2017年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)?。ê馕霭妫?/h1>

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IP屬地：黑龍江 上傳時(shí)間：2020-02-04 格式：PDF 頁(yè)數(shù)：14 大?。?38.35KB 積分：12 舉報(bào) 版權(quán)申訴

第 1頁(yè) 共 14頁(yè) 2017 年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷 理科 新課標(biāo) 年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷 理科 新課標(biāo) 一 選擇題 本大題共一 選擇題 本大題共 12 小題 每小題小題 每小題 5 分 共分 共 60 分 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只有一項(xiàng)是符 合題目要求的 分 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只有一項(xiàng)是符 合題目要求的 1 5 分 已知集合 A x x 1 B x 3x 1 則 A A B x x 0 B A B RC A B x x 1 D A B 2 5 分 如圖 正方形 ABCD 內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖 正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色 部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱(chēng) 在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn) 則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是 A B C D 3 5 分 設(shè)有下面四個(gè)命題 p1 若復(fù)數(shù) z 滿足 R 則 z R p2 若復(fù)數(shù) z 滿足 z2 R 則 z R p3 若復(fù)數(shù) z1 z2滿足 z1z2 R 則 z1 p4 若復(fù)數(shù) z R 則 R 其中的真命題為 A p1 p3B p1 p4C p2 p3D p2 p4 4 5 分 記 Sn為等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 若 a4 a5 24 S6 48 則 an 的公差為 A 1B 2C 4D 8 5 5 分 函數(shù) f x 在 單調(diào)遞減 且為奇函數(shù) 若 f 1 1 則滿足 1 f x 2 1 的 x 的取值范圍是 A 2 2 B 1 1 C 0 4 D 1 3 6 5 分 1 1 x 6展開(kāi)式中 x2的系數(shù)為 A 15B 20C 30D 35 7 5 分 某多面體的三視圖如圖所示 其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成 正 方形的邊長(zhǎng)為 2 俯視圖為等腰直角三角形 該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形 這些梯形的面 積之和為 A 10B 12C 14D 16 8 5 分 如圖程序框圖是為了求出滿足 3n 2n 1000 的最小偶數(shù) n 那么在和兩個(gè) 空白框中 可以分別填入 A A 1000 和 n n 1B A 1000 和 n n 2 C A 1000 和 n n 1D A 1000 和 n n 2 9 5 分 已知曲線 C1 y cosx C2 y sin 2x 則下面結(jié)論正確的是 A 把 C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的 2 倍 縱坐標(biāo)不變 再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng) 度 得到曲線 C2 B 把 C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的 2 倍 縱坐標(biāo)不變 再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng) 度 得到曲線 C2 C 把 C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍 縱坐標(biāo)不變 再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 第 2頁(yè) 共 14頁(yè) 得到曲線 C2 D 把 C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍 縱坐標(biāo)不變 再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 得到曲線 C2 10 5 分 已知 F 為拋物線 C y2 4x 的焦點(diǎn) 過(guò) F 作兩條互相垂直的直線 l1 l2 直線 l1與 C 交于 A B 兩點(diǎn) 直線 l2與 C 交于 