北京郵電大學2011級研究生課程概率論第三講.ppt

2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 1 一 測度及其性質(zhì) 定義1 2 1設(shè)A是由 的一些子集組成的非空集合類 若對每一個A A 有一實數(shù)或者 與之對應 為確定起見 下面假定只取 記為 A 且至少有一A A 使其取有限值 則稱 A 是定義在A上的集函數(shù) 有限可加集函數(shù) 可加集函數(shù)或廣義測度 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 2 一 測度及其性質(zhì) 若對每一A A A 都取有限值 則稱 為A上的有限集函數(shù) 則稱 為A上的 有限集函數(shù) 若對每一A A 存在一集合序列 An A 使 若A為集代數(shù) 則 An 還可以是兩兩不交的 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 3 若集函數(shù)為有限可加且只取非負值 則稱為有限可加測度 若集函數(shù)為 可加且只取非負值 則稱為測度 用 或 表示 具有性質(zhì) A且 1的測度 稱為概率測度或概率 用P表示 一 測度及其性質(zhì) 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 4 一 測度及其性質(zhì) 定理1 2 1設(shè) 為A上的集函數(shù)若 是有限可加或 可加的 且 A 則 0 2 若A為集代數(shù) 有限可加或 可加測度 或非負的 A B A 且A B 則 3 半可加性 A為集代數(shù) 是有限可加測度 Ai A 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 5 一 測度及其性質(zhì) 4 次可加性 A為集代數(shù) 是測度 Ai A 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 6 定義1 2 2設(shè) 是定義在集合類A上的集函數(shù) 若對A中任意滿足條件An 且 則稱 在A處下連續(xù) A的集合序列 An 有 一 測度及其性質(zhì) 若對A中任意滿足條件An 且至少存在一m使 則稱 在A處上連續(xù) 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 7 一 測度及其性質(zhì) 定理1 2 2設(shè) 是集代數(shù)A上的 可加集函數(shù) 或測度 則 有限可加且連續(xù) 即集代數(shù)上的測度是連續(xù)的 定理1 2 3設(shè) 是集代數(shù)A上的有限可加集函數(shù) 或有限可加測度 若 滿足下列條件之一 1 是下連續(xù)的 2 有限 且在 處連續(xù) 則 是 可加集函數(shù) 或測度 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 8 有了定義在集代數(shù)A上的測度 我們考慮如何產(chǎn)生測度 在 代數(shù) A 上的擴張 最后得到 測度擴張定理 首先必須明白什么叫 擴張 定義1 2 3A1 A2是 上的兩個非空集合類 且A1 A2 i是Ai的測度 i 1 2 若對 A A1 有 1 A 2 A 則稱 2是 1在A2上的擴張 1是 2在A1上的限制 二 測度的擴張定理 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 9 以下討論的前提是A是 上的集代數(shù) 是A上的測度 稱F 上的v 是由A上的v所引出的外測度 所有的A的覆蓋的測度和的下確界 即為A的外測度 注意 這里可列多個集合的并也包括有限個集合并的情況 外測度不見得是測度 1 F 上的外測度 A 對任意A F 定義 SA 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 10 下確界 對于給定的數(shù)集S x 若數(shù) 滿足條件 1 是S的下界 即對 x S 有 x 2 對任何大于 的數(shù) 一定存在S中某個數(shù)x0 使得x00 x0 S 使得x0 則稱 為數(shù)集S的下確界 記作 infS 例 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 11 引理1 2 1由集代數(shù)A上的測度 引出的F 上的外測度 滿足 下面討論外測度的性質(zhì) 證明 1 因A A 由外測度定義 有 A A 因此 只需證明 A A 不減性 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 12 綜上所述 A A 下面證明 A A 只需說明 A 為A的所有覆蓋的測度和的下界即可 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 13 即 外測度是單調(diào)上升的函數(shù) 即覆蓋B的集合序列一定覆蓋A 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 14 則結(jié)論顯然成立 由定義 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 15 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 16 為了把那些滿足可加性的集合挑選出來 我們引入 可測集的概念 并構(gòu)成一個新的集合類A 從下面的分析可以看到 該集合類A 不僅為 