高中數(shù)學(xué)《2.2.2 反證法》課件1 新人教A版選修12.ppt

2 2 2反證法 課標(biāo)要求 1 了解反證法是間接證明的一種基本方法 2 理解反證法的思考過程 會用反證法證明數(shù)學(xué)問題 核心掃描 體會反證法的思考過程 特點 培養(yǎng)逆向思維的能力 重難點 自學(xué)導(dǎo)引1 反證法假設(shè)原命題 即在原命題的條件下 結(jié)論不成立 經(jīng)過正確的推理 最后得出矛盾 因此說明 從而證明了 這種證明方法叫做反證法 2 反證法常見矛盾類型反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾 這個矛盾可以是與已知條件矛盾 或與假設(shè)矛盾 或與定義 公理 定理 事實矛盾等 不成立 假設(shè)錯誤 原命題成立 想一想 有人說反證法就是通過證明逆否命題來證明原命題 這種說法對嗎 為什么 提示這種說法是錯誤的 反證法是先否定命題 然后再證明命題的否定是錯誤的 從而肯定原命題正確 不是通過逆否命題證題 命題的否定與原命題是對立的 原命題正確 其命題的否定一定不對 2 反證法證明數(shù)學(xué)命題的一般步驟第一步 分清命題 p q 的條件和結(jié)論 第二步 作出與命題結(jié)論q相矛盾的假定綈q 反設(shè) 第三步 由p和綈q出發(fā) 應(yīng)用正確的推理方法 推出矛盾結(jié)果 歸謬 第四步 斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因 在于開始所作的假定綈q不真 于是原結(jié)論q成立 從而間接地證明了命題p q為真 第三步中所說的矛盾結(jié)果 通常是指推出的結(jié)果與已知公理 已知定義 已知定理或已知條件矛盾 與臨時假定矛盾以及自相矛盾等各種情況 3 反證法常用的否定形式 規(guī)律方法對于含有 至多 至少 的命題適合用反證法 對于此類問題 需仔細(xì)體會 至少有一個 至多有一個 等字眼的含義 弄清結(jié)論的否定是什么 避免出現(xiàn)證明遺漏的錯誤 變式1 已知a b c d r 且a b c d 1 ac bd 1 求證 a b c d中至少有一個是負(fù)數(shù) 證明假設(shè)a b c d都是非負(fù)數(shù) a b c d 1 a b c d 1 又 a b c d ac bd ad bc ac bd ac bd 1 這與已知ac bd 1矛盾 a b c d中至少有一個是負(fù)數(shù) 題型二用反證法證明不存在 唯一性命題 例2 證明 對于直線l y kx 1 不存在這樣的實數(shù)k 使得l與雙曲線c 3x2 y2 1的交點a b關(guān)于直線y ax a為常數(shù) 對稱 思路探索 由于直接證明比較困難 但其反面相對來說較為容易 故采用反證法證明 規(guī)律方法證明 唯一性 問題的方法 唯一性 包含 有一個 和 除了這個沒有另外一個 兩層意思 證明后一層意思時 采用直接證法往往會相當(dāng)困難 因此一般情況下都采用間接證法 即用反證法 假設(shè) 有另外一個 推出矛盾 或同一法 假設(shè) 有另外一個 推出它就是 已知那一個 證明 而用反證法有時比用同一法更方便 變式2 求證方程2x 3有且只有一個根 證明 2x 3 x log23 這說明方程2x 3有根 下面用反證法證明方程2x 3的根是唯一的 假設(shè)方程2x 3至少有兩個根b1 b2 b1 b2 則2b1 3 2b2 3 兩式相除得2b1 b2 1 若b1 b2 0 則2b1 b2 1 這與2b1 b2 1相矛盾 若b1 b2 0 則2b1 b2 1 這也與2b1 b2 1相矛盾 b1 b2 0 則b1 b2 假設(shè)不成立 從而原命題得證 題后反思 1 當(dāng)結(jié)論中含有 不 不是 不可能 不存在 等詞語的命題 此類問題的反面比較具體 適于應(yīng)用反證法 例如證明異面直線 可以假設(shè)共面 再把假設(shè)作為已知條件推導(dǎo)出矛盾 2 反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理 即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件 且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證 否則 僅否定結(jié)論 不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理 就不是反證法 誤區(qū)警示不理解題意而致錯 示例 已知a b c是互不相等的非零實數(shù) 求證 三個方程ax2 2bx c 0 bx2 2cx a 0 cx2 2ax b 0至少有一個方程有兩個相異實根 錯解 假設(shè)三個方程都沒有兩個相異實根 則 1 4b2 4ac 0 2 4c2 4ab 0 3 4a2 4bc 0 相加有a2 2ab b2 b2 2bc c2 c2 2ac a2 0 即 a b 2 b c 2 c a 2 0 此不等式不能成立 所以假設(shè)不成立 即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根 上面解法的錯誤在于認(rèn)為 方程沒有兩個相異實根就有 0 事實上 方程沒有兩個相異實根時 0 正解 假設(shè)三個方程都沒有兩個相異實根 則 1 4b2 4ac 0 2 4c2 4ab 0 3 4a2 4bc 0 相加有a2 2ab b2 b2 2bc c2 c2 2ac a2 0 即 a b 2 b c 2 c a 2 0 由題意a b c互不相等 所以 式不能成立 所以假設(shè)不成立 即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根 用反證法證題要把握三點 1 必須先否定結(jié)論 對于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能 要逐一論證 缺少任何一種可能 證明都是不全面的 2 反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理 且必須根據(jù)這一