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文檔簡介
8.1.2向量數(shù)量積的運(yùn)算律(教師獨(dú)具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn):理解掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律,并能運(yùn)用性質(zhì)和運(yùn)算律進(jìn)行簡單的應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn):向量數(shù)量積的性質(zhì)與運(yùn)算律及其應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律的證明.【知識導(dǎo)學(xué)】知識點(diǎn)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律已知向量a,b,c與實(shí)數(shù),則交換律abba結(jié)合律(a)b(ab)a(b)分配律(ab)cacbc【新知拓展】對向量數(shù)量積的運(yùn)算律的幾點(diǎn)說明(1)向量數(shù)量積不滿足消去律:設(shè)a,b,c均為非零向量且acbc,不能得到ab.事實(shí)上,如圖所示,a,b,c,ABOC于D,可以看出,a,b在向量c上的投影分別為|a|cosAOD,|b|cosBOD,此時|b|cosBOD|a|cosAODOD.即acbc.但很顯然ba.(2)向量的數(shù)量積不滿足乘法結(jié)合律:一般地,向量的數(shù)量積(ab)ca(bc),這是由于ab,bc都是實(shí)數(shù),(ab)c表示與c方向相同或相反的向量,a(bc)表示與a方向相同或相反的向量,而a與c不一定共線1判一判(正確的打“”,錯誤的打“”)(1)對于向量a,b,c等式(ab)ca(bc)恒成立()(2)若abac,則bc,其中a0.()(3)(ab)(ab)a2b2.()答案(1)(2)(3)2做一做(1)已知|a|2,b在a上的投影的數(shù)量為2,則a(ab)_.(2)已知|a|3,|b|4,則(ab)(ab)_.(3)已知|a|6,|b|8,a,b120,則|a2b2|_,|ab|_,|a2b2|_.答案(1)8(2)7(3)282100題型一 求向量的夾角例1已知單位向量e1,e2的夾角為60,求向量ae1e2,be22e1的夾角解設(shè)a,b的夾角為,單位向量的夾角為60,e1e2|e1|e2|cos60.ab(e1e2)(e22e1)e1e2e2e2e1e2e2ee1e212,|a| .|b| .cos.0,120.金版點(diǎn)睛求向量a,b夾角的思路(1)解題流程(2)解題思想:由于|a|,|b|及ab都是實(shí)數(shù),因此在涉及有關(guān)|a|,|b|及ab的相應(yīng)等式中,可用方程的思想求解(或表示)未知量已知|a|3,|b|5,|ab|7,求ab及a與b的夾角解|ab|7,(ab)2a22abb2|a|22ab|b|2342ab49,ab.設(shè)a與b的夾角為,則cos.又0,故a與b的夾角60.題型二 求向量的模例2已知x1是方程x2|a|xab0的根,且a24,a,b120.求:(1)向量b的模;(2)向量b的模解(1)a24,|a|24,即|a|2.把x1代入方程x2|a|xab0,得1|a|ab0,ab3,則ab|a|b|cosa,b2|b|cos1203,|b|3.(2)由(1)知|b|3,|b|b|3|.金版點(diǎn)睛極化恒等式求模長(1)兩個結(jié)論(ab)2a22abb2;(ab)(ab)a2b2.證明(ab)2(ab)(ab)aaabbabba22abb2.(ab)(ab)aaabbabba2b2.說明:下列結(jié)論也是成立的:(ab)2a22abb2,(ab)(cd)acadbcbd.(2)由上述結(jié)論,我們不難得到4ab(ab)2(ab)2,即ab(ab)2(ab)2我們把該恒等式稱為“極化恒等式”(3)應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求向量的模的方法求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模平方,與向量數(shù)量積聯(lián)系,并靈活應(yīng)用a2|a|2,勿忘記開方一些常見的等式應(yīng)熟記,如(ab)2a22abb2,(ab)(ab)a2b2等提醒:向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù);一個向量自身的數(shù)量積,等于它模的平方(1)已知|a|6,|b|1,ab9,則a,b()A120B150C60D30(2)已知|a|b|5,向量a與b的夾角為,求|ab|,|ab|.答案(1)B(2)見解析解析(1)cosa,b,又0a,b180,所以a,b150,故選B.(2)解法一:|ab| 5.|ab| 5.解法二:以a,b為鄰邊作ABCD,設(shè)AC,BD相交于點(diǎn)E,如圖所示|a|b|且DAB,ABD為正三角形,|ab|5,|ab|2|2 2 5.題型三 用向量數(shù)量積解決垂直問題例3已知平面上三個向量a,b,c的模均為1,它們相互之間的夾角為120,求證:(ab)c.證明證法一:|a|b|c|1,且a,b,c之間的夾角均為120,(ab)cacbc|a|c|cos120|b|c|cos1200.(ab)c.證法二:如圖,設(shè)a,b,c,連接AB,AC,BC的三條線段圍成正三角形ABC,O為ABC的中心,OCAB.又ab,(ab)c.金版點(diǎn)睛要解決的問題是用向量表示,它往往對應(yīng)一個幾何圖形;如果是幾何的形式表示,它往往對應(yīng)一個向量關(guān)系式要善于發(fā)現(xiàn)這二者之間的關(guān)系,從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式,用哪種形式解決問題方便就選用哪種形式若O為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足()(2)0,則ABC的形狀為()A正三角形B直角三角形C等腰三角形DA,B,C均不是答案C解析由()(2)0,得()0,又,()()0,即|2|20.|.ABC為等腰三角形1若向量a的方向是正北方向,向量b的方向是西偏南30方向,且|a|b|1,則(3a)(ab)等于()A.BC.D答案B解析由題意知a與b的夾角為120,ab.(3a)(ab)3a23ab.2若向量a與b的夾角為60,|b|4,(a2b)(a3b)72,則向量a的模是()A2B4C6D12答案C解析(a2b)(a3b)a2ab6b2|a|2|a|461672.解得|a|6.3已知a,b均為單位向量,它們的夾角為60,那么|ab|等于()A1B.C.D2答案A解析|ab|1.4已知a,b,c為單位向量,且滿足3ab7c0,a與b的夾角為,則實(shí)數(shù)_.答案8或5解析由3ab7c0,可得7c(3ab),則49c29a22b26ab.由a,b,c為單位向量,得a2b2c21,則49926cos,即23400,解得8或5.5已知|a|4,|b|3,(2a3b)(2ab)61,(1)求a與b的夾角
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