一元二次方程（1）.docx

一元二次方程的定義教學案例 湛江一中培才學校 李韶萍一、課前測驗以及數據分析.這節(jié)課是在湛江一中培才學校初二級35個平行班當中的一個班進行的.初二級學生歷經近2年的課改，自學能力較成熟；另一方面，在學習這個單元之前，學生已經學習了一元一次方程、二元一次方程組、分式方程，這些單元的基本數學思想與本單元基本一致，學生已具備了解一元二次方程知識的能力與思想.筆者根據學生的能力，結合本節(jié)課的知識點，對該班學生進行了課前檢測，并基于solo理論進行分析.為對比預習產生的效果，筆者還將該班學生平均分成A、B兩組，兩組學生當中的優(yōu)、中、學困生人數比例接近.要求A組學生用10分鐘自學課本（人教版）第2、3頁的內容，至少看兩遍，直到看懂為止；B組學生不能看課本.然后A、B兩組同學同時用10分鐘時間，閉卷、獨立完成“課前測驗卷”. 以下是“課前測驗卷”的題目及其相關的數據分析知識點一： 一元二次方程的概念1、方程x2-75x+350=0中含有 個未知數，并且未知數的最高次數是 . 組別A組（已預習）B組（未預習）“方程x2-75x+350=0中含 個未知數”出錯率填 2 16%填 2 22%填 x 3%填 x 0%基于solo理論分析約八成的學生完全做對，對照兩組實驗結果，發(fā)現(xiàn)區(qū)別不大，因此無論預習與否，學生都能通過已有“未知數”、“最高次數”的概念內涵進行遷移聯(lián)想，完成此題，因此，有八成學生屬于多點結構層次，而近兩成學生未知數填2，通過訪談，了解到他們只是單純地在式子中數出了兩個“x”，屬于前結構層次.2、下列方程中，屬于一元二次方程的是 （填序號）：x2-2y+3=0 2xx-1=2x2 x2=2x(x2-1)2+2x+3=0 x2-1x+2=0 x2+22x+3=0在你所選的序號中，你不確定序號是 .組別A組（已預習）各題正確率B組（未預習）各題正確率“下列方程中，屬于一元二次方程的是 ” 答題情況沒選68%沒選60%沒選48%沒選33%選了65%選了74%沒選84%沒選78%沒選55%沒選60%選了97%選了93%基于solo理論分析對照兩組實驗結果，區(qū)別較大的是、項，可見，預習能強化學生對“元、二次項、一次項、常數項”的認識.兩組都有過半學生選，近半學生選，其中許多學生在“不確定序號”里選了，說明一元二次方程定義仍處于一知半解的程度，屬于單點結構層次.知識點二： 一元二次方程的一般形式3、將5x2-1=3x化成一般形式，并寫出它的二次項系數、一次項系數和常數項.組別A組（已預習）B組（未預習）答題情況列對一般式81%列對一般式30%做對二次項系數81%做對二次項系數44%做對一次項系數58%做對一次項系數26%做對常數項84%做對常數項52%系數和常數項符號錯19%系數和常數項符號錯15%項系數寫成“項”19%項系數寫成“項”41%基于solo理論分析此題是課本例題的同類題，通過自學，八成A組學生能把握要點，結合已有的“移項”知識，準確寫出一般式，但近半學生沒有找對一次項系數，說明學生未能把將“多項式的系數包含其符號”這一已有知識機地整合起來，可見，不到一半的學生屬于關聯(lián)結構層次，大部分學生屬于多點結構層次.B組學生由于沒有接觸過“一般形式”的概念，只能對文字的表面意思猜測，近八層學生屬于前結構層次.本題牽涉到“一元二次方程一般形式”的新概念，因此預習與否對學生產生較大影響，兩組實驗結果差距很大， A組過半學生進入到多點結構層次，B組大部分停留在前結構層次，因此，對于含新概念知識的內容，預習能極大地提高學生的學習起點.知識點三： 一元二次方程的根4、在-4，-3，2，3這些數中，是一元二次方程x2+x-6=0的根的是 .組別A組（已預習）B組（未預習）答題情況只填對一個答案42%列對一般式41%填對2個答案55%做對二次項系數59%全錯3%做對一次項系數0%基于solo理論分析兩組實驗結果區(qū)別不大，包括沒有預習的同學在內，幾乎所有學生都知道將答案代入方程中的 x 進行檢驗，但只有不到一半的學生把根找全，屬于多點結構層次，近六成學生屬于單點結構層次.知識點四： 根據實際問題列一元二次方程5、一個矩形的長比寬多2，面積是100，設矩形的長為x，則可列方程 .組別A組（已預習）B組（未預習）答題情況全對55%全對63%基于solo理論分析該題完全沒有受預習與否的影響，在做錯的學生當中，絕大部分列成了xx+2=100，由此可見，對于此題，近四成學生屬于單點知識結構.6、根據問題列方程，并將所列方程化成一元二次方程的一般形式：參加一次聚會的每兩人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人參加聚會？