七章第六節(jié)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)及應(yīng)用.doc

7.6 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)及應(yīng)用一 教學(xué)目的與要求、 熟練掌握初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)、 理解用冪級(jí)數(shù)的逼近及誤差估計(jì)二重點(diǎn)與難點(diǎn)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)三 教學(xué)過(guò)程由于冪級(jí)數(shù)的特殊形式，如果函數(shù)能表為冪級(jí)數(shù)的形式，無(wú)論是理論上還是應(yīng)用中都是很有意義的。本節(jié)將討論函數(shù)能展為冪級(jí)數(shù)的條件、稀疏的確定、初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)及有關(guān)應(yīng)用舉例。7.6.1 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)回顧第三章討論過(guò)的泰勒公式：若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)，則可表示為（6.1）其中 介于與之間如果在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)是無(wú)窮次連續(xù)可微的，自然會(huì)想到，是否可展為如下的冪級(jí)數(shù)（6.2）人們稱(chēng)冪級(jí)數(shù)（6.2）是函數(shù)在點(diǎn)出的泰勒級(jí)數(shù)。特別，當(dāng)時(shí)，稱(chēng)冪級(jí)數(shù)為的馬克勞林級(jí)數(shù)。自然，人們希望級(jí)數(shù)（6.2）在附近收斂，并且收斂域。此時(shí)，我們稱(chēng)函數(shù)能（或可）展成冪級(jí)數(shù)（6.2）。從式（6.1），這實(shí)際上取決于。于是我們有下面的結(jié)果。定理6.1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則它的泰勒級(jí)數(shù)（6.2）在內(nèi)收斂于得充分必要條件是：。在上述定理的條件不成立的范圍內(nèi)，函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)（6.2）即使收斂，也不收斂到，例如 由于（見(jiàn)上冊(cè)，第68頁(yè)，第9題），所以，函數(shù)的馬克勞林級(jí)數(shù)（6.3）的各項(xiàng)系數(shù)均為零，顯然它在整個(gè)數(shù)軸上一致收斂到零。但除外，均不收斂到。這是因?yàn)?，除原點(diǎn)外，都不以零為極限。 定理6.2 （冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的惟一性）若函數(shù)在的某鄰域內(nèi)可展為冪級(jí)數(shù) （6.4）則其系數(shù)這里規(guī)定。證明 由于冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)積分，于是 即 7.6.2 初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)現(xiàn)在我們來(lái)展開(kāi)一些常見(jiàn)的函數(shù)。例6.1 將函數(shù)展為的冪級(jí)數(shù)。解 因?yàn)樘├展降挠囗?xiàng)介于與之間，它滿(mǎn)足不等式對(duì)任一確定的，式（6.5）的余項(xiàng)以零為極限，所以，在上恒有又，故。于是例6.2 求和的展式。解 由的泰勒公式知，它的泰勒級(jí)數(shù)為 其收斂半徑為對(duì)收斂區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)，有從而得到展開(kāi)式 （6.7）對(duì)式（6.7）兩端求導(dǎo)，由展開(kāi)的惟一性，得 （6.8）例6.3有上節(jié)5.4(1)及函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)的惟 （6.9）其中。例6.4 將函數(shù)展為的冪級(jí)數(shù)，其中為任意實(shí)數(shù)。 解 如果是非負(fù)數(shù)，則根本是一多項(xiàng)式。因此，我們只考慮不是非負(fù)整數(shù)的情形。此時(shí)，在為階導(dǎo)數(shù)為 因此，其泰勒級(jí)數(shù)為其收斂半徑為 所以的泰勒級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是。在處，對(duì)不同的，斂散性不同。 為了避免討論余項(xiàng)的極限，設(shè)在內(nèi)它的和函數(shù)為，即設(shè)下面證明。由逐項(xiàng)積分兩邊同乘以后，右邊方括號(hào)內(nèi)的系數(shù)為于是，有微分方程滿(mǎn)足條件。由分離變量法，得 故有展開(kāi)式 （6.10）其中。 式（6.10）稱(chēng)為牛頓二項(xiàng)展開(kāi)式，當(dāng)為正正數(shù)時(shí)，式（6.10）便是代數(shù)中的二項(xiàng)公式。當(dāng)時(shí)，依次有展開(kāi)式 （6.11） （6.12） 例6.5 求的馬克勞林展開(kāi)式解 由于 令，則逐項(xiàng)積分，得 7.6.3 冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用舉例 有了函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，就可以方便地解決函數(shù)的多項(xiàng)式逼近和函數(shù)的緝私計(jì)算問(wèn)題。同時(shí)，因冪級(jí)數(shù)可以表達(dá)一些非初等函數(shù)，使一些積分和微分方程問(wèn)題得到完滿(mǎn)的解決。下面通過(guò)一些例子來(lái)說(shuō)明。例6.6 計(jì)算的值，精確到小數(shù)點(diǎn)后第四位（即誤差）。解 因?yàn)?所以，當(dāng)時(shí)，有 若取前項(xiàng)近似計(jì)算，其截?cái)嗾`差要使，只需取。于是 例6.7 計(jì)算的近似值，精確到。解 我們知道，函數(shù)的原函數(shù)盡管存在，但不是初等函數(shù)。有了函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)理論，我們可以把原函數(shù)表示成級(jí)數(shù)形式。 因?yàn)?所以 其中，由于，所以是通常的定積分（不是廣義積分） 令上限，得這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，若取前三項(xiàng)作為近似值，其截?cái)嗾`差 故 例6.8 求初值問(wèn)題解 設(shè)所求的解為 由初始條件知，所以將其代入方程，得恒等式比較兩邊的同次冪的稀疏，得于是所求之解為 下面的例子是利用冪級(jí)數(shù)求數(shù)值級(jí)數(shù)的和。例6.9 求數(shù)值級(jí)數(shù)的和。解 這個(gè)數(shù)值級(jí)數(shù)是冪級(jí)數(shù)在時(shí)對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)。顯然，這個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。先求此冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。因?yàn)閺亩?最后討論對(duì)數(shù)的近似計(jì)算。式（6.9）給出了函數(shù)的馬克老林展開(kāi)，但應(yīng)用式（6.9）計(jì)算自然對(duì)數(shù)的近似值有兩個(gè)缺點(diǎn)：一是的變換范圍太?。欢鞘諗克俣忍?，因此他沒(méi)有使用價(jià)值。為此，在式（6.9）的基礎(chǔ)上構(gòu)造一個(gè)新的級(jí)數(shù)，既擴(kuò)大的變化范圍，又提高收斂速度。具體做法如下。 在式（6.9）中，以替代，有 （6.13）將式（6.9）與式（6.13）的等號(hào)兩端分別相減，有或 （6.14）令 ，有 將代入式（6.9）中，有 或 （6.15）由級(jí)數(shù)（6.15）可知：一方面，應(yīng)用遞推方法，能求出任意自然數(shù)的自然對(duì)數(shù)；另一方面，提高了級(jí)數(shù)收斂的速度，即取很少項(xiàng)的部分和就能達(dá)到