2018北京各城區(qū)一模導數(shù).doc

2018一模導數(shù)（文理）朝陽理18已知函數(shù)（）當時，（）求曲線在點處的切線方程； （）求函數(shù)的單調區(qū)間；（）若，求證：18 (本小題滿分13分)（）當時，. . （）可得，又，所以在點（）處的切線方程為.（）在區(qū)間（）上，且，則. 在區(qū)間（）上，且，則. 所以的單調遞增區(qū)間為（），單調遞減區(qū)間為（）. （）由，等價于，等價于. 設，只須證成立. 因為， 由，得有異號兩根. 令其正根為，則. 在上，在上. 則的最小值為 . 又， 所以.則.因此，即.所以，所以. 朝陽文20.（本小題滿分13分）已知函數(shù).（）若，求曲線在點處的切線方程； （）若，求函數(shù)的單調區(qū)間；（）若，求證：.20. （本小題滿分13分）解：（）若，則，所以在點處的切線方程為 （），.令，則令，得（依題意）由，得；由，得所以，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增所以，因為，所以，所以，即所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為 （）由，等價于，等價于. 設，只須證成立. 因為， 由，得有異號兩根. 令其正根為，則. 在上，在上. 則的最小值為 . 又， 所以. 則.因此，即.所以 所以. 石景山理19已知，曲線在處的切線方程為.（）求的值；（）求在上的最大值；（）當時，判斷與交點的個數(shù).（只需寫出結論，不要求證明）19解：（）,由已知可得， 解之得 （）令 則, 故當時，在單調遞減； 當時，在單調遞增； 所以，故在單調遞增，所以 （）當時，與有兩個交點. 石景山文20（本小題共14分）設函數(shù)，（）當時，求函數(shù)的極小值；（）討論函數(shù)零點的個數(shù)；（）若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍20.（本小題14分）解：（）因為，所以當時，在上單調遞減； 當時，在上單調遞增；所以當時，取得極小值 （），令，得設，則所以當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減；所以的最大值為，又，可知：當時，函數(shù)沒有零點；當或時，函數(shù)有且僅有1個零點；當時，函數(shù)有2個零 （）原命題等價于恒成立.設，則等價于在上單調遞減即在上恒成立,所以恒成立，所以即的取值范圍是 東城理（19）已知函數(shù).（I）若曲線在處的切線斜率為0，求的值；（II）若恒成立，求的取值范圍；（III）證明：當時，曲線總在曲線的上方.（19）解：（I）函數(shù)的定義域為.因為，所以. 由得. （II）.當時，令得.時，；時，.在上單調遞減，在上單調遞增.所以當時，有最小值.“恒成立”等價于“最小值大于等于0”，即.因為，所以.當時，符合題意；當時，取，則，不符合題意.綜上，若對恒成立，則的取值范圍為. （III）當時，令，可求.因為，且在上單調遞增，所以在（0，）上存在唯一的，使得，即，且.當變化時，與在（0，）上的情況如下：0極小則當時，存在最小值,且.因為，所以.u所以當時，所以當時，曲線總在曲線的上方. . 14分東城文（20）已知函數(shù)，.（）當時，求曲線在點處的切線方程；（）當時，求在區(qū)間上的最大值和最小值；（）當時，若方程在區(qū)間上有唯一解，求的取值范圍.（20）解：（）當時，所以，.又因為，所以曲線在點處的切線方程為. （）當時，所以當時，所以.所以在區(qū)間上單調遞增因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為.（）當時，.設，因為，,所以.所以在區(qū)間上單調遞減因為，所以存在唯一的，使，即.所以在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減因為，又因為方程在區(qū)間上有唯一解，所以. 海淀理18. 已知函數(shù).（）當時，求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（）當時，若函數(shù)的最大值為，求的值.18.（）當時，, 令，得, 故的單調遞增區(qū)間為（）方法1： 令, 則 由， 故存在， 故當時，；當時，極大值 故 故，解得 故的值為.（）方法2：的最大值為的充要條件為對任意的，且存在，使得，等價于對任意的，且存在 ，使得， 等價于的最大值為.， 令，得.極大值故的最大值為，即.13分海淀文20已知函數(shù).（）當時，求曲線在處的切線方程；（）當時，判斷在上的單調性，并說明理由；（）當時，求證：，都有.20解：（）當時，,. 得 又, 所以曲線在處的切線方程為 （）方法1：因為，所以 因為，所以. 所以. 所以 當時， 所以在區(qū)間單調遞增. .8分方法2：因為，所以. 令，則 ， 隨x的變化情況如下表：x+極大值當時，.所以時，即，所以在區(qū)間單調遞增. （）方法1：由（）可知，當時，在區(qū)間單調遞增，所以時，. 當時，設，則 ， 隨x的變化情況如下表：x+極大值所以在上單調遞增，在上單調遞減 因為， 所以存在唯一的實數(shù)，使得， 且當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減. 又 ，,所以當時，對于任意的，. 綜上所述，當時，對任意的，均有. .13分方法2：由（）可知，當時，在區(qū)間單調遞增，所以時，. 當時， 由（）知，在上單調遞增，在上單調遞減，因為， 所以存在唯一的實數(shù)，使得， 且當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減. 又 ，,所以當時，對于任意的，. 綜上所述，當時，對任意的，均有. .13分西城理18已知函數(shù)，其中（）若曲線在處的切線與直線垂直，求的值；（）當時，證明：存在極小值18（本小題滿分13分）解：（）的導函數(shù)為 依題意，有 ， 解得 （）由及知，與同號令 ， 則 所以 對任意，有，故在單調遞增因為 ，所以 ，故 存在，使得 與在區(qū)間上的情況如下：極小值所以 在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增 所以 存在極小值 西城文20已知函數(shù)，其中（）若曲線在處的切線與直線垂直，求的值；（）記的導函數(shù)為當時，證明： 存在極小值點，且20解：（） 依題意，有 ，解得 （）由（）得 ， 所以 因為 ，所以與同號設 ，則 所以 對任意，有，故在單調遞增因為 ，所以 ，故存在，使得 與在區(qū)間上的情況如下：極小值所以 在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增 所以 若，存在，使得是的極小值點 令 ，得 ，所以 豐臺理（18）已知函數(shù)（）求函數(shù)在點處的切線方程；（）若函數(shù)在上有極值，求的取值范圍（18）（本小題共13分）解：函數(shù)的定義域為， （）因為， 所以曲線在點處的切線方程為，即 （）（）當時，對于任意，都有， 所以函數(shù)在上為增函數(shù)，沒有極值，不合題意 （）當時，令，則 所以在上單調遞增，即在上單調遞增， 所以函數(shù)在上有極值，等價于 所以 所以所以的取值范圍是 豐臺文（20）已知函數(shù)（）當時，求曲線在處的切線方程；（）若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調，求的取值范圍（20）（本小題共13分）解：函數(shù)的定義域為， 導函數(shù) （）當時，因為， 所以曲線在處的切線方