代數(shù) 而且 是A 上的測度 問題 外測度 在F 上未必滿足 可加性 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 17 2 可測集 證明 必要性顯然成立下面簡單說明充分性 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 18 由引理1 2 1 有 0由引理1 2 1 3 知外測度函數(shù) 具有次可加性 則在引理1 2 1 3 中取 我們記A 為所有 可測集組成的集合類 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 19 引理1 2 3A 滿足 1 A 是 代數(shù) 若集代數(shù)對可列不交并封閉則為 代數(shù) 證明 1 首先證明A 是集代數(shù)a 0 D 有 1 2 4 式的定義具有對稱性 A 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 20 則有 A B A 綜上所述知A 是集代數(shù) 1 2 5 c A B A 有 A B A 若A B A 則對 D 有 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 21 下面說明A 是 代數(shù) 只需證A 對可列不交并運算封閉 設(shè)An A n 1 2 AiAj i j 則 對D 有 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 22 令n 有 A 則A 是 代數(shù) 1 2 6 由前面結(jié)論 有 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 23 引理1 2 3A 滿足 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 24 由前面的結(jié)論 有 由 1 2 6 式 結(jié)論得證 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 25 3 欲證 是A 上的測度 只須說明 在A 上滿足 可加性 考慮到v 0 所以 A A 上 有 v A 0則v 是A 上的測度 整個引理的證明完畢 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 26 3 測度擴張定理 問題 A 是否是包含A的 代數(shù) 是A 上的測度 不降 滿足次可加性 對任意A F 定義 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 27 3 測度擴張定理 若A 是包含A的 代數(shù) 則 便是定義在A上的測度 在A 上的一個擴張 進一步地 這樣的擴張唯一嗎 為了保證唯一性 不必將 擴張到A 上 而只需擴張到 A 即可 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 28 定理1 2 4設(shè) 是 的集代數(shù)A上的測度 則 在 A 上存在一個擴張 如果 在A上是 有限的 則 在 A 上的擴張是唯一的 證明 顯然第一部分只需證 A A A A D 0 存在A中集序列An n 1 2 使得 這是因為若A A 則 A A 是A 上的測度 則是 A 上的測度 且對于是 是 在 A 上的擴張 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 29 由 是A上的測度 且 由 的任意性 則有 即 A A 則A A 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 30 1 首先證明 若 1 2是 在 A 上的任意兩個擴張 證明對 A A 及任意的正整數(shù)n 有 1 ADn 2 ADn 1 2 8 第二部分 唯一性A是集代數(shù) 是A上的 有限測度 則存在 2 再證明對 A A 有 1 A 2 A 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 31 1 對給定的n 令 A A A 1 ADn 2 ADn 下證 A 顯然A 且 A A A 因A為集代數(shù) 則 ADn A 必有 ADn 1 ADn 2 ADn 則A 若能證明 為單調(diào)類 則 A 另 A為集代數(shù) 則 A A 所以 A 即 A 結(jié)論得證 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 32 下面證明 為單調(diào)類 Ak Ak 則 1 AkDn 2 AkDn 2 Dn Dn k 1 2 根據(jù)測度的連續(xù)性 有 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 33 2 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 34 三 測度的完全化初等概率中我們遇到這樣的問題 考慮某一集合B A A 且P A 0 但B未必屬于A 即B未必是事件 未必有概率 即零測集的子集未必有概率 為了克服這個問題 必須將A上的測度完全化 定義1 2 4設(shè) 是 代數(shù)F 或集代數(shù)A 上的測度 如果A A A 0 B A 則B F 或A 因而必有 B 0 則稱 為F 或A 上的完全測度 以下介紹如何將 代數(shù)F上的測度 完全化 2020 2 8 北京郵電大學電子工程學院 35 定理1 2 5 測度的完全化 設(shè) 是 代數(shù)F上的測