高考數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用情形歸納 第21講 分類討論思想情形之31-36.doc

第21講：分類討論思想情形之31-36【知識(shí)要點(diǎn)】 一、數(shù)學(xué)思想是人對數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，它在認(rèn)識(shí)過程中被反復(fù)運(yùn)用，帶有普遍的指導(dǎo)意義.是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問題的指導(dǎo)思想，而且數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容之一.學(xué)生只有領(lǐng)會(huì)了數(shù)學(xué)思想，才能有效地應(yīng)用知識(shí)，形成能力.在我們解決數(shù)學(xué)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)思維時(shí)，也總是自覺或不自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法.高中數(shù)學(xué)解題常用的數(shù)學(xué)思想有數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化化歸思想、函數(shù)方程思想等.二、分類討論的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想方法，同時(shí)也是一種化整為零、各個(gè)擊破、整合結(jié)論的解題策略.在分析和解決數(shù)學(xué)問題中，運(yùn)用分類討論思想可以將問題的條件與結(jié)論的因果關(guān)系、局部與整體的邏輯關(guān)系揭示得一清二楚、十分準(zhǔn)確.在解決對象為可變的數(shù)量關(guān)系和空間圖形形式的數(shù)學(xué)問題中有著廣泛和重要的作用.有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題貫穿于高中數(shù)學(xué)的各個(gè)部分，形式多樣，綜合性強(qiáng)，對于培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密形、條理性、深刻性有著十分重要的作用.因此，分類討論一直是高考命題的熱點(diǎn)之一，也是每年必考的重要數(shù)學(xué)思想方法之一. 分類討論思想就是由于某些元素具備不確定性，所以要分類討論.分類討論的情形很多，常見的情形見后面的方法講評.三、分類討論一般有四個(gè)要素：分類的起因、分類的標(biāo)準(zhǔn)、分類的過程、分類的結(jié)果.四、本講講了分類討論思想情形之31-36, 情形31：放縮法證明數(shù)列不等式時(shí)必要時(shí)需要分類討論；情形32：對雙曲線兩條漸近線所成的角要分類討論；情形33：圓錐曲線焦點(diǎn)位置不確定時(shí)要分類討論；情形34：求過點(diǎn)的曲線的切線方程時(shí)要就是否是切點(diǎn)分類討論；情形35：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)時(shí)一般要分單調(diào)遞增和單調(diào)遞減討論；情形36：解指數(shù)方程和不等式時(shí)，不確定參變量是否在對數(shù)函數(shù)的定義域內(nèi)要分類討論.【方法講評】分類討論情形31放縮法證明數(shù)列不等式時(shí)必要時(shí)需要分類討論.【例1】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知,.(1) 求的值；(2) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3) 證明:對一切正整數(shù),有.【解析】(1) 解： ，. 當(dāng)時(shí)， 又，（2）解： ，. 當(dāng)時(shí)，上式顯然成立. （3）證明：由（2）知，當(dāng)時(shí)，原不等式成立.當(dāng)時(shí), ,原不等式亦成立.當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),，原不等式亦成立.綜上，對一切正整數(shù)，有.【點(diǎn)評】（1），時(shí)，分母為零沒有意義.所以要放縮，必須滿足.本題要放大到，數(shù)列的前兩項(xiàng)不能放大，必須從第項(xiàng)起開始放大，所以要分三種情況來分類討論，因?yàn)橐獜牡?項(xiàng)起才開始放大，如果數(shù)列沒有3項(xiàng)呢？所以要分類討論.（2）放縮法證明數(shù)列不等式時(shí)，如果不是從第一項(xiàng)開始放縮，而是從后面的第起才開始放縮，此時(shí)必須分類討論.【反饋檢測1】已知數(shù)列滿足，令.（）求證：是等比數(shù)列；（）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求；（）求證：.分類討論情形32對雙曲線兩條漸近線所成的角要分類討論.【例2】已知雙曲線兩條漸近線的夾角是，則 【解析】由題得雙曲線的漸近線的方程為或者，所以，故填或.【點(diǎn)評】（1）雙曲線的兩條漸近線相交，所成的有兩組角，一組關(guān)于軸對稱，一組關(guān)于軸對稱,已知中并沒有說明是哪組角，所以要分類討論. （2）我們在處理數(shù)學(xué)問題時(shí)，必須嚴(yán)謹(jǐn)全面，以免漏解.【反饋檢測2】已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為60，則其離心率為 分類討論情形33圓錐曲線焦點(diǎn)位置不確定時(shí)要分類討論.【例3】某一雙曲線的焦距為，且與雙曲線有相同的漸近線，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.綜上所述，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.【點(diǎn)評】（1）雙曲線的焦點(diǎn)位置不確定，所以要分類討論，可以分焦點(diǎn)在軸和軸上分類討論.