D E 兩點(diǎn) 則 AB DE 的最小值為 A 16B 14C 12D 10 11 5 分 設(shè) x y z 為正數(shù) 且 2x 3y 5z 則 A 2x 3y 5zB 5z 2x 3yC 3y 5z 2xD 3y 2x 5z 12 5 分 幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召 開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件 為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 他 們推出了 解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼 的活動(dòng) 這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案 已知數(shù)列 1 1 2 1 2 4 1 2 4 8 1 2 4 8 16 其中第一項(xiàng)是 20 接下來(lái)的兩項(xiàng)是 20 21 再接下來(lái)的三項(xiàng)是 20 21 22 依此類(lèi)推 求滿足如下條件的最小整數(shù) N N 100 且該數(shù)列的前 N 項(xiàng)和為 2 的整數(shù)冪 那么該款軟件的激活碼是 A 440B 330C 220D 110 二 填空題 本題共二 填空題 本題共 4 小題 每小題小題 每小題 5 分 共分 共 20 分 分 13 5 分 已知向量 的夾角為 60 2 1 則 2 14 5 分 設(shè) x y 滿足約束條件 則 z 3x 2y 的最小值為 15 5 分 已知雙曲線 C 1 a 0 b 0 的右頂點(diǎn)為 A 以 A 為圓心 b 為半徑作圓 A 圓 A 與雙曲線 C 的一條漸近線交于 M N 兩點(diǎn) 若 MAN 60 則 C 的離心率為 16 5 分 如圖 圓形紙片的圓心為 O 半徑為 5cm 該紙片上的等邊三角形 ABC 的中心為 O D E F 為圓 O 上的點(diǎn) DBC ECA FAB 分別是以 BC CA AB 為底邊的等腰三角形 沿虛線剪開(kāi) 后 分別以 BC CA AB 為折痕折起 DBC ECA FAB 使得 D E F 重合 得到三棱錐 當(dāng) ABC 的邊長(zhǎng)變化時(shí) 所得三棱錐體積 單位 cm3 的最大值為 三 解答題 共三 解答題 共 70 分 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明 證明過(guò)程或演算步驟 第分 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明 證明過(guò)程或演算步驟 第 17 21 題為必考題 每個(gè)試 題考生都必須作答 第 題為必考題 每個(gè)試 題考生都必須作答 第 22 23 題為選考題 考生根據(jù)要求作答 題為選考題 考生根據(jù)要求作答 17 12 分 ABC 的內(nèi)角 A B C 的對(duì)邊分別為 a b c 已知 ABC 的面積為 1 求 sinBsinC 2 若 6cosBcosC 1 a 3 求 ABC 的周長(zhǎng) 18 12 分 如圖 在四棱錐 P ABCD 中 AB CD 且 BAP CDP 90 1 證明 平面 PAB 平面 PAD 2 若 PA PD AB DC APD 90 求二面角 A PB C 的余弦值 19 12 分 為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程 檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取 16 個(gè)零 件 并測(cè)量其尺寸 單位 cm 根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn) 可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件 的尺寸服從正態(tài)分布 N 2 1 假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常 記 X 表示一天內(nèi)抽取的 16 個(gè)零件中其尺寸在 3 3 之外的零件 數(shù) 求 P X 1 及 X 的數(shù)學(xué)期望 2 一天內(nèi)抽檢零件中 如果出現(xiàn)了尺寸在 3 3 之外的零件 就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一 天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況 需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查 第 3頁(yè) 共 14頁(yè) 試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性 下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的 16 個(gè)零件的尺寸 9 9510 129 969 9610 019 929 9810 04 10 269 9110 1310 029 2210 0410 059 95 經(jīng)計(jì)算得 9 97 s 