的最大質(zhì)數(shù) 某同學(xué)在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)由41 43 47 53 61 71 83 97組成的數(shù)列中每一個(gè)數(shù)都是質(zhì)數(shù) 他根據(jù)這列數(shù)的一個(gè)通項(xiàng)公式 得出了數(shù)列的后幾項(xiàng) 發(fā)現(xiàn)它們也是質(zhì)數(shù) 于是他斷言 根據(jù)這個(gè)通項(xiàng)公式寫(xiě)出的數(shù)均為質(zhì)數(shù) 則這個(gè)通項(xiàng)公式為 該同學(xué)斷言是 的 填 正確 或者 錯(cuò)誤 合情推理 解析 根據(jù)題意知 通項(xiàng)公式an 41 2 4 6 2 n 1 n n 1 41 取n 41 得an 41 41 1681 顯然不是質(zhì)數(shù) 從而該同學(xué)斷言是錯(cuò)誤的 故填an n n 1 41 n n 錯(cuò)誤 答案 an n n 1 41 n n 錯(cuò)誤 歸納推理與類比推理之區(qū)別1 歸納推理是由部分到整體 由個(gè)別到一般的推理 在進(jìn)行歸納時(shí) 要先根據(jù)已知的部分個(gè)體 把它們適當(dāng)變形 找出它們之間的聯(lián)系 從而歸納出一般結(jié)論 2 類比推理是由特殊到特殊的推理 是兩類類似的對(duì)象之間的推理 其中一個(gè)對(duì)象具有某個(gè)性質(zhì) 則另一個(gè)對(duì)象也具有類似的性質(zhì) 在進(jìn)行類比時(shí) 要充分考慮已知對(duì)象性質(zhì)的推理過(guò)程 然后類比推導(dǎo)類比對(duì)象的性質(zhì) 1 1 對(duì)大于或等于2的自然數(shù)m和n m的n次方冪有如下分解方式 22 1 332 1 3 542 1 3 5 723 3 533 7 9 1143 13 15 17 19根據(jù)上述分解規(guī)律 則52 1 3 5 7 9 若m3 m n 的分解中最小的數(shù)是73 則m的值為 解析m3的分解中 最小的數(shù)為m2 m 1 由m2 m 1 73 得m 9 答案9 2011 陜西 敘述并證明余弦定理 解析 余弦定理 三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩倍 或 在 abc中 a b c分別為 a b c的對(duì)邊有a2 b2 c2 2bccosa b2 c2 a2 2cacosb c2 a2 b2 2abcosc 演繹推理 演繹推理是由一般到特殊的推理 數(shù)學(xué)的證明過(guò)程主要是通過(guò)演繹推理進(jìn)行的 只要采用的演繹推理的大前提 小前提和推理形式是正確的 其結(jié)論一定是正確的 但是 在解決類似的問(wèn)題時(shí) 一定要注意推理過(guò)程的正確性與完備性 2 2011 福建 在整數(shù)集z中 被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè) 類 記為 k 即 k 5n k n z k 0 1 2 3 4 給出如下四個(gè)結(jié)論 2011 1 3 3 z 0 1 2 3 4 整數(shù)a b屬于同一 類 的充要條件是 a b 0 其中 正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是a 1b 2c 3d 4 解析由于 k 5n k n z 對(duì)于 2011 5等于402余1 2011 1 對(duì)于 3 5 2 被5除應(yīng)余2 錯(cuò) 對(duì)于 任意一整數(shù)x 被5除余數(shù)為0 1 2 3 4 x 0 1 2 3 4 正確 對(duì)于 先證充分性 a b是同一類 可設(shè)a 5n1 k b 5n2 k 則a b 5 n1 n2 能被5整除余0 下面證明必要性 若a b 0 則可設(shè)a b 5n n z 即a 5n b n z 不妨令b 5m k m z 則a 5n 5m k 5 n m k n z m z a b屬于同一類 故 正確 則正確的有 答案c 直接證明與間接證明 解題切點(diǎn) 1 構(gòu)造新數(shù)列求an與bn 2 利用反證法證明 1 反證法是一種間接證明方法 如果正面證明有困難或者直接證明需要分多種情況而反面證明只有一種情況時(shí) 可以考慮用反證法證明 對(duì)于題目中出現(xiàn) 至多 至少 均是 不都是 等字眼時(shí) 從正面難以找到突破口 可轉(zhuǎn)換視角 用反證法往往立竿見(jiàn)影 2 綜合法與分析法是直接證明常用的兩種方法 常用分析法尋求解決問(wèn)題的突破口 然后用綜合法寫(xiě)出證明過(guò)程 3 大小不等的三個(gè)圓兩兩外切 半徑成等差數(shù)列 試證明以各圓圓心為頂點(diǎn)的三角形的三內(nèi)角不可能成等差數(shù)列 2011 開(kāi)封模擬 把所有正整數(shù)按上小下大 左小右大的原則排成如圖所示的數(shù)表 其中第i行共有2i 1個(gè)正整數(shù) 設(shè)aij i j n 表示位于這個(gè)數(shù)表中從上往下數(shù)第i行 從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù) 1 若aij 2010 求i和j的值 2 記an a11 a22 a33 ann n n 試比較an與n2 n的大小 并說(shuō)明理由 123456789101112131415 數(shù)學(xué)歸納法 解題切點(diǎn) 1 首先根據(jù)各行數(shù)字的個(gè)數(shù)推斷2010所在的行 然后推斷2010是這行中的第幾個(gè)數(shù) 2 ann 2n 1 n 1 求和后歸納an與n2 n的大小 解析 1 因?yàn)閿?shù)表中前i 1行共有1 2 22 2i 2 2i 1 1個(gè)數(shù) 則第i行的第一個(gè)數(shù)是2i 1 所以aij 2i 1 j 1 因?yàn)?10 2010 211 aij 2010 則i 1 10 即i 11 令210 j 1 2010 則j 2010 210 1 987 1 數(shù)學(xué)歸納法可證明一些與自然數(shù)n有關(guān)的命題 在證明時(shí) 要注意對(duì)命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化 一般是利用公式 把所要證明的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到已知或歸納假設(shè)上來(lái) 必要時(shí)轉(zhuǎn)化要證明的結(jié)論 2 在用數(shù)學(xué)歸納法證明的第2個(gè)步驟中 突出了兩個(gè)湊字 一 湊 假設(shè) 二 湊 結(jié)論 關(guān)鍵是明確n k 1時(shí)證明的目標(biāo) 充分考慮由n k到n k 1時(shí) 命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系 4 試比較nn