真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué).ppt

促進(jìn)數(shù)學(xué)理解的有效路徑 上外附屬大境中學(xué)趙玉梅2012年7月3日 故事之一 石匠的目標(biāo) 有個(gè)人經(jīng)過(guò)一個(gè)建筑工地 問(wèn)那里的建筑工人們?cè)谧鍪裁?三個(gè)工人有三個(gè)不同的回答 第一個(gè)工人回答 我正在砌一堵墻 第二個(gè)工人回答 我正在蓋一座大樓 第三個(gè)工人回答 我正在建造一座城市 十年以后 第一個(gè)工人還在砌墻 第二個(gè)工人成了建筑工地的管理者 第三個(gè)工人則成了這個(gè)城市的領(lǐng)導(dǎo)者 心靈啟示 思想有多遠(yuǎn) 我們就能走多遠(yuǎn) 故事之二 笨鳥(niǎo) 在一間無(wú)人居住的房子的窗戶(hù)外 一只不知名的鳥(niǎo)總是每日準(zhǔn)時(shí)光顧 它站在窗臺(tái)上 不停地用頭撞擊玻璃 然后總被撞得落回窗臺(tái) 但它堅(jiān)持不懈 每日總要撞十來(lái)分鐘 爾后又跌回窗臺(tái) 隨即離開(kāi) 人們好奇心大發(fā) 紛紛猜測(cè)它大概是為了進(jìn)那間房 但是就在這鳥(niǎo)兒站立的窗臺(tái)旁邊 另外一扇窗戶(hù)是打開(kāi)的 于是得出結(jié)論 這是只大笨鳥(niǎo) 故事之二 笨鳥(niǎo) 直到有一天 好事者帶來(lái)望遠(yuǎn)鏡 一切才真相大白 窗玻璃上粘滿(mǎn)了小飛螢的尸體 鳥(niǎo)兒吃得不亦樂(lè)乎 心靈啟示 人們總喜歡將自己的思維方式強(qiáng)加于別人 而且自以為是 不要以為我們看不見(jiàn)的東西就不存在 我們對(duì)學(xué)習(xí)的理解何嘗不如此 何謂理解 辭海 對(duì)理解的定義是 了解 領(lǐng)會(huì) 現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典的解釋是 懂 了解 維基百科自由的百科全書(shū)理解 Understanding 又稱(chēng)為領(lǐng)會(huì) 了解 懂得 思維作用 intellection 是指一種心理過(guò)程 與諸如人 情形或訊息之類(lèi)的某種抽象的或有形的對(duì)象相關(guān) 籍此一個(gè)人能夠?qū)ζ浼右运伎?并且運(yùn)用概念對(duì)該對(duì)象加以適當(dāng)?shù)奶幚?理解乃是概念表達(dá) 又稱(chēng)為概念化 的界線(xiàn) 互動(dòng)百科理解就是因每個(gè)人的大腦對(duì)事物分析決定的 一種對(duì)事物本質(zhì)的認(rèn)識(shí) 就是通常所說(shuō)的知其然 又知其所以然 一般也稱(chēng)了解或領(lǐng)會(huì) 理解與概念和問(wèn)題都有密切關(guān)系 有時(shí)是互相重疊的 行為主義把學(xué)習(xí)解釋為刺激與反應(yīng)之間的聯(lián)結(jié) 認(rèn)為學(xué)習(xí)過(guò)程是一種試誤過(guò)程 在不斷的嘗試與錯(cuò)誤中逐漸形成聯(lián)結(jié) 現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為理解的實(shí)質(zhì)是學(xué)習(xí)者以信息的傳輸 編碼為基礎(chǔ) 根據(jù)已有信息建構(gòu)內(nèi)部的心理表征 并進(jìn)而獲得心理意義的過(guò)程 理解是一種多維度的 復(fù)雜的東西 數(shù)學(xué)理解 數(shù)學(xué)理解的界定 Hiebert和Carpenter認(rèn)為 一個(gè)數(shù)學(xué)的概念或方法或事實(shí)被理解了 如果它成為個(gè)人內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)部分 李士锜認(rèn)為 學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念 原理 法則 如果在心理上能組織起適當(dāng)?shù)挠行У恼J(rèn)知結(jié)構(gòu) 并使之成為個(gè)人內(nèi)部的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一部分 