0 212 其中 xi為抽取的第 i 個(gè) 零件的尺寸 i 1 2 16 用樣本平均數(shù) 作為 的估計(jì)值 用樣本標(biāo)準(zhǔn)差 s 作為 的估計(jì)值 利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天 的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查 剔除 3 3 之外的數(shù)據(jù) 用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì) 和 精確到 0 01 附 若隨機(jī)變量 Z 服從正態(tài)分布 N 2 則 P 3 Z 3 0 9974 0 997416 0 9592 0 09 20 12 分 已知橢圓 C 1 a b 0 四點(diǎn) P1 1 1 P2 0 1 P3 1 P4 1 中恰有三點(diǎn)在橢圓 C 上 1 求 C 的方程 2 設(shè)直線 l 不經(jīng)過(guò) P2點(diǎn)且與 C 相交于 A B 兩點(diǎn) 若直線 P2A 與直線 P2B 的斜率的和為 1 證明 l 過(guò)定點(diǎn) 21 12 分 已知函數(shù) f x ae2x a 2 ex x 1 討論 f x 的單調(diào)性 2 若 f x 有兩個(gè)零點(diǎn) 求 a 的取值范圍 選修 選修 4 4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 22 10 分 在直角坐標(biāo)系 xOy 中 曲線 C 的參數(shù)方程為 為參數(shù) 直線 l 的參數(shù)方程 為 t 為參數(shù) 1 若 a 1 求 C 與 l 的交點(diǎn)坐標(biāo) 2 若 C 上的點(diǎn)到 l 距離的最大值為 求 a 第 4頁(yè) 共 14頁(yè) 選修 選修 4 5 不等式選講 不等式選講 23 已知函數(shù) f x x2 ax 4 g x x 1 x 1 1 當(dāng) a 1 時(shí) 求不等式 f x g x 的解集 2 若不等式 f x g x 的解集包含 1 1 求 a 的取值范圍 第 5頁(yè) 共 14頁(yè) 2017 年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷 理科 新課標(biāo) 年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷 理科 新課標(biāo) 參考答案與試題解析參考答案與試題解析 一 選擇題 本大題共一 選擇題 本大題共 12 小題 每小題小題 每小題 5 分 共分 共 60 分 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只有一項(xiàng)是符 合題目要求的 分 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只有一項(xiàng)是符 合題目要求的 1 考點(diǎn) 交集及其運(yùn)算 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 先分別求出集合 A 和 B 再求出 A B 和 A B 由此能求出結(jié)果 解答 解 集合 A x x 1 B x 3x 1 x x 0 A B x x 0 故 A 正確 D 錯(cuò)誤 A B x x 1 故 B 和 C 都錯(cuò)誤 故選 故選 A 點(diǎn)評(píng) 本題考查交集和并集求法及應(yīng)用 是基礎(chǔ)題 解題時(shí)要認(rèn)真審題 注意交集 并集定義的合 理運(yùn)用 2 考點(diǎn) 幾何概型 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 根據(jù)圖象的對(duì)稱(chēng)性求出黑色圖形的面積 結(jié)合幾何概型的概率公式進(jìn)行求解即可 解答 解 根據(jù)圖象的對(duì)稱(chēng)性知 黑色部分為圓面積的一半 設(shè)圓的半徑為 1 則正方形的邊長(zhǎng)為 2 則黑色部分的面積 S 則對(duì)應(yīng)概率 P 故選 故選 B 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查幾何概型的概率計(jì)算 根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求出黑色陰影部分的面積是解決本題的關(guān)鍵 3 考點(diǎn) 命題的真假判斷與應(yīng)用 A1 虛數(shù)單位 i 復(fù)數(shù) A5 復(fù)數(shù)的運(yùn)算 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 根據(jù)復(fù)數(shù)的分類(lèi) 有復(fù)數(shù)性質(zhì) 逐一分析給定四個(gè)命題的真假 可得答案 解答 解 若復(fù)數(shù) z 滿足 R 則 z R 故命題 p1為真命題 p2 復(fù)數(shù) z i 滿足 z2 1 R 則 z R 故命題 p2為假命題 p3 若復(fù)數(shù) z1 i z2 2i 滿足 z1z2 R 但 z1 故命題 p3為假命題 p4 若復(fù)數(shù) z R 則 