Matlab在線性代數(shù)中的應(yīng)用.ppt

Matlab在線性代數(shù)中的應(yīng)用 目標(biāo)要求 會(huì)給矩陣賦值會(huì)進(jìn)行矩陣的基本運(yùn)算 包括 加 減 數(shù)乘 乘法 轉(zhuǎn)置 冪等運(yùn)算會(huì)用命令inv計(jì)算矩陣的逆會(huì)用命令det計(jì)算行列式 會(huì)用命令rank計(jì)算矩陣的秩 會(huì)用命令rref把矩陣變?yōu)樾凶詈?jiǎn)型 會(huì)用命令rref計(jì)算矩陣的逆會(huì)用命令rref解方程組的解會(huì)用命令rref找出向量組的最大無關(guān)組會(huì)用命令null計(jì)算齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系會(huì)用左除運(yùn)算計(jì)算非齊次方程組的特解會(huì)用命令orth把向量組正交規(guī)范化會(huì)用命令eig計(jì)算矩陣的特征值和特征向量會(huì)用命令eig把二次型標(biāo)準(zhǔn)化會(huì)用命令eig判斷二次型的正定性 1矩陣賦值 賦值語句一般形式變量 表達(dá)式 或數(shù) 如 輸入a 123 456 789 顯示a 123456789輸入x 1 2sqrt 3 1 2 3 5 4 顯示x 1 20001 73214 8000規(guī)則 矩陣元素放在方括號(hào)中 元素之間以空格或逗號(hào)分隔 不同行以分號(hào)分隔 語句結(jié)尾用回車或逗號(hào)將顯示結(jié)果 基本賦值矩陣ones m n zero m n magic n eye n rand m n round A 如 輸入f1 ones 3 2 顯示f1 111111輸入f2 zero 2 3 顯示f2 000000 1矩陣賦值 輸入f3 magic 3 顯示f3 816357492輸入f4 eye 2 顯示f4 1001 2矩陣的基本運(yùn)算 矩陣算術(shù)運(yùn)算書寫格式與普通算術(shù)相同 包括加 減 乘 除 可用括號(hào)規(guī)定運(yùn)算的優(yōu)先級(jí) Matlab將矩陣加 減 乘的程序編為內(nèi)部函數(shù) 只要用 做運(yùn)算符號(hào)就包含階數(shù)檢查和執(zhí)行運(yùn)算的全過程兩相加矩陣有一個(gè)是標(biāo)量時(shí) Matlab承認(rèn)算式有效 自動(dòng)把標(biāo)量擴(kuò)展為同階等元素矩陣如 鍵入X 101 Y X 1得Y 2 10矩陣除法矩陣求逆inv A 如果det A 等于或很接近零 Matlab會(huì)提示出錯(cuò) 左除 與 右除 左乘或右乘矩陣的逆 A 或 A 2矩陣的基本運(yùn)算 冪運(yùn)算 A A A A 5轉(zhuǎn)置 理論學(xué)習(xí)中 A的轉(zhuǎn)置表示為AT 在Matlab中用 表示 3行列式與方程組求解 相關(guān)命令U rref A 對(duì)矩陣A進(jìn)行初等行變換 矩陣U為A的最簡(jiǎn)梯矩陣det A 計(jì)算矩陣A的行列式rank A 計(jì)算矩陣A的秩B i b 把向量b賦給矩陣B的第i行A i j 引用矩陣A中第i行j列的元素 A eye 5 創(chuàng)建5 10矩陣 前5列為A 后5列為單位矩陣symsx 定義x為符號(hào)變量 3行列式與方程組求解 逆矩陣各種求法 clearA 7 2 6 4 6 1 3 6 3 11 3 11 9 5 2 3 0 2 9 3 7 30 18 11 4 1 命令法 An1 inv A 2 冪運(yùn)算法 An2 A 1 3 右除法 An3 eye 5 A eye 5 為5階單位矩陣 4 左除法 An4 A eye 5 5 初等行變換法 B rref A eye 5 對(duì)矩陣 A I 進(jìn)行初等行變換 B為矩陣A的最簡(jiǎn)行階梯矩陣if rank B 1 5 5 判斷最簡(jiǎn)行階梯矩陣B的前5列是否為單位陣An5 B 6 10 取出矩陣的后5列 并顯示elsedisp A不可逆 end 思考 如何用求逆陣或初等變換法解方程組 3行列式與方程組求解 求解符號(hào)行列式方程clear 