導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.doc

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)：1、理解導(dǎo)數(shù)定義，會(huì)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)在運(yùn)動(dòng)學(xué)、幾何學(xué)方面的意義解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題；2、了解可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等性質(zhì)； 3、會(huì)將一些數(shù)列、三角、不等式、解析幾何等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題并用導(dǎo)數(shù)解決，提高導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用意識(shí)。教學(xué)過(guò)程：一、函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和意義1、函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)存在，記為。2、問(wèn)題1：半徑為的金屬圓盤(pán)受熱膨脹，已知半徑以的速度均勻增大，則當(dāng)它的半徑等于時(shí)，圓盤(pán)面積增長(zhǎng)的速度是多少？ 分析：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的意義即該點(diǎn)處函數(shù)值的瞬時(shí)變化率。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)應(yīng)瞬時(shí)速度，在幾何學(xué)中則對(duì)應(yīng)曲線的切線的斜率。解法一：時(shí)，半徑等于時(shí)，圓盤(pán)面積增長(zhǎng)的速度是。解法二：令秒后金屬圓盤(pán)的半徑為，面積為，則， ，時(shí)， ，半徑等于時(shí)，圓盤(pán)面積增長(zhǎng)的速度是。解法三：，而，時(shí)，。3、問(wèn)題2：已知函數(shù)的圖象與軸相切，則。解：時(shí)，圖象與軸相切于點(diǎn)，。二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1、問(wèn)題3：（00高考改編）已知，若在上是單調(diào)函數(shù)，則確定其單調(diào)性并求出的范圍。解法一：任取且；則；時(shí)，在上是單調(diào)遞減函數(shù)；而時(shí)，但，在上不是單調(diào)函數(shù)；綜上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)遞減函數(shù)。解法二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，恒成立，在上是單調(diào)遞減函數(shù)；而時(shí)，的符號(hào)可正可負(fù)，不是單調(diào)區(qū)間；綜上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)遞減函數(shù)。注意：本題也可以比較和的圖象得到答案，體會(huì)確定函數(shù)單調(diào)性的多種途徑。另外，同學(xué)們可再利用導(dǎo)數(shù)討論在上的值域。體會(huì)導(dǎo)數(shù)作為一個(gè)重要的工具，它給研究函數(shù)帶來(lái)的便利。三、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用1、問(wèn)題4：數(shù)列滿(mǎn)足，則數(shù)列中第項(xiàng)最大。2、問(wèn)題5：用導(dǎo)數(shù)證明：（1）若，則。 （2）已知：兩定點(diǎn)A，B相距，求證：過(guò)點(diǎn)A、B的圓的劣弧中，半徑越大則弧長(zhǎng)越短。分析：一些不等式、數(shù)列、三角、幾何問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，再利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究相應(yīng)函數(shù)，進(jìn)而解決問(wèn)題。這種做法的關(guān)鍵在于合理構(gòu)造函數(shù)。解：（1）設(shè)，則，時(shí)恒有，因此，在上單調(diào)遞減，時(shí)，即；再設(shè)（下略）（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A、B的圓的劣弧所對(duì)圓心角為，則半徑，所以弧長(zhǎng)，；，時(shí)，在上單調(diào)遞增；若過(guò)點(diǎn)A、B的兩段圓的劣弧所在圓半徑分別為且，劣弧所對(duì)圓心角分別為，由知，因此，過(guò)點(diǎn)A、B的圓的劣弧中，半徑越大則弧長(zhǎng)越短。回顧：若不以為自變量建立函數(shù)，而以半徑R為自變量，則，難以證明其單調(diào)性，所以，構(gòu)造函數(shù)必須是合理的。四、小結(jié)：1、 解決運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度、加速度問(wèn)題有助于加深對(duì)導(dǎo)數(shù)定義的理解；2、 確定函數(shù)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的方法有：利用單調(diào)函數(shù)的定義、利用函數(shù)圖象、利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)、利用可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；確定了單調(diào)性，求函數(shù)值域就比較方便了。3、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用關(guān)鍵在于正確、合理建立函數(shù)關(guān)系式。五、課后練習(xí)1、 兩輛汽車(chē)從A地同時(shí)發(fā)車(chē)，甲車(chē)沿正東方向直線行駛，小時(shí)后距A地公里，乙車(chē)沿北偏西方向直線行駛，小時(shí)后距A地公里，求發(fā)車(chē)兩小時(shí)后，兩車(chē)相離的速度和加速度。2、 向球形氣球每秒充氣，當(dāng)氣球半徑為時(shí)，半徑增長(zhǎng)的速度為。3、 已知函數(shù)的圖象與直線相切，則。4、已知函數(shù) ，(1) 若在上是增函數(shù)，求的取值范圍