z R 故命題 p4為真命題 故選 故選 B 點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體 考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算 復(fù)數(shù)的分類(lèi) 復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 難度不大 屬于基礎(chǔ)題 4 考點(diǎn) 84 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 85 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和公式列出方程組 求出首項(xiàng)和公差 由此能求出 an 的公 差 解答 解 Sn為等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 a4 a5 24 S6 48 解得 a1 2 d 4 an 的公差為 4 故選 故選 C 點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列公式的求法及應(yīng)用 是基礎(chǔ)題 解題時(shí)要認(rèn)真審題 注意等差數(shù)列的性質(zhì) 的合理運(yùn)用 5 考點(diǎn) 抽象函數(shù)及其應(yīng)用 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 由已知中函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性 可將不等式 1 f x 2 1 化為 1 x 2 1 解得 答案 解答 解 函數(shù) f x 為奇函數(shù) 若 f 1 1 則 f 1 1 又 函數(shù) f x 在 單調(diào)遞減 1 f x 2 1 f 1 f x 2 f 1 1 x 2 1 解得 x 1 3 故選 故選 D 第 6頁(yè) 共 14頁(yè) 點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用 函數(shù)的單調(diào)性 函數(shù)的奇偶性 難度中檔 6 考點(diǎn) 二項(xiàng)式定理 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 直接利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解即可 解答 解 1 1 x 6展開(kāi)式中 若 1 1 x 2 提供常數(shù)項(xiàng) 1 則 1 x 6 提供含有 x2的項(xiàng) 可得展開(kāi)式中 x2的系數(shù) 若 1 提供 x 2 項(xiàng) 則 1 x 6提供含有 x4的項(xiàng) 可得展開(kāi)式中 x2的系數(shù) 由 1 x 6通項(xiàng)公式可得 可知 r 2 時(shí) 可得展開(kāi)式中 x2的系數(shù)為 可知 r 4 時(shí) 可得展開(kāi)式中 x2的系數(shù)為 1 1 x 6展開(kāi)式中 x2的系數(shù)為 15 15 30 故選 故選 C 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的知識(shí)點(diǎn) 通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用 屬于基礎(chǔ)題 7 考點(diǎn) 由三視圖求面積 體積 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 由三視圖可得直觀圖 由圖形可知該立體圖中只有兩個(gè)相同的梯形的面 根據(jù)梯形的面積公 式計(jì)算即可 解答 解 由三視圖可畫(huà)出直觀圖 該立體圖中只有兩個(gè)相同的梯形的面 S梯形 2 2 4 6 這些梯形的面積之和為 6 2 12 故選 故選 B 點(diǎn)評(píng) 本題考查了體積計(jì)算公式 考查了推理能力與計(jì)算能力 屬于中檔題 8 考點(diǎn) 程序框圖 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 通過(guò)要求 A 1000 時(shí)輸出且框圖中在 否 時(shí)輸出確定 內(nèi)不能輸入 A 1000 進(jìn)而 通過(guò)偶數(shù)的特征確定 n n 2 解答 解 因?yàn)橐?A 1000 時(shí)輸出 且框圖中在 否 時(shí)輸出 所以 內(nèi)不能輸入 A 1000 又要求 n 為偶數(shù) 且 n 的初始值為 0 所以 中 n 依次加 2 可保證其為偶數(shù) 所以 D 選項(xiàng)滿足要求 故選 故選 D 點(diǎn)評(píng) 本題考查程序框圖 屬于基礎(chǔ)題 意在讓大部分考生得分 9 考點(diǎn) 函數(shù) y Asin x 的圖象變換 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 利用三角函數(shù)的伸縮變換以及平移變換轉(zhuǎn)化求解即可 解答 解 把 C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍 縱坐標(biāo)不變 