清除各種變量symsx 定義x為符號(hào)變量A 3 2 1 1 3 2 2 x 2 1 5 1 3 2 7 x 2 1 3 2 D det A 計(jì)算含符號(hào)變量矩陣A的行列式Df factor D 對(duì)行列式D進(jìn)行因式分解 從因式分解的結(jié)果 可以看出方程的解X solve D 求方程 D 0 的解 解方程 4向量組的線性相關(guān)性及方程組的通解 相關(guān)命令 R s rref A 把矩陣A的最簡(jiǎn)梯矩陣賦值給R s是一個(gè)行向量 它的元素由R的首非零元所在列號(hào)構(gòu)成null A r 齊次線性方程組Ax 0的基礎(chǔ)解系x0 A b 非齊次線性方程組Ax b的一個(gè)特解x0length s 計(jì)算s向量的維數(shù)end 矩陣的最大下標(biāo) 最后一行或最后一列find s 向量s中非零元素的下標(biāo)sub A k n 將A中所有符號(hào)變量k用數(shù)值n代替 4向量組的線性相關(guān)性及方程組的通解 求非齊次線性方程組的通解 4向量組的線性相關(guān)性及方程組的通解 求齊次線性方程組的通解clearA 2 4 1 4 16 3 6 2 6 23 3 6 4 6 19 1 2 5 2 19 輸入系數(shù)矩陣Ab 2 7 23 43 輸入常數(shù)列向量b R s rref A b 把增廣矩陣的最簡(jiǎn)行階梯矩陣賦給R 而R的所有基準(zhǔn)元素在矩陣中的列號(hào)構(gòu)成了行向量s m n size A 矩陣A的行數(shù) 列數(shù)賦給了變量m nx0 zeros n 1 將特解x0初始化為N維零向量r length s 矩陣A的秩賦給變量rx0 s R 1 r end 將矩陣R的最后一列按基準(zhǔn)元素的位置給特解x0賦值disp 非齊次線性方程組的特解為 x0 顯示特解x0disp 對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為 x null A r 得到齊次線性方程組Ax 0的基礎(chǔ)解系x 4向量組的線性相關(guān)性及方程組的通解 當(dāng)k取何值時(shí)方程組有非零解 在有非零解的情況下 求出其基礎(chǔ)解系 已知齊次線性方程組 4向量組的線性相關(guān)性及方程組的通解 clearsymsk 定義符號(hào)變量kA 1 2 k 3 3 3 3 2 k 3 3 3 3 2 k 3 3 3 3 11 k 給系數(shù)矩陣賦值D det A 算出系數(shù)矩陣的行列式Dkk solve D 解方程 D 0 得到解kk 即k值fori 1 4AA subs A k kk i 分別把k值代入系數(shù)矩陣A中fprintf 當(dāng)k disp kk i 顯示k的取值fprintf 基礎(chǔ)解系為 n disp null AA 計(jì)算齊次線性方程組 Ax 0 的基礎(chǔ)解系end 平板穩(wěn)態(tài)溫度的計(jì)算 整理為 化學(xué)方程的配平 確定x1 x2 x3 x4 使兩邊原子數(shù)相等稱為配平 方程為寫成矩陣方程 電阻電路的計(jì)算 設(shè)定三個(gè)回路電流ia ib ic 回路壓降的方程為 信號(hào)流圖模型 信號(hào)流圖是用來表示和分析復(fù)雜系統(tǒng)內(nèi)的信號(hào)變換關(guān)系的工具 右圖方程如下 寫成矩陣方程或x Qx Pu移項(xiàng)整理 可以得到求信號(hào)向量x的公式 信號(hào)流圖的矩陣解法 I Q x Pu x inv I Q Pu定義系統(tǒng)的傳遞函數(shù)W為輸出信號(hào)與輸入信號(hào)之比x u 則W可按下式求得 W x u inv I Q P因?yàn)榈玫?