6.示范教案(1.4.1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象).doc

1.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.4.1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 研究函數(shù)的性質(zhì)常常以圖象直觀為基礎(chǔ),這點(diǎn)學(xué)生已經(jīng)有些經(jīng)驗(yàn),通過觀察函數(shù)的圖象,從圖象的特征獲得函數(shù)的性質(zhì)是一個基本方法,這也是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的教學(xué)也是如此.先研究它們的圖象,在此基礎(chǔ)上再利用圖象來研究它們的性質(zhì).顯然,加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合是深入研究函數(shù)性質(zhì)的基本要求. 由于三角函數(shù)是刻畫周期變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型,這也是三角函數(shù)不同于其他類型函數(shù)的最重要的地方,而且對于周期函數(shù),我們只要認(rèn)識清楚它在一個周期的區(qū)間上的性質(zhì),那么它的性質(zhì)也就完全清楚了,因此,教科書把對周期性的研究放在了首位.另外,教科書通過“旁白”,指出研究三角函數(shù)性質(zhì)“就是要研究這類函數(shù)具有的共同特點(diǎn)”,這是對數(shù)學(xué)思考方向的一種引導(dǎo). 由于正弦線、余弦線已經(jīng)從“形”的角度描述了三角函數(shù),因此利用單位圓中的三角函數(shù)線畫正弦函數(shù)圖象是一個自然的想法.當(dāng)然,我們還可以通過三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)值之間的內(nèi)在聯(lián)系性等來作圖,從畫出的圖形中觀察得出五個關(guān)鍵點(diǎn),得到“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡圖.三維目標(biāo)1.通過實(shí)驗(yàn)演示,讓學(xué)生經(jīng)歷圖象畫法的過程及方法,通過對圖象的感知,形成正弦曲線的初步認(rèn)識,進(jìn)而探索正弦曲線準(zhǔn)確的作法,養(yǎng)成善于發(fā)現(xiàn)、善于探究的良好習(xí)慣.學(xué)會遇到新問題時(shí)善于調(diào)動所學(xué)過的知識,較好地運(yùn)用新舊知識之間的聯(lián)系,提高分析問題、解決問題的能力.2.通過本節(jié)學(xué)習(xí),理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫法.借助圖象變換,了解函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.通過三角函數(shù)圖象的三種畫法:描點(diǎn)法、幾何法、五點(diǎn)法,體會用“五點(diǎn)法”作圖給我們學(xué)習(xí)帶來的好處,并會熟練地畫出一些較簡單的函數(shù)圖象.3.通過本節(jié)的學(xué)習(xí),讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)中的圖形美,體驗(yàn)善于動手操作、合作探究的學(xué)習(xí)方法帶來的成功愉悅.滲透由抽象到具體的思想,加深數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識,理解動與靜的辯證關(guān)系,樹立科學(xué)的辯證唯物主義觀.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象.教學(xué)難點(diǎn):將單位圓中的正弦線通過平移轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)圖象上的點(diǎn);正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象間的關(guān)系.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課 思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)遇到一個新的函數(shù),非常自然的是畫出它的圖象,觀察圖象的形狀,看看有什么特殊點(diǎn),并借助圖象研究它的性質(zhì),如:值域、單調(diào)性、奇偶性、最大值與最小值等.我們也很自然的想知道y=sinx與y=cosx的圖象是怎樣的呢?