得到函數(shù) y cos2x 圖象 再把得 到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 得到函數(shù) y cos2 x cos 2x sin 2x 的圖 象 即曲線 C2 故選 故選 D 點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象變換 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 考查計(jì)算能力 10 考點(diǎn) 拋物線的性質(zhì) 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 方法一 根據(jù)題意可判斷當(dāng) A 與 D B E 關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng) 即直線 DE 的斜率為 1 AB DE 最小 根據(jù)弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可 方法二 設(shè)直線 l1的傾斜角為 則 l2的傾斜角為 利用焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式分別表示出 AB DE 整理求得答案 第 7頁(yè) 共 14頁(yè) 解答 解 如圖 l1 l2 直線 l1與 C 交于 A B 兩點(diǎn) 直線 l2與 C 交于 D E 兩點(diǎn) 要使 AB DE 最小 則 A 與 D B E 關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng) 即直線 DE 的斜率為 1 又直線 l2過(guò)點(diǎn) 1 0 則直線 l2的方程為 y x 1 聯(lián)立方程組 則 y2 4y 4 0 y1 y2 4 y1y2 4 DE y1 y2 8 AB DE 的最小值為 2 DE 16 方法二 設(shè)直線 l1的傾斜角為 則 l2的傾斜角為 根據(jù)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得 AB DE AB DE 0 sin22 1 當(dāng) 45 時(shí) AB DE 的最小 最小為 16 故選 故選 A 點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及直線和拋物線的位置關(guān)系 弦長(zhǎng)公式 對(duì)于過(guò)焦點(diǎn)的弦 能熟練掌握相關(guān)的結(jié)論 解決問(wèn)題事半功倍屬于中檔題 11 考點(diǎn) 不等式比較大小 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 x y z 為正數(shù) 令 2x 3y 5z k 1 lgk 0 可得 x y z 可得 3y 2x 5z 根據(jù) 即可得出大小關(guān)系 另解 x y z 為正數(shù) 令 2x 3y 5z k 1 lgk 0 可得 x y z 1 可得 2x 3y 同理可得 5z 2x 解答 解 x y z 為正數(shù) 令 2x 3y 5z k 1 lgk 0 則 x y z 3y 2x 5z 第 8頁(yè) 共 14頁(yè) lg 0 3y 2x 5z 另解 x y z 為正數(shù) 令 2x 3y 5z k 1 lgk 0 則 x y z 1 可得 2x 3y 1 可得 5z 2x 綜上可得 5z 2x 3y 解法三 對(duì) k 取特殊值 也可以比較出大小關(guān)系 故選 故選 D 點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 換底公式 不等式的性質(zhì) 考查了推理能力與計(jì)算能力 屬 于中檔題 12 考點(diǎn) 數(shù)列的求和 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 方法一 由數(shù)列的性質(zhì) 求得數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和 可知當(dāng) N 為時(shí) n N 數(shù)列 an 的前 N 項(xiàng)和為數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 即為 2n 1 n 2 容易得到 N 100 時(shí) n 14 分別判斷 即可求得該款軟件的激活碼 方法二 由題意求得數(shù)列的每一項(xiàng) 及前 n 項(xiàng)和 Sn 2n 1 2 n 及項(xiàng)數(shù) 由題意可知 2n 1 為 2 的整 數(shù)冪 只需將 2 n 消去即可 分別即可求得 N 的值 解答 解 設(shè)該數(shù)列為 an 設(shè) bn 2n 1 1 n N 則 ai 由題意可設(shè)數(shù)列 an 的前 N 項(xiàng)和為 SN 數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和為 Tn 則 Tn 21 1 22 1 2n 1 1 2n 1 n 2 可知當(dāng) N 為時(shí) n N 數(shù)列 an 的前 N 項(xiàng)和為數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 