組別A組（已預習）B組（未預習）答題情況沒設元或留空0%沒設元或留空30%設元，但列錯或沒列方程40%設元，但列錯或沒列方程59%列對方程，但化錯一般式29%列對方程，但化錯一般式11%完全做對32%完全做對4%對方程進行了化簡19%對方程進行了化簡4%基于solo理論分析此題為課本第二頁問題2的一道同類題，A組同學通過預習，有六成學生列對方程，達到多點結構層次，但只有三成學生全部做對，達到關聯(lián)結構層次.B組有三成學生屬于前結構層次，六成學生屬于單點結構層次，一成學生屬于多點結構層次.小結：通過分析“課前測驗卷”數據，可以看出學生對一元二次方程定義仍處于一知半解的程度，大多屬于單點結構層次；對于知識點二，大部分學生能通過自學，從前結構層次過渡到多點結構層次，但對于系數的符號仍把握不準；對于知識點三，過半學生屬于單點結構層次；對于知識點四，對于同類題，通過自學，過半學生能達到多點結構層次.由此可見，課前預習能極大地提高學生的學習起點. 為了讓學生能在同一起跑線上進行新課學習，前測結束以后，也對B組做了同樣的預習要求.二、課堂片段及點評由“課前測驗卷”完成情況，得知學生對一元二次方程的定義的本質、一般式當中“二次項系數、一次項系數、常數項”符號的把握、以及根據實際問題列一元二次方程這三個方面較為薄弱.因此本課例針對這三個方面的內容,側重描述三個課堂片段，并進行點評.片段一：課堂小練：填表多項式二次項系數一次項系數常數項3x2+8x+103x2-8x-10x2-6x+4-x2-x師：我們先來熱熱身，完成這張表格.學生開始填表，教師巡視，先做完的四名同學請到黑板上板書.師：同學們，我們在找二次項系數、一次項系數和常數項的時候要注意什么問題？學生闡述應注意帶上符號；x2與-x2的系數分別是“1”和“-1”，而不是“沒有”；要注意系數與項的區(qū)別 .針對學生對于各項的系數容易漏“符號”等問題，設計此題，在上新課之前完成，能喚醒學生對舊知的認識，起到承上啟下的作用，以幫助學生邁向關聯(lián)結構層次.片段二：教師指導學生閱讀導學案上的問題一：下個月，湛江一中培才學校將舉行體育節(jié)活動.我們班的大本營需要制作一個用于裝大本營用具的紙箱，具體要求如下：材料是一塊長100cm，寬50cm的厚紙板，在它的四角各切去一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個無蓋方盒.如果要制作的無蓋方盒的底面積為3600cm2，那么紙皮各角應切去多大的正方形？師：同學們，你們能用已有的知識解決這個問題嗎？請將你的想法寫在導學案上.教師巡視，邀請完成快的兩學生上黑板書寫.師：同學們做完了嗎？下面邀請上黑板的兩位同學展示他們的方法.生1：設切去的正方形邊長為x cm，因為紙板總面積為10050cm2，紙板面積又等于四個切去的小正方形面積4x 2cm2，加上下兩個小長方形面積2x (100-2x ) cm2，加左右兩個小長方形面積2x (50-2x ) cm2，再加上中間長方形面積3600cm2，就能得到方程4x 2+2x 100-2x +2x 50-2x +3600=10050.師：好！有理有據.第二位同學列的方程似乎更簡潔一點，讓我們來聽聽他的想法.生2：我也是設切去的正方形邊長為 x cm， 不過我是利用中間的矩形面積列的方程，中間矩形的長為100-2x cm2，寬為50-2xcm2，這樣就得到方程100-2x50-2x=3600.這時課堂上響起了掌聲.師：從同學們的掌聲中可以聽出，你們更喜歡第二種方法.你們能說說這兩種方法的區(qū)別和聯(lián)系嗎？生3：他們都通過面積建立了相等關系，不同的是所選擇的面積不同.師追問：這兩個方程看起來形式不一樣，我們能否用一個統(tǒng)一的形式將它們簡化？同學們注意要求：等號的右側化為0，等號的左側要求化簡，并表示成按x的降冪排列.學生按要求完成，發(fā)現(xiàn)兩個方程都化成了x2-75x+350=0.師：這道題雖然采用了不同的相等關系，但由于所設的x都表示小正方形的面積，所以列出方程形式本質是一樣的.你們能說說這個方程有什么特征嗎？生4:只有一個未知數x，x的最高次數是2 .生5：課本上還提到，方程的兩邊都是整式.師邊板書邊總結：像這樣，等號兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的方程 ，叫做一元二次方程.師指導學生完成導學案上的判斷題：請判斷以下方程是不是一元二次方程：（1）x2-12x+1=0； 2y2+2y=0；（3）xx+2=x2-4；（4）ax2+bx+c=0.生6：（2）、（3）、（4）是，（1）不是.師反問：同學們贊同他的說法嗎？生7：（4）不是，因為a如果是0，未知數x的最高次數就不是2了.