2019_2020學年高中數(shù)學第一章分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理及其簡單應用講義新人教A版.docx

11.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理及其簡單應用知識點分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有Nmn 種不同的方法推廣：如果完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法知識點分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有Nmn種不同的方法推廣：如果完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法使用兩個原理解題的本質(zhì)1判一判(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同()(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事()(3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的()(4)在分步乘法計數(shù)原理中，事情若是分兩步完成的，那么其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有兩個步驟都完成后，這件事情才算完成()答案(1)(2)(3)(4)2做一做(1)從10名任課教師，54名同學中，選1人參加元旦文藝演出，共有_種不同的選法(2)一個袋子里放有6個球，另一個袋子里放有8個球，每個球各不相同，從兩個袋子里各取一個球，共有_種不同的取法(3)從3名女同學和2名男同學中選1人主持本班的某次主題班會，則不同的選法有_種答案(1)64(2)48(3)5解析(1)分類完成此事，一類是選教師，有10種選法；另一類是選學生，有54種選法由分類加法計數(shù)原理可知，共有105464種選法(2)由分步乘法計數(shù)原理得不同取法的種數(shù)為6848.(3)分類完成此事，如果選女生，有3種選法；如果選男生，有2種選法由分類加法計數(shù)原理可知，共有325種選法探究分類加法計數(shù)原理的應用例1有三個袋子，分別裝有不同編號的紅色小球6個，白色小球5個，黃色小球4個若從三個袋子中任取1個小球，有多少種不同的取法？解有3類不同方案：第1類，從第1個袋子中任取1個紅色小球，有6種不同的取法；第2類，從第2個袋子中任取1個白色小球，有5種不同的取法；第3類，從第3個袋子中任取1個黃色小球，有4種不同的取法其中，從這三個袋子的任意一個袋子中取1個小球都能獨立地完成“任取1個小球”這件事，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同的取法共有65415(種)拓展提升(1)應用分類加法計數(shù)原理時，完成這件事的n類方法是相互獨立的，無論哪種方案中的哪種方法，都可以獨立完成這件事(2)利用分類加法計數(shù)原理解題的一般思路高二(1)班有學生50人，男生30人；高二(2)班有學生60人，女生30人；高二(3)班有學生55人，男生35人(1)從中選一名學生任學生會主席，有多少種不同選法？(2)從高二(1)班、(2)班男生中或從高二(3)班女生中選一名學生任學生會體育部長，有多少種不同的選法？解(1)選一名學生有3類不同的選法：第一類，從高二(1)班選一名，有50種不同的方法；第二類，從高二(2)班選一名，有60種不同的方法；第三類，從高二(3)班選一名，有55種不同的方法故任選一名學生任學生會主席的選法共有506055165種不同的方法(2)選一名學生任學生會體育部長有3類不同的選法；第一類，從高二(1)班男生中選有30種不同的方法；第二類，從高二(2)班男生中選有30種不同的方法；第三類，從高二(3)班女生中選有20種不同的方法故選一名學生任學生會體育部長有30302080種不同選法探究分步乘法計數(shù)原理的應用例2已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)表示平面上的點(a，bM)，問：(1)P(a，b)可表示平面上多少個不同的點？(2)P(a，b)可表示平面上多少個第二象限的點？(3)P(a，b)可表示多少個不在直線yx上的點？解(1)確定平面上的點P(a，b)可分兩步完成：第一步確定a的值，共有6種方法；第二步確定b的值，也有6種方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得到P(a，b)可表示平面上6636個不同的點(2)確定第二象限的點，可分兩步完成：第一步確定a，因為a0，所以有2種確定方法由分步乘法計數(shù)原理，得到P(a，b)可表示平面上326個第二象限的點. (3)分兩步：第一步確定a，有6種方法；第二步確定b，有5種方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不在直線yx上的點共有6530(個)拓展提升本例運用了分步乘法計數(shù)原理利用此原理解決問題時要注意：(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的；(2)各個步驟中的方法互相依存，缺一不可，只有各個步驟都完成了才算完成這件事書架的第一層放有6本不同的數(shù)學書，第二層放有6本不同的語文書，第三層放有5本不同的英語書(1)從這些書中任取一本數(shù)學、一本語文和一本英語共三本書的不同取法有多少種？