那么才說(shuō)明是理解了 數(shù)學(xué)理解的本質(zhì) 1 對(duì)數(shù)學(xué)概念 規(guī)則或方法的理解 指?jìng)€(gè)體建立了關(guān)于這些觀(guān)念的內(nèi)部網(wǎng)絡(luò) 2 數(shù)學(xué)理解的水平具有層次性 個(gè)體的差異往往表現(xiàn)為理解水平的差異 3 數(shù)學(xué)理解是一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程 是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)和知識(shí)意義的建構(gòu)過(guò)程 數(shù)學(xué)理解的意義 從理論研究的角度看 理解與數(shù)學(xué)理解的研究意義體現(xiàn)在它的廣闊包容性和相對(duì)獨(dú)立性從個(gè)體發(fā)展的角度看 知識(shí)的理解有助于完善個(gè)體大腦內(nèi)部的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò) 從而推動(dòng)記憶 進(jìn)而又更易于同化與理解新知識(shí) 新信息 形成一個(gè)良性學(xué)習(xí)過(guò)程 同時(shí) 知識(shí)只有被深刻理解了 才具有遷移與應(yīng)用的活性 這種遷移能力對(duì)個(gè)體未來(lái)發(fā)展是十分重要的 數(shù)學(xué)理解的意義 從社會(huì)需求的角度看 信息化社會(huì)和知識(shí)經(jīng)濟(jì)社會(huì)所需要的是那種能不斷學(xué)習(xí)新知識(shí) 新技能 能應(yīng)用自己的已有知識(shí)去解決新問(wèn)題的創(chuàng)新人才 沃特海梅爾的研究 讓兩組學(xué)生對(duì)平行四邊行面積公式分別展開(kāi)理解法學(xué)習(xí)和死記法學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)理解的層次 正向理解變式理解反省理解 促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的路徑 對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解 對(duì)數(shù)學(xué)公式的理解對(duì)數(shù)學(xué)定理的理解對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解 對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解 學(xué)習(xí)一個(gè)概念取決于對(duì)它的理解 而理解的含義是對(duì)概念本質(zhì)的把握 下面從5個(gè)例子看概念理解 數(shù)系的擴(kuò)充 用圖形表示包含關(guān)系 舉例1 揭示概念的背景 在新舊聯(lián)系中理解復(fù)數(shù) 知識(shí)引入 引入一個(gè)新數(shù) 現(xiàn)在我們就引入這樣一個(gè)數(shù)i 把i叫做虛數(shù)單位 并且規(guī)定 1 i2 1 2 實(shí)數(shù)可以與i進(jìn)行四則運(yùn)算 在進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí) 原有的加法與乘法的運(yùn)算率 包括交換率 結(jié)合率和分配率 仍然成立 形如a bi a b R 的數(shù)叫做復(fù)數(shù) 全體復(fù)數(shù)所形成的集合叫做復(fù)數(shù)集 一般用字母C表示 卡盟卡盟 MicrosoftOfficePowerPoint 是微軟公司的演示文稿軟件 用戶(hù)可以在投影儀或者計(jì)算機(jī)上進(jìn)行演示 也可以將演示文稿打印出來(lái) 制作成膠片 以便應(yīng)用到更廣泛的領(lǐng)域中 利用MicrosoftOfficePowerPoint不僅可以創(chuàng)建演示文稿 還可以在互聯(lián)網(wǎng)上召開(kāi)面對(duì)面會(huì)議 遠(yuǎn)程會(huì)議或在網(wǎng)上給觀(guān)眾展示演示文稿 