師邊板書邊總結：補充得很好.事實上， ax2+bx+c=0（a0）叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項.只要是一元二次方程，都能化成一般形式.那么請嘗試一下整理（3），看看能否化成一元二次方程的一般形式？學生整理后發(fā)現(xiàn)化成了一元一次方程.師：是的，所以通常我們要先化簡，再進行判斷.現(xiàn)在請每組利用2分鐘時間，設計4個不同類型的方程，然后交給隔壁的小組交換判斷，看看哪些是一元二次方程.問題一是在教材中實際問題的基礎上，結合學校活動背景進行改編的，對于學生來說特別有真實感，從而自然地產生尋求解決辦法的動機.通過對應用題一題多解的展示，學生逐漸理解到列一元二次方程的關鍵是尋找等量關系，有效鍛煉學生根據實際問題列一元二次方程的能力.通過對“問題一”所得方程化簡之后形式的觀察，很自然地引出一元二次方程及其一般式的定義.4個判斷題是結合學生的前測情況設計的，而后面的“創(chuàng)作方程”環(huán)節(jié)，屬于開放性問題，這要求學生對問題進行抽象的概括，能促進學生邁向抽象拓展層次.片段三：教師指導學生閱讀導學案上的問題二：這次的體育節(jié)，我們初二年級打算組織一次籃球賽.籃球賽連續(xù)進行7天時間，每天進行4場比賽，請問初二級應組織多少只籃球隊參加比賽？請你將列出一元二次方程化為一般形式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數和常數項.師：這道題可以設什么為x？生8：可以設：初二級應組織x只籃球隊參加比賽.師進一步問：等量關系呢？生9：籃球賽連續(xù)進行7天時間，每天進行4場比賽，一共有28場比賽，可以利用這個建立相等關系.師：那如何用含x的式子表示比賽的總場數呢？生10：每個球隊都要和其他（x-1）個隊各賽一場，共有x個隊，可以表示為x（x-1）場.師邊在黑板上畫圖，邊說：有一定的道理，但我存在一個疑問：如果我用x個點表示x個隊，用連線表示比賽，那么甲隊將和其余（x-1）個隊比賽，但是在算乙隊的時候，甲乙比賽之間為什么出現(xiàn)兩條連線？生一起回答：因為重復計算了一次！師：在計算其它隊的時候，都重復計算了嗎？生齊答：是.師追問：那怎么表示總場數呢？生11：表示為x（x-1）2.師：很好，這樣我們就能列出方程x（x-1）2=28 了.那下面請同學們把這個方程化成一般式，并寫出它的二次項系數、一次項系數和常數項.此題的難點在于對總場數表示為x（x-1）2當中為什么要除以2的認識.事實上，學生在學習“多邊形”內容的時候，曾經歷過探索n邊形對角線條數的問題，在這里筆者利用數形結合的方法，將比賽問題化歸為點與點之間的連線問題，讓學生很容易產生聯(lián)想，幫助學生把這些思路結合起來思考，以達到關聯(lián)結構層次.完成此題后，教師還將題目變式為“隊友互送卡片”的問題，讓學生區(qū)別不用“除以2”的情況.本節(jié)課的知識點多而零散，通過對教材的改編，使得問題二成為問題一情景的延續(xù)，讓整節(jié)課用“體育節(jié)”的故事線索串聯(lián)了起來，同時，在解決問題的過程中，利用講練結合的方式逐漸滲透各個概念，使得零碎的內容得以統(tǒng)一.三、課后教學效果檢測及統(tǒng)計1、下列方程中，是一元二次方程的有 . 3x2=2x y2-2x-8=0 2x2-x-1=0 2xx-5=x(2x+1) x2-2x+1=0 y25=42、已知方程m-3x2-3x-2=0是關于x的一元二次方程，則m的取值范圍是 .3、方程 m-2xm-3x-4=0是一元二次方程，則 m的值為 .4、x=4 是方程x2+kx-20=0 的其中一個根，則k的值為 .5、已知一元二次方程 m-2x2+x+m2-4=0有一個根是0，則m的值為 .6、參加一次商品交易會的每兩家公司之間都簽了一份合同，所有公司共簽訂了45份合同，設共有x家公司參加商品交易會，則可列方程 .7、將方程6xx-5=2(x+1) 化成一元二次方程的一般式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數和常數項.內容各題正確率第1題選了84%沒選86%沒選93%沒選91%選了93%選了71%第2題88%第3題86%第4題93%第5題86%第6題86%第7題78%7道題全對59%只做對2道或以下7%四、總結與反思通過A、B兩組學生的預習對照，可以看出，盡管只有10分鐘的“預習”，但是學生的認知水平已經拉開一定的距離，特別是對于含新概念知識的內容，預習能極大地提高學生的學習起點.通過課前預習檢測，能有效摸清學生的薄弱點，更有效地“對癥下藥”.從課