福建省建甌市高一數(shù)學(xué)《立體幾何中的角度問題》課件.ppt

立體幾何中的角度問題 空間的角的概念及其計(jì)算 是立體幾何的基本內(nèi)容 也是其重點(diǎn)和難點(diǎn) 求空間角的一般步驟是 空間中的角有 異面直線所成角 線面角 二面角 1 找出或作出有關(guān)的圖形 2 證明它符合定義 3 計(jì)算 即 要求先證 要證先作 空間角 一 異面直線所成的角 o 1 兩條異面直線所成的角 平移其中一條直線或者兩條直線 找出兩異面直線所成的角 然后解三角形 如果求出的是鈍角 則取其補(bǔ)角 先求兩條異面直線的方向向量所成的角 但如果求出的是鈍角 要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角 方法論壇 在正方體ac1中 求異面直線a1b和b1c所成的角 a1b和b1c所成的角為60 在邊長(zhǎng)為1的正方體ac1中 m n分別是a1a和b1b的中點(diǎn) 求異面直線cm和d1n所成的角的余弦 m n 1 斜線與平面所成的角 平面的一條斜線 和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影 所成的銳角 2 直線和平面所成的角 一找二證三求 三步都必須要清楚地寫出來 向量法 先求直線的方向向量與平面的法向量所成的角 令所要求的角為 則sin cos 若斜線段ab的長(zhǎng)度是它在平面 內(nèi)的射影長(zhǎng)的2倍 則ab與 所成的角為 60 正三棱錐p abc中 pa ab 1求側(cè)棱pa與底面abc所成的角 p a b c d 1 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所形成的圖形叫做二面角 這條直線叫做二面角的棱 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所形成的圖形叫做二面角 這條直線叫做二面角的棱 以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn) 在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線 這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角 3 平面與平面所成的角 一找二證三求 一找 找出這個(gè)二面角的平面角 二證 證明所找角即為二面角的平面角 三求 解三角形求角 向量法 先求兩個(gè)平面的法向量所成的角為 那么這兩個(gè)平面所成的二面角的平面角為 或 求正四面體的側(cè)面與底面所成的二面角的余弦 如圖 在長(zhǎng)方體ac1中 ad 2 dc 1 dd1 2 3 求二面角d1 ac d的大小 h 1 1 小結(jié) 1 正確掌握空間各種角的定義及取值范圍 1 異面直線所成角 的范圍 0 90 2 直線與平面所成的角 的范圍 0 90 3 二面角的平面角 的范圍通常認(rèn)為 0 180 注意 1 在求角時(shí) 若比較容易建立坐標(biāo)系 找出各點(diǎn)的坐標(biāo) 則用向量方法比較好 否則 用非向量方法比較簡(jiǎn)便 2 用非向量方法求角時(shí) 要做到 一找二證三求 在解題過程中一定要出現(xiàn)形如 就是所要求的角 的句子 例3 如圖 四棱錐p abcd的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形 側(cè)棱pd 底面abcd pd ad 找出二面角a pb c的平面角 a b c d p e 1 平移法 即根據(jù)定義 以 運(yùn)動(dòng) 的觀點(diǎn) 用 平移轉(zhuǎn)化 的方法 使之成為相交直線所成的角 具體地講是選擇 特殊點(diǎn) 作異面直線的平行線 構(gòu)作含異面直線所成 或其補(bǔ)角 的角的三角形 再求之 2 補(bǔ)形法 把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體 如正方體 平行六面體等 其目的在于易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關(guān)系 3 坐標(biāo)法 2 直線和平面所成的角 直線與平面平行或在平面內(nèi) 直線和平面所成的角的是0 斜線和平面所成的角是 斜線及斜線在平面上的射影所成的角 直線與平面垂直 直線和平面所成的角是90 通常是從斜線上找特殊點(diǎn) 作平面的垂線段 構(gòu)作含所求線面角的三角形求之 求斜線與平面所成的角 關(guān)鍵是找準(zhǔn)斜線段在平面內(nèi)的射影 例2 如圖 在三棱錐p abc中 ab bc ca pa 底面abc d為ab的中點(diǎn) 1 求證 cd pb 2 設(shè)pa ab 求二面角a pb c的正切值 1 垂線法 利用三垂線定理作出平面角 通過解直角三角形求角的大小 當(dāng)直線與平面垂直時(shí) 直線與平面所成的角是90 當(dāng)直線在平面內(nèi)或與平面平行時(shí) 直線與平面所成的角是0 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角 3 二面角 二面角的大小用它的平面角來度量 1 定義法 根據(jù)定義作出二面角的平面角 求二面角常用方法有 3 垂面法 作二面角棱的垂面 則垂面和二面角的兩個(gè)面的交線所成的角即是該二面角的平面角 2 用三垂線定理或其逆定理作出二面角的平面角 如圖 由三垂線定理 或逆定理 過二面角 a 的一個(gè)面 上一點(diǎn)p向另一個(gè)面作垂線pa 再由垂足a 或點(diǎn)p 向棱作垂線ab 或pb 連pb 或ab 則 pba就是二面角 a 的平面角 a p b a 二 斜線和平面所成的角 求直線與平面所成的角時(shí) 應(yīng)注