MicrosoftOfficePowerPoint做出來(lái)的東西叫演示文稿 其格式后綴名為 ppt pptx 或者也可以保存為 pdf 圖片格式等 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式 通常用字母z表示 即 其中稱(chēng)為虛數(shù)單位 復(fù)數(shù)a bi 復(fù)數(shù)集 虛數(shù)集 實(shí)數(shù)集 純虛數(shù)集之間的關(guān)系 思考 復(fù)數(shù)集 虛數(shù)集 實(shí)數(shù)集 純虛數(shù)集 舉例2 要理解概念的實(shí)質(zhì) 對(duì)頻率與概率的理解 隨機(jī)事件A出現(xiàn)的概率等于事件A所包含的基本事件數(shù)除以試驗(yàn)中所有的基本事件數(shù)對(duì)于隨機(jī)事件E 如果在次試驗(yàn)中出現(xiàn)了次 那么稱(chēng)為事件E出現(xiàn)的頻數(shù) 稱(chēng)為事件E出現(xiàn)的頻率 挖掘定義的內(nèi)涵 1 頻率的穩(wěn)定值就是概率的估計(jì)值 嗎 2 隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加 頻率就越來(lái)越接近于概率 嗎 3 用頻率估計(jì)概率 一定要大量重復(fù)試驗(yàn) 嗎 4 必然事件與概率為1等價(jià) 不可能事件與概率為0等價(jià) 隨機(jī)事件的概率大于0而小于1 嗎 頻率與概率 頻率是隨機(jī)的概率是一個(gè)客觀(guān)存在的常數(shù) 舉例3 對(duì)抽象概念的理解要層層深入 曲線(xiàn)與方程 概念的理解 一般地 如果曲線(xiàn)C和方程之間有以下兩個(gè)關(guān)系 曲線(xiàn)C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程解 以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線(xiàn)C上的點(diǎn) 此時(shí) 把方程叫做曲線(xiàn)C的方程 theequationofacurveC 曲線(xiàn)C叫做方程的曲線(xiàn) 曲線(xiàn)與方程 1 對(duì)曲線(xiàn)與方程概念本質(zhì)的第一層認(rèn)識(shí)2 對(duì)曲線(xiàn)與方程概念本質(zhì)的第二層認(rèn)識(shí)3 對(duì)曲線(xiàn)與方程概念本質(zhì)的第三層認(rèn)識(shí)4 強(qiáng)化對(duì) 曲線(xiàn)的方程與方程的曲線(xiàn) 兩個(gè)概念的理解 曲線(xiàn)與方程概念理解 練習(xí)1 1 到兩坐標(biāo)軸距離相等的的點(diǎn)的軌跡的方程是嗎 為什么 2 以y軸為對(duì)稱(chēng)軸的等腰三角形的底邊的方程是x 0嗎 為什么 練習(xí)2 1 寫(xiě)出表示下列圖形 實(shí)線(xiàn)部分 的方程 作下列方程所表示的圖形 舉例4 預(yù)設(shè)好問(wèn)題串 深化理解核心概念 函數(shù)概念的理解 問(wèn)題1 下列解析式能表示函數(shù)嗎 1 2 3 問(wèn)題2 下列圖像能作為函數(shù)圖像的是那些 預(yù)設(shè)好問(wèn)題串 深化理解核心概念 函數(shù)概念的理解 問(wèn)題3 函數(shù)都有解析式嗎 問(wèn)題4 函數(shù)都能畫(huà)出圖像嗎 函數(shù)的表示方法 1主要方法 解析法 公式法 列表法和圖象法 2可用 特殊方法 來(lái)表示的函數(shù) 1 分段函數(shù) 在定義域的不同部分用不同的公式來(lái)表示 例如 符號(hào)函數(shù) 借助于Sgnx可表示 即 2 符號(hào)函數(shù)例如 3 取整函數(shù) 4 用語(yǔ)言敘述的函數(shù) 注意 以下函數(shù)不是分段函數(shù) 例 取整函數(shù) irichlet Riemman函數(shù) 舉例5 巧設(shè)問(wèn)題 適時(shí)追問(wèn) 展示概念的形成過(guò)程 對(duì)三角比定義的理解 第一步 引入問(wèn)題 任意畫(huà)一個(gè)銳角 能否根據(jù)銳角三角比的定義 借助三角板求出的近似值 追問(wèn)1 