即為 2n 1 n 2 容易得到 N 100 時(shí) n 14 A 項(xiàng) 由 435 440 435 5 可知 S440 T29 b5 230 29 2 25 1 230 故 A 項(xiàng)符合題意 B 項(xiàng) 仿上可知 325 可知 S330 T25 b5 226 25 2 25 1 226 4 顯然不為 2 的整數(shù)冪 故 B 項(xiàng)不符合題意 C 項(xiàng) 仿上可知 210 可知 S220 T20 b10 221 20 2 210 1 221 210 23 顯然不為 2 的整數(shù)冪 故 C 項(xiàng)不符合題意 D 項(xiàng) 仿上可知 105 可知 S110 T14 b5 215 14 2 25 1 215 15 顯然不為 2 的整數(shù)冪 故 D 項(xiàng)不符合題意 故選故選 A 方法二 由題意可知 根據(jù)等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式 求得每項(xiàng)和分別為 21 1 22 1 23 1 2n 1 每項(xiàng)含有的項(xiàng)數(shù)為 1 2 3 n 總共的項(xiàng)數(shù)為 N 1 2 3 n 所有項(xiàng)數(shù)的和為 Sn 21 1 22 1 23 1 2n 1 21 22 23 2n n n 2n 1 2 n 由題意可知 2n 1 為 2 的整數(shù)冪 只需將 2 n 消去即可 則 1 2 2 n 0 解得 n 1 總共有 2 3 不滿足 N 100 1 2 4 2 n 0 解得 n 5 總共有 3 18 不滿足 N 100 1 2 4 8 2 n 0 解得 n 13 總共有 4 95 不滿足 N 100 1 2 4 8 16 2 n 0 解得 n 29 總共有 5 440 滿足 N 100 該款軟件的激活碼 440 故選 故選 A 點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的應(yīng)用 等差數(shù)列與等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 考查計(jì)算能力 屬于難題 二 填空題 本題共二 填空題 本題共 4 小題 每小題小題 每小題 5 分 共分 共 20 分 分 13 2 考點(diǎn) 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 根據(jù)平面向量的數(shù)量積求出模長(zhǎng)即可 第 9頁(yè) 共 14頁(yè) 解答 解 解法一 向量 的夾角為 60 且 2 1 4 4 22 4 2 1 cos60 4 12 12 2 2 解法二 根據(jù)題意畫(huà)出圖形 如圖所示 結(jié)合圖形 2 在 OAC 中 由余弦定理得 2 即 2 2 故答案為 2 點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用問(wèn)題 解題時(shí)應(yīng)利用數(shù)量積求出模長(zhǎng) 是基礎(chǔ)題 14 5 考點(diǎn) 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 由約束條件作出可行域 由圖得到最優(yōu)解 求出最優(yōu)解的坐標(biāo) 數(shù)形結(jié)合得答案 解答 解 由 x y 滿足約束條件作出可行域如圖 由圖可知 目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解為 A 聯(lián)立 解得 A 1 1 z 3x 2y 的最小值為 3 1 2 1 5 故答案為 5 點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃 考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法 是中檔題 15 考點(diǎn) 雙曲線的性質(zhì) 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 利用已知條件 轉(zhuǎn)化求解 A 到漸近線的距離 推出 a c 的關(guān)系 然后求解雙曲線的離心率 即可 解答 解 雙曲線 C 1 a 0 b 0 的右頂點(diǎn)為 A a 0 以 A 為圓心 b 為半徑做圓 A 圓 A 與雙曲線 C 的一條漸近線交于 M N 兩點(diǎn) 若 MAN 60 可得 A 到漸近線 bx ay 0 的距離為 bcos30 可得 即 可得離心率為 e 故答案為 點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用 點(diǎn)到直線的距離公式以及圓的方程的應(yīng)用 考查轉(zhuǎn)化思 想以及計(jì)算能力 16 4cm3 第 10頁(yè) 共 14頁(yè) 考點(diǎn) 棱柱 棱錐 棱臺(tái)的體積 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 法一 由題 連接 OD 交 BC 于點(diǎn) G 由題意得 OD BC OG BC 設(shè) OG x 則 BC 2x DG 5 x 三棱錐的高 h 求出 S ABC 3 V 令 f x 25x4 10 x5 x 0 f