(2)從這些書中任取三本，并且在書架上按次序排好，有多少種不同的排法？解(1)完成這個工作可分三個步驟：第1步，從第一層中任取一本數(shù)學書；第2步，從第二層中任取一本語文書；第3步，從第三層中任取一本英語書根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有665180種不同的取法(2)本題實際上是從17本書中任取三本放在三個不同位置完成這個工作分三個步驟：第1步，從17本書中任取一本放在第一個位置上，共有17種不同的方法；第2步，從16本書中任取一本放在第二個位置上，共有16種不同的方法；第3步，從15本書中任取一本放在第三個位置上，共有15種不同的方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有1716154080種不同的排法探究兩個計數(shù)原理的辨析例3某校高中三年級一班有優(yōu)秀團員8人，二班有優(yōu)秀團員10人，三班有優(yōu)秀團員6人，學校組織他們?nèi)⒂^某愛國主義教育基地(1)推選1人為總負責人，有多少種不同的選法？(2)每班選1人為小組長，有多少種不同的選法？(3)從他們中選出2個人管理生活，要求這2個人不同班，有多少種不同的選法？解(1)分三類：第一類是從一班的8名優(yōu)秀團員中產(chǎn)生，共有8種不同的選法；第二類是從二班的10名優(yōu)秀團員中產(chǎn)生，共有10種不同的選法；第三類是從三班的6名優(yōu)秀團員中產(chǎn)生，共6種不同的選法，由分類加法計數(shù)原理可得，共有N810624種不同的選法(2)分三步：第一步是從一班的8名優(yōu)秀團員中選1名組長，共有8種不同的選法；第二步是從二班的10名優(yōu)秀團員中選1名組員，共10種不同的選法；第三步是從三班的6名優(yōu)秀團員中產(chǎn)生，共6種不同的選法，由分步乘法計數(shù)原理可得：共有N8106480種不同的選法(3)分三類：每一類又分兩步，第一類是從一班、二班的優(yōu)秀團員中各選1人，有810種不同的選法；第二類是從二班、三班的優(yōu)秀團員中各選1人，有106種不同的選法，第三類是從一班、三班的優(yōu)秀團員中各選1人，有86種不同的選法，因此，共有N81010686188種不同的選法拓展提升(1)運用兩個原理的關(guān)鍵在于正確區(qū)分“分類”與“分步”，分類就是能“一步到位”，即任何一類中任何一種方法，都能完成這件事；而分步只能是“局部到位”，即任何一步中任何一種方法只能完成事件中的某一部分(2)在既有分類又有分步的題型中，一般先分類，然后在每一類中再分步有一項活動，需在3名老師、8名男同學和5名女同學中選部分人員參加(1)若只需一人參加，有多少種不同的選法？(2)若需老師、男同學、女同學各一人參加，有多少種不同的選法？(3)若需一名老師、一名同學參加，有多少種不同的選法？解(1)有三類：3名老師中選一人，有3種方法；8名男同學中選一人，有8種方法；5名女同學中選一人，有5種方法由分類加法計數(shù)原理知，有38516種選法(2)分三步：第1步選老師，有3種方法；第2步選男同學，有8種方法；第3步選女同學，有5種方法由分步乘法計數(shù)原理知，共有385120種選法(3)可分兩類，每一類又分兩步第1類，選一名老師再選一名男同學，有3824種選法；第2類，選一名老師再選一名女同學，有3515種選法由分類加法計數(shù)原理知，共有241539種選法或分兩步：第一步選老師，有3種方法；第二步選同學，有8513種方法由分步乘法計數(shù)原理知，共有31339種選法1甲、乙兩個班級分別有29名、30名學生，從兩個班中選一名學生，則 ()A有29種不同的選法B有30種不同的選法C有59種不同的選法D有2930種不同的選法答案C解析分兩類：第一類從甲班選有29種方法，第二類從乙班選有30種方法由分類加法計數(shù)原理得共有293059種不同方法故選C.2若5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中一個小組，則不同的報名方法共有()A10種 B20種 C25種 D32種答案D解析5位同學依次報名，每人均有2種不同的選擇，所以共有2222232種報名方法3如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A24 B18 C12 D9答案B解析由題意可知，EF有6種走法，F(xiàn)G有3種走法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有6318種走法4從集合0,1,2,3,4,5,6中任取兩個互不相等的數(shù)a，b組成復數(shù)abi，其中虛數(shù)有()A30個 B42個 C36個 D35個答案C解析abi為虛數(shù)，b0，完成這件事，分兩步進行，第一步確定b，有6種不同的方法，第二步確定a，由于ab，但a可以為0，故有6種不同的方法，故共有虛數(shù)6636個5某公園休息處東面有8個空閑的凳子，西面有6個空閑的凳子，小明與爸爸來這里休息(1)若小明爸爸任選一個凳子坐下(小明不坐)，有幾種坐法？(2)若小明與爸爸分別就坐，有多少種坐法？解(1)小明爸爸