回憶我們在必修1中學(xué)過的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象是什么?是如何畫出它們圖象的(列表描點(diǎn)法:列表、描點(diǎn)、連線)?進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生通過取值,畫出當(dāng)x0,2時(shí),y=sinx的圖象. 思路2.(情境導(dǎo)入)請學(xué)生動手做一做章頭圖表示的“簡諧運(yùn)動”實(shí)驗(yàn).教師指導(dǎo)學(xué)生將塑料瓶底部扎一個小孔做成一個漏斗,再掛在架子上,就做成了一個簡易單擺.在漏斗下方放一塊紙板,板的中間畫一條直線作為坐標(biāo)系的橫軸.把漏斗灌上沙并拉離平衡位置,放手使它擺動,同時(shí)勻速拉動紙板,這樣就可在紙板上得到一條曲線,它就是簡諧運(yùn)動的圖象.物理中把簡諧運(yùn)動的圖象叫做“正弦曲線”或“余弦曲線”.它表示了漏斗對平衡位置的位移s(縱坐標(biāo))隨時(shí)間t(橫坐標(biāo))變化的情況.有了上述實(shí)驗(yàn),你對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象是否有了一個直觀的印象?畫函數(shù)的圖象,最基本的方法是我們以前熟知的列表描點(diǎn)法,但不夠精確.下面我們利用正弦線畫出比較精確的正弦函數(shù)圖象.推進(jìn)新課新知探究提出問題 問題:作正弦函數(shù)圖象的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是查三角函數(shù)表得到的數(shù)值,由于對一般角的三角函數(shù)值都是近似值,不易描出對應(yīng)點(diǎn)的精確位置.我們?nèi)绾蔚玫饺我饨堑娜呛瘮?shù)值并用線段長(或用有向線段數(shù)值)表示x角的三角函數(shù)值?怎樣得到函數(shù)圖象上點(diǎn)的兩個坐標(biāo)的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)呢?簡單地說,就是如何得到y(tǒng)=sinx,x0,2的精確圖象呢?問題:如何得到y(tǒng)=sinx,xR時(shí)的圖象? 活動:教師先讓學(xué)生閱讀教材、思考討論,對于程度較弱的學(xué)生,教師指導(dǎo)他們查閱課本上的正弦線.此處的難點(diǎn)在于為什么要用正弦線來作正弦函數(shù)的圖象,怎樣在x軸上標(biāo)橫坐標(biāo)?為什么將單位圓分成12份?學(xué)生思考探索仍不得要領(lǐng)時(shí),教師可進(jìn)行適時(shí)的點(diǎn)撥.只要解決了y=sinx,x0,2的圖象,就很容易得到y(tǒng)=sinx,xR時(shí)的圖象了. 對問題,第一步,可以想象把單位圓圓周剪開并12等分,再把x軸上從0到2這一段分成12等份.由于單位圓周長是2,這樣就解決了橫坐標(biāo)問題.過O1上的各分點(diǎn)作x軸的垂線,就可以得到對應(yīng)于0、2等角的正弦線,這樣就解決了縱坐標(biāo)問題(相當(dāng)于“列表”).第二步,把角x的正弦線向右平移,使它的起點(diǎn)與x軸上的點(diǎn)x重合,這就得到了函數(shù)對(x,y)(相當(dāng)于“描點(diǎn)”).第三步,再把這些正弦線的終點(diǎn)用平滑曲線連接起來,我們就得到函數(shù)y=sinx在0,2上的一段光滑曲線(相當(dāng)于“連線”).如圖1所示(這一過程用課件演示,讓學(xué)生仔細(xì)觀察怎樣平移和連線過程.然后讓學(xué)生動手作圖,形成對正弦函數(shù)圖象的感知).這是本節(jié)的難點(diǎn),教師要和學(xué)生共同探討.圖1 對問題,因?yàn)榻K邊相同的角有相同的三角函數(shù)值,所以函數(shù)y=sinx在x2k,2(k+1),kZ且k0上的圖象與函數(shù)y=sinx在x0,2上的圖象的形狀完全一致,只是位置不同.于是我們只要將函數(shù)y=sinx,x0,2的圖象向左、右平行移動(每次2個單位長度),就可以得到正弦函數(shù)y=sinx,xR的圖象.(這一過程用課件處理,讓同學(xué)們仔細(xì)觀察整個圖的形成過程,感知周期性)圖2討論結(jié)果:利用正弦線,通過等分單位圓及平移即可得到y(tǒng)=sinx,x0,2的圖象.左、右平移,每次2個長度單位即可.提出問題 如何畫出余弦函數(shù)y=cosx,xR的圖象?你能從正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的關(guān)系出發(fā),利用正弦函數(shù)圖象得到余弦函數(shù)圖象嗎? 活動:如果再用余弦線作余弦函數(shù)的圖象那太麻煩了,根據(jù)已學(xué)的知識,教師引導(dǎo)學(xué)生觀察誘導(dǎo)公式,思考探究兩個函數(shù)之間的關(guān)系,通過怎樣的坐標(biāo)變換可得到余弦函數(shù)圖象?