復(fù)雜點(diǎn)的信號(hào)流圖 按右面的信號(hào)流圖 照上述方法列出它的方程如下 x1 G4x3 ux2 G1x1 G5x4x3 G2x2x4 G3x3 信號(hào)流圖的矩陣方程 列出的矩陣方程為 矩陣中的參數(shù)是符號(hào)而不是數(shù) MATLAB的許多函數(shù) 特別是求逆 都可以處理符號(hào) 帶來了極大的方便 只要在程序第一行注明哪些是符號(hào)變量 symsG1G2 用符號(hào)運(yùn)算工具箱求解 矩陣代數(shù)方法的最大好處是可用于任意高的階次的信號(hào)流圖 實(shí)現(xiàn)傳遞函數(shù)推導(dǎo)的自動(dòng)化如下題的MATLAB程序ag863symsG1G2G3G4G5Q 0 0 G4 0 G1 0 0 G5 0 G2 0 0 0 0 G3 0 P 1 0 0 0 W inv eye 4 Q Ppretty W 4 運(yùn)行結(jié)果為 5特征向量與二次型 orth A 求出矩陣A的列向量組構(gòu)成空間的一個(gè)正交規(guī)范基P poly A 計(jì)算A的特征多項(xiàng)式 P是行向量 元素為多項(xiàng)式系數(shù)roots P 求多項(xiàng)式P的零點(diǎn)r eig A r為列向量 元素為A的特征值 V D eig A 矩陣D為A的特征值所構(gòu)成的對(duì)角陣 V的列向量為A的特征向量 與D中特征值一一對(duì)應(yīng) V D schur A 矩陣D為對(duì)稱陣A的特征值所構(gòu)成的對(duì)角陣 V的列為A的單位特征向量 與D中特征值一一對(duì)應(yīng) 5特征向量與二次型 已知矩陣求其特征值 A 2 2 20 19 2 16 9 11 8 4 6 1 0 8 4 7 1 符號(hào)變量法symsk 定義符號(hào)變量kB A k eye length A 構(gòu)造矩陣B A kI D det B 計(jì)算行列式 A kI lamda1 solve D 求 A kI 0的符號(hào)形式的解 2 特征多項(xiàng)式法P poly A 計(jì)算矩陣A的特征多項(xiàng)式 向量P的元素為該多項(xiàng)式的系數(shù)lamda2 roots P 求該多項(xiàng)式的零點(diǎn) 即特征值 3 命令法lamda3 eig A 直接求出矩陣A的特征值 5特征向量與二次型 求矩陣的特征值和特征向量 判斷是否可對(duì)角化 如可以則找出可逆矩陣V 使V 1AV DA 1 2 3 2 1 3 1 1 2 V D eig A 5特征向量與二次型 用正交變換法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型clearA 1 0 0 0 2 2 0 2 2 輸入二次型的矩陣A V D eig A 其中矩陣V即為所求正交矩陣 矩陣D為矩陣A的特征值構(gòu)成的對(duì)角陣 或 V D schur A 結(jié)果和eig 函數(shù)相同disp 正交矩陣為 Vdisp 對(duì)角矩陣為 Ddisp 標(biāo)準(zhǔn)化的二次型為 symsy1y2y3f y1 y2 y3 D y1 y2 y3 平面上線性變換的幾何意義 例9 1設(shè)x為二維平面上第一象限中的一個(gè)單位方塊 其四個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)據(jù)可寫成把不同的A矩陣作用于此組數(shù)據(jù) 可以得到多種多樣的結(jié)果yi Ai x 用程序ag911進(jìn)行變換計(jì)算 并畫出x及yi圖形 x 0 1 1 0 0 0 1 1 subplot 2 3 1 fill x 1 0 x 2 0 r A1 1 0 0 1 y1 A1 xsubplot 2 3 2 fill y1 1 0 y1 2 0 g 幾種變換的行列式與特征值 二維矩陣特征值的幾何意義 二維矩陣的特征值表示該變換在原圖形的特征向量的方向上的放大量 例如矩陣A1在第一特征向量方向的特征值為 即橫軸正方向的增益為 1 其結(jié)果是把原圖中橫軸正方向的部分變換到新圖的負(fù)方向去了 A1在第二特征向量的方向的特征值為 1 2 1 即縱軸正方向的增益為1 因而保持了新圖和原圖在縱軸方向尺度不變 用eigshow函數(shù)看特征值 對(duì)于比較復(fù)雜的情況 完全憑簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系去想像是困難的 應(yīng)當(dāng)用eigshow函數(shù) 聯(lián)系x和Ax的向量圖來思考 鍵入eigshow A4 