高中數(shù)學(xué)第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換8.1向量的數(shù)量積8.1.2向量數(shù)量積的運算律教案新人教B版.docx

8.1.2向量數(shù)量積的運算律(教師獨具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：理解掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運算律，并能運用性質(zhì)和運算律進(jìn)行簡單的應(yīng)用教學(xué)重點：向量數(shù)量積的性質(zhì)與運算律及其應(yīng)用教學(xué)難點：平面向量數(shù)量積的運算律的證明.【知識導(dǎo)學(xué)】知識點平面向量數(shù)量積的運算律已知向量a，b，c與實數(shù)，則交換律abba結(jié)合律(a)b(ab)a(b)分配律(ab)cacbc【新知拓展】對向量數(shù)量積的運算律的幾點說明(1)向量數(shù)量積不滿足消去律：設(shè)a，b，c均為非零向量且acbc，不能得到ab.事實上，如圖所示，a，b，c，ABOC于D，可以看出，a，b在向量c上的投影分別為|a|cosAOD，|b|cosBOD，此時|b|cosBOD|a|cosAODOD.即acbc.但很顯然ba.(2)向量的數(shù)量積不滿足乘法結(jié)合律：一般地，向量的數(shù)量積(ab)ca(bc)，這是由于ab，bc都是實數(shù)，(ab)c表示與c方向相同或相反的向量，a(bc)表示與a方向相同或相反的向量，而a與c不一定共線1判一判(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)對于向量a，b，c等式(ab)ca(bc)恒成立()(2)若abac，則bc，其中a0.()(3)(ab)(ab)a2b2.()答案(1)(2)(3)2做一做(1)已知|a|2，b在a上的投影的數(shù)量為2，則a(ab)_.(2)已知|a|3，|b|4，則(ab)(ab)_.(3)已知|a|6，|b|8，a，b120，則|a2b2|_，|ab|_，|a2b2|_.答案(1)8(2)7(3)282100題型一 求向量的夾角例1已知單位向量e1，e2的夾角為60，求向量ae1e2，be22e1的夾角解設(shè)a，b的夾角為，單位向量的夾角為60，e1e2|e1|e2|cos60.ab(e1e2)(e22e1)e1e2e2e2e1e2e2ee1e212，|a| .|b| .cos.0，120.金版點睛求向量a，b夾角的思路(1)解題流程(2)解題思想：由于|a|，|b|及ab都是實數(shù)，因此在涉及有關(guān)|a|，|b|及ab的相應(yīng)等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量已知|a|3，|b|5，|ab|7，求ab及a與b的夾角解|ab|7，(ab)2a22abb2|a|22ab|b|2342ab49，ab.設(shè)a與b的夾角為，則cos.又0，故a與b的夾角60.題型二 求向量的模例2已知x1是方程x2|a|xab0的根，且a24，a，b120.求：(1)向量b的模；(2)向量b的模解(1)a24，|a|24，即|a|2.把x1代入方程x2|a|xab0，得1|a|ab0，ab3，則ab|a|b|cosa，b2|b|cos1203，|b|3.(2)由(1)知|b|3，|b|b|3|.金版點睛極化恒等式求模長(1)兩個結(jié)論(ab)2a22abb2；(ab)(ab)a2b2.證明(ab)2(ab)(ab)aaabbabba22abb2.(ab)(ab)aaabbabba2b2.說明：下列結(jié)論也是成立的：(ab)2a22abb2，(ab)(cd)acadbcbd.(2)由上述結(jié)論，我們不難得到4ab(ab)2(ab)2，即ab(ab)2(ab)2我們把該恒等式稱為“極化恒等式”(3)應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律求向量的模的方法求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用a2|a|2，勿忘記開方一些常見的等式應(yīng)熟記，如(ab)2a22abb2，(ab)(ab)a2b2等提醒：向量的模是非負(fù)實數(shù)；一個向量自身的數(shù)量積，等于它模的平方(1)已知|a|6，|b|1，ab9，則a，b()A120B150C60D30(2)已知|a|b|5，向量a與b的夾角為，求|ab|，|ab|.答案(1)B(2)見解析解析(1)cosa，b，又0a，b180，所以a，b150，故選B.(2)解法一：|ab| 5.|ab| 5.解法二：以a，b為鄰邊作ABCD，設(shè)AC，BD相交于點E，如圖所示|a|b|且DAB，ABD為正三角形，|ab|5，|ab|2|2 2 5.題型三 用向量數(shù)量積解決垂直問題例3已知平面上三個向量a，b，c的模均為1，它們相互之間的夾角為120，求證：(ab)c.證明證法一：|a|b|c|1，且a，b，c之間的夾角均為120，(ab)cacbc|a|c|cos120|b|c|cos1200.(ab)c.證法二：如圖，設(shè)a，b，c，連接AB，AC，BC的三條線段圍成正三角形ABC，O為ABC的中心，OCAB.又ab，(ab)c.金版點睛要解決的問題是用向量表示，它往往對應(yīng)一個幾何圖形；如果是幾何的形式表示，它往往對應(yīng)一個向量關(guān)系式要善于發(fā)現(xiàn)這二者之間的關(guān)系，從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式，用哪種形式解決問題方便就選用哪種形式若O為ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足()(2)0，則ABC的形狀為()A正三角形B直角三角形C等腰三角形DA，B，C均不是答案C解析由()(2)0，得()0，又，()()0，即|2|20.|.ABC為等腰三角形1若向量a的方向是正北方向，向量b的方向是西偏南30方向，且|a|b|1，則(3a)(ab)等于()A.BC.D答案B解析由題意知a與b的夾角為120，ab.(3a)(ab)3a23ab.2若向量a與b的夾角為60，|b|4，(a2b)(a3b)72，則向量a的模是()A2B4C6D12答案C解析(a2b)(a3b)a2ab6b2|a|2|a|461672.解得|a|6.3已知a，b均為單位向量，它們的夾角為60，那么|ab|等于()A1B.C.D2答案A解析|ab|1.4已知a，b，c為單位向量，且滿足3ab7c0，a與b的夾角為，則實數(shù)_.答案8或5解析由3ab7c0，可得7c(3ab)，則49c29a22b26ab.由a，b，c為單位向量，得a2b2c21，則49926cos，即23400，解得8或5.5已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61，(1)求a與b的夾角