讓學(xué)生從函數(shù)解析式之間的關(guān)系思考,進(jìn)而學(xué)習(xí)通過圖象變換畫余弦函數(shù)圖象的方法.讓學(xué)生動手做一做,體會正弦函數(shù)圖象與余弦函數(shù)圖象的異同,感知兩個函數(shù)的整體形狀,為下一步學(xué)習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)打下基礎(chǔ).討論結(jié)果:把正弦函數(shù)y=sinx,xR的圖象向左平移個單位長度即可得到余弦函數(shù)圖象.如圖3.圖3正弦函數(shù)y=sinx,xR的圖象和余弦函數(shù)y=cosx,xR的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線點(diǎn).提出問題 問題:以上方法作圖,雖然精確,但不太實(shí)用,自然我們想尋求快捷地畫出正弦函數(shù)圖象的方法.你認(rèn)為哪些點(diǎn)是關(guān)鍵性的點(diǎn)?問題:你能確定余弦函數(shù)圖象的關(guān)鍵點(diǎn),并作出它在0,2上的圖象嗎? 活動:對問題,教師可引導(dǎo)學(xué)生從圖象的整體入手觀察正弦函數(shù)的圖象,發(fā)現(xiàn)在0,2上有五個點(diǎn)起關(guān)鍵作用,只要描出這五個點(diǎn)后,函數(shù)y=sinx在0,2上的圖象的形狀就基本上確定了.這五點(diǎn)如下:(0,0),(,1),(,0),(,-1),(2,0). 因此,在精確度要求不太高時(shí),我們常常先找出這五個關(guān)鍵點(diǎn),然后用光滑的曲線將它們連接起來,就可快速得到函數(shù)的簡圖.這種近似的“五點(diǎn)(畫圖)法”是非常實(shí)用的,要求熟練掌握.對問題,引導(dǎo)學(xué)生通過類比,很容易確定在0,2上起關(guān)鍵作用的五個點(diǎn),并指導(dǎo)學(xué)生通過描這五個點(diǎn)作出在0,2上的圖象.討論結(jié)果:略.關(guān)鍵點(diǎn)也有五個,它們是:(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).應(yīng)用示例思路1例1 畫出下列函數(shù)的簡圖(1)y=1+sinx,x0,2;(2)y=-cosx,x0,2. 活動:本例的目的是讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下會用“五點(diǎn)法”畫圖,并通過獨(dú)立完成課后練習(xí)1領(lǐng)悟畫正弦、余弦函數(shù)圖象的要領(lǐng),最終達(dá)到熟練掌握.從實(shí)際教學(xué)來看,“五點(diǎn)法”畫圖易學(xué)卻難掌握,學(xué)生需練好扎實(shí)的基本功.可先讓學(xué)生按“列表、描點(diǎn)、連線”三步來完成.對學(xué)生出現(xiàn)的種種失誤,教師不要著急,在學(xué)生操作中指導(dǎo)一一糾正,這對以后學(xué)習(xí)大有好處.解:(1)按五個關(guān)鍵點(diǎn)列表:x02sinx010-101+sinx12101描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來(圖4).圖4(2)按五個關(guān)鍵點(diǎn)列表:x02cosx10-101-cosx-1010-1描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來(圖5).圖5 點(diǎn)評:“五點(diǎn)法”是畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)簡圖的基本方法,本例是最簡單的變化.本例的目的是讓學(xué)生熟悉“五點(diǎn)法”.如果是多媒體教學(xué),要突破課件教學(xué)的互動性,多留給學(xué)生一些動手操作的時(shí)間,或者增加圖象糾錯的環(huán)節(jié),效果將會令人滿意,切不可教師畫圖學(xué)生看.完成本例后,讓學(xué)生閱讀本例下面的“思考”,并回答如何通過圖象變換得出要畫的圖象,讓學(xué)生從另一個角度熟悉函數(shù)作圖的方法.變式訓(xùn)練 2007山東臨沂一摸統(tǒng)考17(1)在給定的直角坐標(biāo)系如圖6中,作出函數(shù)f(x)=cos(2x+)在區(qū)間0,上的圖象.解:列表取點(diǎn)如下:x02f(x)1001描點(diǎn)連線作出函數(shù)f(x)=cos(2x+)在區(qū)間0,上的圖象如圖7所示. 圖6 圖7思路2例1 畫出函數(shù)y=|sinx|,xR的簡圖. 活動:教師引導(dǎo)學(xué)生觀察探究y=sinx的圖象并思考sinx的意義,發(fā)現(xiàn)只要將其x軸下方的圖象翻上去即可.