綠色的x表示原坐標(biāo)系中的單位向量 可以用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)住x并拖動(dòng)它圍繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng) 圖中同時(shí)出現(xiàn)以藍(lán)色表示的Ax向量 它表示變換后的新向量 當(dāng)兩個(gè)向量處在同一條直線上時(shí) 包括同向和反向 表示兩者相位相同 只存在一個(gè) 可正可負(fù)的 實(shí)數(shù)乘子 Ax x Eigshow A4 產(chǎn)生的圖形 eigshow 1 2 2 2 的圖形 將eigshow 1 2 2 2 粘貼到命令窗 A是對(duì)稱實(shí)矩陣的情況 特別要注意A是對(duì)稱實(shí)矩陣的情況 所謂對(duì)稱矩陣是滿足AT A的矩陣 對(duì)2 2矩陣 只要求A 1 2 A 2 1 例如令A(yù) 1 2 2 2 再鍵入eigshow A 這時(shí)的特點(diǎn)是 Ax x出現(xiàn)在Ax橢圓軌跡的主軸上 所以兩個(gè)特征值分別對(duì)應(yīng)于單位圓映射的橢圓軌跡的長(zhǎng)軸和短軸 此時(shí)A的特征值為 0 5616和3 5616 可以和圖形對(duì)照起來看 人口遷徙模型 設(shè)在一個(gè)大城市中的總?cè)丝谑枪潭ǖ?人口的分布則因居民在市區(qū)和郊區(qū)之間遷徙而變化 每年有6 的市區(qū)居民搬到郊區(qū)去住 而有2 的郊區(qū)居民搬到市區(qū) 假如開始時(shí)有30 的居民住在市區(qū) 70 的居民住在郊區(qū) 問10年后市區(qū)和郊區(qū)的居民人口比例是多少 30年 50年后又如何 這個(gè)問題可以用矩陣乘法來描述 把人口變量用市區(qū)和郊區(qū)兩個(gè)分量表示 一年以后 市區(qū)人口為xc1 1 0 06 xc0 0 02xs0 郊區(qū)人口xs1 0 06xc0 1 0 02 xs0 問題的矩陣描述 用矩陣乘法來描述 可寫成 從初始到k年 此關(guān)系保持不變 因此上述算式可擴(kuò)展為 故可用程序ag981n進(jìn)行計(jì)算 A 0 94 0 02 0 06 0 98 x0 0 3 0 7 x1 A x0 x10 A 10 x0 x30 A 30 x0 x50 A 50 x0得到 本題特征值和特征向量的意義 無限增加時(shí)間k 市區(qū)和郊區(qū)人口之比將趨向一組常數(shù)0 25 0 75 為了弄清為什么這個(gè)過程趨向于一個(gè)穩(wěn)態(tài)值 我們改變一下坐標(biāo)系統(tǒng) 在這個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)中可以更清楚地看到乘以矩陣A的效果 先求A的特征值和特征向量 得到令它是特征向量的整數(shù)化 得到 6直線和平面的快速繪制程序 平面曲線的快速繪制程序ezplot a b 引號(hào)中函數(shù)可以只有一個(gè)自變量 代表顯函數(shù)ezplot f x a b 系統(tǒng)將在a x b的范圍內(nèi)畫出f f x 引號(hào)中的函數(shù)若有兩個(gè)自變量 那就代表隱函數(shù) 其典型格式為ezplot f x y a b 系統(tǒng)將在a x b的范圍內(nèi)畫出f x y 0 a b 的默認(rèn)值為 2 2 曲線快速繪制舉例 ezplot x1 0 2 x2 3 1 畫出在x1 2 2 的曲線畫多條曲線可按下列方法編程s1 x1 0 2 x2 3 1 方程1s2 3 x1 2 x2 3 方程2ezplot s1 holdon 畫方程1 保持ezplot s2 gridon 畫方程2 加網(wǎng)格 x1 x2 solve s1 s2 解聯(lián)立方程1 2 解的結(jié)果 解的說明 在線性代數(shù)中 遇到的都是一次函數(shù) 所以不會(huì)出現(xiàn)曲線 我們故意用一個(gè)三次曲線來說明ezplot的用法 是為了使讀者知道 這個(gè)命令不限于畫直線 MATLAB用solve命令解題是采用了符號(hào)運(yùn)算工具葙 它的數(shù)字精度是32位