有更好的構(gòu)造法能使計(jì)算更簡(jiǎn)便嗎 追問(wèn)2 哪條邊畫(huà)成單位長(zhǎng)方便呢 追問(wèn)3 還有其它三角比嗎 有幾個(gè) 追問(wèn)4 中角有限制范圍嗎 第二步 從銳角到任意角的推廣 追問(wèn)1 引進(jìn)直角坐標(biāo)系的作用 追問(wèn)2 能否使定義的形式比較簡(jiǎn)單 追問(wèn)3 通過(guò)類(lèi)比 能否借助坐標(biāo)來(lái)定義任意角的正弦值呢 追問(wèn)4 類(lèi)似地 在直角坐標(biāo)系中 其他的三角比又該如何定義呢 第三步 對(duì)概念獲得的 精致 過(guò)程 也是思維深刻性和批判性的發(fā)展要求 展示概念背景 培養(yǎng)思維的主動(dòng)性 創(chuàng)設(shè)求知情境 培養(yǎng)思維的敏捷性 精確表述概念 培養(yǎng)思維的準(zhǔn)確性 解剖新概念 培養(yǎng)思維的縝密性 分析錯(cuò)解成因 培養(yǎng)思維的批判性 對(duì)數(shù)學(xué)公式的理解 注重三用 即正著用 變著用 逆著用 正用 就是指公式左邊符合兩項(xiàng)和兩項(xiàng)差的乘積條件就可直接應(yīng)用 得出簡(jiǎn)潔的結(jié)果 變用 是指將暫時(shí)不能直接利用公式的變形后再利用公式 例如 逆用 是指將公式的條件和結(jié)論互換后的利用 公式是一個(gè)恒等式 在一定條件下 左右兩邊互換后仍然成立 平方差公式 對(duì)數(shù)學(xué)公式的理解 平方差公式 1 歸納2 應(yīng)用3 深化 舉例 兩角和與差的正弦 余弦和正切 對(duì)數(shù)學(xué)公式的理解 體會(huì)公式的內(nèi)在聯(lián)系 逆用公式 化簡(jiǎn)下列各式 對(duì)數(shù)學(xué)定理的理解 正向理解 正確區(qū)分定理的條件和結(jié)論 并能直接利用數(shù)學(xué)定理變式理解 能直接創(chuàng)造定理成立的條件來(lái)利用定理解決問(wèn)題反省理解 能夠解決條件開(kāi)放或結(jié)論開(kāi)放的開(kāi)放題 提高學(xué)生的反省理解 對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解 1 設(shè)計(jì)問(wèn)題有梯度 循序漸進(jìn) 層層深入 課例1與圓錐曲線(xiàn)定義有關(guān)的軌跡問(wèn)題 執(zhí)教 高二 1 班2012 4 24 與圓錐曲線(xiàn)定義有關(guān)的軌跡問(wèn)題的探求 復(fù)習(xí) 1 若F 2 0 且 MF 1 則點(diǎn)M的軌跡是什么 2 若 MAB的一邊AB的長(zhǎng)為6 周長(zhǎng)為16 則頂點(diǎn)M的軌跡是什么 3 若線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為6 M為AB外一點(diǎn) 且 MA MB 4 則點(diǎn)M的軌跡是什么 4 若點(diǎn)F 1 0 直線(xiàn)l x 1 則過(guò)點(diǎn)F且與直線(xiàn)l相切的圓的圓心的軌跡是什么 探求 問(wèn)題一 已知?jiǎng)訄AP與圓和圓都外切 求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程 P y x O C1 C2 問(wèn)題一 已知?jiǎng)訄AP與圓和圓都外切 求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程 P 1 在問(wèn)題一中 若動(dòng)圓P與圓C2內(nèi)切 與圓C1外切 則動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是什么 拓展 P 2 在問(wèn)題一中 若動(dòng)圓P與圓C1內(nèi)切 與圓C2外切 則動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是什么 P 3 在問(wèn)題一中 若把圓C1的半徑改為1 那么動(dòng)圓圓心P的軌跡又是什么 4 上述的結(jié)論是否具有一般性 探求 問(wèn)題二 F1 F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn) O是橢圓的中心 