進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn),只要畫出y=|sinx|,x0,的圖象,然后左、右平移(每次個單位)就可以得到y(tǒng)=|sinx|,xR的圖象.讓學(xué)生嘗試尋找在0,上哪些點(diǎn)起關(guān)鍵作用,易看出起關(guān)鍵作用的點(diǎn)有三個:(0,0),(,1),(,0).然后列表、描點(diǎn)、連線,讓學(xué)生自己獨(dú)立操作完成,對其失誤的地方再予以一一糾正.解:按三個關(guān)鍵點(diǎn)列表:x0sinx010y=sinx010描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來(圖8).圖8 點(diǎn)評:通過本例,讓學(xué)生更深刻地理解正弦曲線及“五點(diǎn)法”畫圖的要義,并進(jìn)一步從圖象變換的角度認(rèn)識函數(shù)之間的關(guān)系,也為下一步將要學(xué)習(xí)的周期打下伏筆.變式訓(xùn)練1.方程sinx=的根的個數(shù)為( )A.7 B.8 C.9 D.10解:這是一個超越方程,無法直接求解,可引導(dǎo)學(xué)生考慮數(shù)形結(jié)合的思想方法,將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=的圖象與y=sinx的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題,借助圖形直觀求解.解好本題的關(guān)鍵是正確地畫出正弦函數(shù)的圖象.如 圖9,從圖中可看出,兩個圖象有7個交點(diǎn).圖9答案:A2.用五點(diǎn)法作函數(shù)y=2sin2x的圖象時(shí),首先應(yīng)描出的五點(diǎn)橫坐標(biāo)可以是( )A.0,2 B.0,C.0,2,3,4 D.0,答案:B知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)解答:1.可以用單位圓中的三角函數(shù)線作出它們的圖象,也可以用“五點(diǎn)法”作出它們的圖象,還可以用圖形計(jì)算器或計(jì)算機(jī)直接作出它們的圖象.兩條曲線形狀相同,位置不同,例如函數(shù)y=sinx,x0,2的圖象,可以通過將函數(shù)y=cosx,x,的圖象向右平行移動個單位長度而得到(圖10).圖10 點(diǎn)評:在同一個直角坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)圖象,利于對它們進(jìn)行對比,可以加強(qiáng)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的聯(lián)系.通過多種方法畫圖,滲透數(shù)形結(jié)合思想,強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的認(rèn)識.2.兩個函數(shù)的圖象相同. 點(diǎn)評:先用“五點(diǎn)法”畫出余弦函數(shù)的圖象,再通過對比函數(shù)解析式發(fā)現(xiàn)另一函數(shù)的圖象的變化規(guī)律,最后變換余弦曲線得到另一函數(shù)的圖象(圖11).圖11課堂小結(jié)以提問的方式,先由學(xué)生反思學(xué)習(xí)內(nèi)容并回答,教師再作補(bǔ)充完善.1.怎樣利用“周而復(fù)始”的特點(diǎn),把區(qū)間0,2上的圖象擴(kuò)展到整個定義域的?2.如何利用圖象變換從正弦曲線得到余弦曲線?這節(jié)課學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫法.除了它們共同的代數(shù)描點(diǎn)法、幾何描點(diǎn)法之外,余弦函數(shù)圖象還可由平移交換法得到.“五點(diǎn)法”作圖是比較方便、實(shí)用的方法,應(yīng)熟練掌握.數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)動變化觀點(diǎn)都是學(xué)習(xí)本課內(nèi)容的重要思想方法.作業(yè)1.課本習(xí)題1.4 A組1.2.預(yù)習(xí)下一節(jié):正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì).設(shè)計(jì)感想1.本節(jié)課操作性強(qiáng),學(xué)生活動量較大.新課從實(shí)驗(yàn)演示入手,形成圖象的感知后,升級問題,探索正弦曲線準(zhǔn)確的作法,形成理性認(rèn)識.問題設(shè)置層層深入,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題,解決問