x 100 x3 50 x4 f x f 2 80 由此能求出體積最大值 法 二 設(shè) 正 三 角 形 的 邊 長(zhǎng) 為x 則OG FG SG 5 SO h 由此能示出三棱錐的體積的最大值 解答 解法一 由題意 連接 OD 交 BC 于點(diǎn) G 由題意得 OD BC OG BC 即 OG 的長(zhǎng)度與 BC 的長(zhǎng)度成正比 設(shè) OG x 則 BC 2x DG 5 x 三棱錐的高 h 3 則 V 令 f x 25x4 10 x5 x 0 f x 100 x3 50 x4 令 f x 0 即 x4 2x3 0 解得 x 2 則 f x f 2 80 V 4cm3 體積最大值為 4cm3 故答案為 4cm3 解法二 如圖 設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為 x 則 OG FG SG 5 SO h 三棱錐的體積 V 令 b x 5x4 則 令 b x 0 則 4x3 0 解得 x 4 cm3 故答案為 4cm3 點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐的體積的最大值的求法 考查空間中線線 線面 面面間的位置關(guān)系 函數(shù) 性質(zhì) 導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí) 考查推理論證能力 運(yùn)算求解能力 空間想象能力 考查數(shù)形結(jié)合思想 化歸與轉(zhuǎn)化思想 是中檔題 三 解答題 共三 解答題 共 70 分 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明 證明過(guò)程或演算步驟 第分 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明 證明過(guò)程或演算步驟 第 17 21 題為必考題 每個(gè)試 題考生都必須作答 第 題為必考題 每個(gè)試 題考生都必須作答 第 22 23 題為選考題 考生根據(jù)要求作答 題為選考題 考生根據(jù)要求作答 17 解答 解 1 由三角形的面積公式可得 S ABC acsinB 3csinBsinA 2a 由正弦定理可得 3sinCsinBsinA 2sinA sinA 0 sinBsinC 第 11頁(yè) 共 14頁(yè) 2 6cosBcosC 1 cosBcosC cosBcosC sinBsinC cos B C cosA 0 A A 2R 2 sinBsinC bc 8 a2 b2 c2 2bccosA b2 c2 bc 9 b c 2 9 3cb 9 24 33 b c 周長(zhǎng) a b c 3 點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的面積公式和兩角和的余弦公式和誘導(dǎo)公式和正弦定理余弦定理 考查了 學(xué)生的運(yùn)算能力 屬于中檔題 18 解答 1 證明 BAP CDP 90 PA AB PD CD AB CD AB PD 又 PA PD P 且 PA 平面 PAD PD 平面 PAD AB 平面 PAD 又 AB 平面 PAB 平面 PAB 平面 PAD 2 解 AB CD AB CD 四邊形 ABCD 為平行四邊形 由 1 知 AB 平面 PAD AB AD 則四邊形 ABCD 為矩形 在 APD 中 由 PA PD APD 90 可得 PAD 為等腰直角三角形 設(shè) PA AB 2a 則 AD 取 AD 中點(diǎn) O BC 中點(diǎn) E 連接 PO OE 以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn) 分別以 OA OE OP 所在直線為 x y z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 則 D B P 0 0 C 設(shè)平面 PBC 的一個(gè)法向量為 由 得 取 y 1 得 AB 平面 PAD AD 平面 PAD AB PD 又 PD PA PA AB A PD 平面 PAB 則為平面 PAB 的一個(gè)法向量 cos 由圖可知 二面角 A PB C 為鈍角 二面角 A PB C 的余弦值為 點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定 考查空間想象能力和思維能力 訓(xùn)練了利用空間向量求二 面角的平面角 是中檔題 19 解答 解 1 由題可知尺寸落在 3 3 之內(nèi)的概率為 0 9974 則落在 3 3 之外的概率為 1 0 9974 0 0026 因?yàn)?P X 0 1 0 9974 0 0 997416 0 9592 第 12頁(yè) 共 14頁(yè) 所以 P X 1 1 P X 0 0 0408 又因?yàn)?X B 16 0 0026 所以 E X 16 0 0026 0 0416 2 如果生產(chǎn)狀態(tài)正常 一個(gè)零件尺寸在 3 3 之外的概率只有 0 0026 一天 內(nèi)抽取的 16 個(gè)零件中 出現(xiàn)尺寸在 3 3 之外的零件的概率只有 0 0408 發(fā)生的 概率很小 因此一旦發(fā)生這種狀況 就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常 情況 