點(diǎn)P是橢圓上不在長(zhǎng)軸上的任意一點(diǎn) 從右焦點(diǎn)F2引 F1PF2的外角平分線(xiàn)的垂線(xiàn) 求垂足M的軌跡方程 y x O F1 F2 P M Q 問(wèn)題二 F1 F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn) O是橢圓的中心 點(diǎn)P是橢圓上不在長(zhǎng)軸上的任意一點(diǎn) 從右焦點(diǎn)F2引 F1PF2的外角平分線(xiàn)的垂線(xiàn) 求垂足M的軌跡方程 練習(xí) 練習(xí)1 已知F1 F2是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn) O是雙曲線(xiàn)的中心 點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)上不在實(shí)軸上的任意一點(diǎn) 從任一焦點(diǎn)引 F1PF2的角平分線(xiàn)的垂線(xiàn) 求垂足M的軌跡方程 y x O F1 F2 P M Q 練習(xí)2 已知一個(gè)橢圓過(guò)點(diǎn)A 7 0 B 7 0 一焦點(diǎn)坐標(biāo)為C 2 12 求另一焦點(diǎn)P的軌跡方程 練習(xí) 問(wèn)題三 動(dòng)點(diǎn)M x y 到定點(diǎn)F 3 0 的距離比它到y(tǒng)軸的距離大3 求動(dòng)點(diǎn)M x y 的軌跡方程 探求 練習(xí)1 動(dòng)點(diǎn)M x y 到定點(diǎn)F 3 0 的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1 求動(dòng)點(diǎn)M x y 的軌跡方程 練習(xí) 練習(xí)2 動(dòng)點(diǎn)M x y 到定點(diǎn)F 3 0 的距離比它到y(tǒng)軸的距離大5 求動(dòng)點(diǎn)M x y 的軌跡方程 對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解 2 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)提出問(wèn)題 引發(fā)思考 促進(jìn)理解 課例2 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法研究方程根問(wèn)題 討論問(wèn)題 1 討論關(guān)于的方程在下列情況下實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù) 1 在上 2 在上 3 在上 討論問(wèn)題 討論問(wèn)題 試一試 請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方程問(wèn)題 1 含有參數(shù) 2 與判斷方程解的個(gè)數(shù)有關(guān) 研究問(wèn)題 來(lái)自學(xué)生 問(wèn)題2 來(lái)自學(xué)生 問(wèn)題3 來(lái)自學(xué)生 研究問(wèn)題 問(wèn)題變式 問(wèn)題拓展 提高學(xué)生數(shù)學(xué)理解水平的途徑 1 促進(jìn)合作交流2 變式練習(xí)3 指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自我提問(wèn)4 進(jìn)行分層教學(xué)5 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極反思 提高學(xué)生數(shù)學(xué)理解水平的途徑 5 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極反思 1 反思解題過(guò)程的合理性舉例 若已知圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) 求參數(shù)的值 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極反思 2 反思解題思路的嚴(yán)密性 3 反思解題方法的靈活性 4 反思所解問(wèn)題的