（2）本題沒有就焦點(diǎn)位置分類討論，利用了同漸近線的雙曲線系方程解答也可以.【反饋檢測3】點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離是2，則實(shí)數(shù) .分類討論情形34求過點(diǎn)的曲線的切線方程時(shí)要就是否是切點(diǎn)分類討論.【例4】已知曲線，求曲線過點(diǎn)的切線方程.【解析】由題得點(diǎn)在曲線上，當(dāng)是切點(diǎn)時(shí)，所以切線方程為所以切線方程為.當(dāng)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)曲線與過點(diǎn)的切線相切于點(diǎn)解得或（舍去）所以切線方程為.綜合得所求的切線方程為或【點(diǎn)評】（1）由于點(diǎn)不確定是否是切點(diǎn)，所以要分類討論.（2）當(dāng)不確定是否是切點(diǎn)時(shí)，也可以不分類討論，直接設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)和斜率，求出直線的方程. （3）“函數(shù)在點(diǎn)處的切線”說明此時(shí)點(diǎn)是切點(diǎn)，“函數(shù)過點(diǎn)處的切線”說明點(diǎn)可能是切點(diǎn)，也可能不是切點(diǎn)，要分類討論.要注意題目中的文字表達(dá). 【反饋檢測4】已知曲線及點(diǎn)，求過點(diǎn)的曲線的切線方程.分類討論情形35函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)時(shí)一般要分單調(diào)遞增和單調(diào)遞減討論.【例5】已知，且函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍或或 ，解得，(2)若在上是單調(diào)遞減函數(shù)，則在上恒成立在上恒成立 在上恒成立則有當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)函數(shù)【點(diǎn)評】（1）為單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)可能是單調(diào)增函數(shù)，還有可能為單調(diào)減函數(shù)，因此應(yīng)令0或0在上恒成立（2）當(dāng)然并不是說，在任何情況下都要分兩種情況討論，這取決于函數(shù)，有時(shí)可以直接分析函數(shù)的圖像，得到參數(shù)的取值范圍.（3）“在上是單調(diào)增函數(shù)”不能等價(jià)于函數(shù)的增區(qū)間是,這個(gè)大家要理解清楚，這兩個(gè)差別還是很大的. “在上是單調(diào)增函數(shù)”表示函數(shù)的增區(qū)間是或者比更大.【反饋檢測5】已知函數(shù).如果函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，求的取值范圍.分類討論情形36解指數(shù)方程和不等式時(shí)，不確定參變量是否在對數(shù)函數(shù)的定義域內(nèi)要分類討論.【例6】（2017高考新課標(biāo)i文科數(shù)學(xué)第21題）已知函數(shù)=ex(exa)a2x（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求a的取值范圍【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則，在單調(diào)遞增若，則由得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減在僅當(dāng)，即時(shí)，. 即此時(shí)的取值范圍為.若，則由（1）得，當(dāng)時(shí)，取最小值，且,從而當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，即此時(shí)的取值范圍為.綜上所述，的取值范圍為.【點(diǎn)評】（1）本題第1問，為什么要分類？假設(shè)求單調(diào)增區(qū)間，所以要解不等式，即，不等式怎么解？一般情況下用同底比較法，先寫成，再得到，但是在把寫成時(shí)，一定要保證才可以，因?yàn)榇藭r(shí)在對數(shù)函數(shù)的定義域內(nèi)，如果就不可以了，因?yàn)榇藭r(shí)不在函數(shù)的定義域內(nèi).由于已知條件沒有告訴的取值情況，所以要分類討論，分三種情況討論. （2）本題第2問用到了第1問的結(jié)論，所以也要分類討論.【反饋檢測6】已知， （1）求在點(diǎn)處的切線；（2）討論的單調(diào)性；（3）當(dāng)， 時(shí)，求證： 分類討論思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用情形歸納 第07講：分類討論思想情形之31-36參考答案【反饋檢測1答案】（）詳見解析; （）;（）詳見解析.【反饋檢測1詳細(xì)解析】（）， 兩式相減，得, 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)上式也成立，即.有即，且, 故是等比數(shù)列.（）由（）得又當(dāng)時(shí)，左邊=, 當(dāng)時(shí)，有故.【反饋檢測2答案】2或【反饋檢測2詳細(xì)解析】將焦點(diǎn)在x軸時(shí)當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時(shí) 所以.【反饋檢測3答案】【反饋檢測3詳細(xì)解析】由題得，當(dāng)時(shí)，由題得.當(dāng)時(shí)，. 綜合得.【反饋檢測4答案】或【反饋檢測4詳細(xì)解析】設(shè)過點(diǎn)的切線與曲線切于點(diǎn)，則過點(diǎn)的曲線的切線斜率，又，.點(diǎn)在曲線上，代入得化簡，得，或.若，則，過點(diǎn)的切線方程為；若，則，過點(diǎn)的切線方程為過點(diǎn)的曲線的切線方程為或因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)在