需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查 可見(jiàn)上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法是合理的 由 9 97 s 0 212 得 的估計(jì)值為 9 97 的估計(jì)值為 0 212 由樣本數(shù)據(jù)可以看出一 個(gè) 零件的尺寸在 3 3 之外 因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查 剔除 3 3 之外的數(shù)據(jù) 9 22 剩下的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 16 9 97 9 22 10 02 因此 的估計(jì)值為 10 02 2 16 0 2122 16 9 972 1591 134 剔除 3 3 之外的數(shù)據(jù) 9 22 剩下的數(shù)據(jù)的樣本方差為 1591 134 9 222 15 10 022 0 008 因此 的估計(jì)值為 0 09 點(diǎn)評(píng) 本題考查正態(tài)分布 考查二項(xiàng)分布 考查方差 標(biāo)準(zhǔn)差 考查概率的計(jì)算 考查運(yùn)算求解能 力 注意解題方法的積累 屬于中檔題 20 解答 解 1 根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性 P3 1 P4 1 兩點(diǎn)必在橢圓 C 上 又 P4的橫坐標(biāo)為 1 橢圓必不過(guò) P1 1 1 P2 0 1 P3 1 P4 1 三點(diǎn)在橢圓 C 上 把 P2 0 1 P3 1 代入橢圓 C 得 解得 a2 4 b2 1 橢圓 C 的方程為 1 證明 2 當(dāng)斜率不存在時(shí) 設(shè) l x m A m yA B m yA 直線 P2A 與直線 P2B 的斜率的和為 1 1 解得 m 2 此時(shí) l 過(guò)橢圓右頂點(diǎn) 不存在兩個(gè)交點(diǎn) 故不滿足 當(dāng)斜率存在時(shí) 設(shè) l y kx t t 1 A x1 y1 B x2 y2 聯(lián)立 整理 得 1 4k2 x2 8ktx 4t2 4 0 x1x2 則 1 又 t 1 t 2k 1 此時(shí) 64k 存在 k 使得 0 成立 直線 l 的方程為 y kx 2k 1 當(dāng) x 2 時(shí) y 1 l 過(guò)定點(diǎn) 2 1 點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法 考查橢圓 直線方程 根的判別式 韋達(dá)定理 直線方程位置關(guān) 系等基礎(chǔ)知識(shí) 考查推理論證能力 運(yùn)算求解能力 考查函數(shù)與方程思想 化歸與轉(zhuǎn)化思想 是中 檔題 21 解答 解 1 由 f x ae2x a 2 ex x 求導(dǎo) f x 2ae2x a 2 ex 1 當(dāng) a 0 時(shí) f x 2ex 1 0 第 13頁(yè) 共 14頁(yè) 當(dāng) x R f x 單調(diào)遞減 當(dāng) a 0 時(shí) f x 2ex 1 aex 1 2a ex ex 令 f x 0 解得 x ln 當(dāng) f x 0 解得 x ln 當(dāng) f x 0 解得 x ln x ln 時(shí) f x 單調(diào)遞減 x ln 單調(diào)遞增 當(dāng) a 0 時(shí) f x 2a ex ex 0 恒成立 當(dāng) x R f x 單調(diào)遞減 綜上可知 當(dāng) a 0 時(shí) f x 在 R 單調(diào)減函數(shù) 當(dāng) a 0 時(shí) f x 在 ln 是減函數(shù) 在 ln 是增函數(shù) 2 若 a 0 時(shí) 由 1 可知 f x 最多有一個(gè)零點(diǎn) 當(dāng) a 0 時(shí) f x ae2x a 2 ex x 當(dāng) x 時(shí) e2x 0 ex 0 當(dāng) x 時(shí) f x 當(dāng) x e2x 且遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 ex和 x 當(dāng) x f x 函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn) f x 的最小值小于 0 即可 由 f x 在 ln 是減函數(shù) 在 ln 是增函數(shù) f x min f ln a a 2 ln 0 1 ln 0 即 ln 1 0 設(shè) t 則 g t lnt t 1 t 0 求導(dǎo) g t 1 由 g 1 0 t 1 解得 0 a 1 a 的取值范圍 0 1 方法二 1 由 f x ae2x a 2 ex x 求導(dǎo) f x 2ae2x a 2 ex 1 當(dāng) a 0 時(shí) f x 2ex 1 0 當(dāng) x R f x 單調(diào)遞減 當(dāng) a 0 時(shí) f x 2ex 1 aex 1 2a ex ex 令 f x 0 解得 x lna 當(dāng) f x 0 解得 x lna 當(dāng) f x 0 解得 x lna x lna