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。用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式農(nóng)安實(shí)驗(yàn)中學(xué) 趙彥春 中心詞:歸納,猜想,構(gòu)造數(shù)列問題以其多變的形式和靈活的求解方法倍受高考命題者的青睞,歷年來都是高考命題的熱點(diǎn),求數(shù)列的通項(xiàng)公式更是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容,作為常歸的等差數(shù)列或等比數(shù)列可直接根據(jù)它們的通項(xiàng)公式求解,但也有一些數(shù)列要通過構(gòu)造來形成等差數(shù)列或等比數(shù)列,之后再應(yīng)用各自的的通項(xiàng)公式求解。例1:(06年福建高考題)數(shù)列 ( ) A B C D解: 又是首項(xiàng)為2公比為2的等比數(shù)列,所以選C歸納總結(jié):若數(shù)列滿足為常數(shù)),則令來構(gòu)造等比數(shù)列,并利用對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等求的值,求通項(xiàng)公式。例2:數(shù)列中,則 。解: 為首項(xiàng)為2公比也為2的等比數(shù)列。,小結(jié):先構(gòu)造等比數(shù)列,這是化歸思想的具體應(yīng)用,再用疊加法求出通項(xiàng)公式,當(dāng)然本題也利用了等比數(shù)列求和公式。例3:(必修5教材69頁(yè))已知數(shù)列中求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。解:又形成首項(xiàng)為7,公比為3的等比數(shù)列,則又,形成了一個(gè)首項(xiàng)為13,公比為1的等比數(shù)列 則 小結(jié):本題是兩次構(gòu)造等比數(shù)列,屬于構(gòu)造方面比較級(jí),最終用加減消元的方法確定出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例4:(2008四川省高考題)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為成立,求證:當(dāng)是等比數(shù)列。證明:當(dāng) 又 當(dāng)時(shí),有又為首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,小結(jié):本題構(gòu)造非常特殊,要注意恰當(dāng)?shù)幕?jiǎn)和提取公因式,本題集中體現(xiàn)了構(gòu)造等比數(shù)列的價(jià)值與魅力,同時(shí)也彰顯構(gòu)造思想在高考中的地位和作用。例5:數(shù)列滿足,則A B C D解: 構(gòu)成了一個(gè)首項(xiàng)這,公差為3的等差數(shù)列, 所以選B。小結(jié):構(gòu)造等比數(shù)列,注意形,當(dāng)時(shí),變?yōu)?。?:已知函數(shù),又?jǐn)?shù)列中,其前項(xiàng)和為,對(duì)所有大于1的自然數(shù)都有,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解:是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列。時(shí),且當(dāng)時(shí), 符合條件通項(xiàng)公式為例7:(2006山東高考題)已知,點(diǎn)()在函數(shù)的圖象上,其中求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解:又在函數(shù)圖象上是首項(xiàng)為公比為2的等比數(shù)列小結(jié):前一個(gè)題構(gòu)造出為等差數(shù)列,并且利用通項(xiàng)與和的關(guān)系來確定數(shù)列的通項(xiàng)公式,后一個(gè)題構(gòu)造為等比數(shù)列,再利用對(duì)數(shù)性質(zhì)求解。數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用是當(dāng)今高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn),因此我們?cè)诮鉀Q數(shù)列問題時(shí)應(yīng)充分利用函數(shù)有關(guān)知識(shí),以它的概念與性質(zhì)為紐帶,架起函數(shù)與數(shù)列的橋梁,揭示它們之間內(nèi)在聯(lián)系,從而有效地解決數(shù)列問題。例8:(2007天津高考題)已知數(shù)列滿足,()其中,求數(shù)列的通項(xiàng)公式方法指導(dǎo):將已知條件中的遞推關(guān)系變形,應(yīng)用轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列形式,從而為求的通項(xiàng)公式提供方便,一切問題可迎刃而解。解:。所以所以為等差數(shù)列,其首項(xiàng)為0,公差為1;例9:數(shù)列中,若,則A B C D解: 又是首項(xiàng)為公差3的等差數(shù)列。 所以選A變式題型:數(shù)列中,求解:是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列小結(jié):且為一次分式型或構(gòu)造出倒數(shù)成等差數(shù)列或構(gòu)造出倒數(shù)加常數(shù)成等比數(shù)列,發(fā)散之后,兩種構(gòu)造思想相互聯(lián)系,相互滲透,最后融合到一起??傊瑯?gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列來求數(shù)列的通項(xiàng)公式,是求通項(xiàng)公式的重要方法也是高考重點(diǎn)考查的思想,當(dāng)然題是千變?nèi)f化的,構(gòu)造方式也會(huì)跟著千差萬別,要具體問題具體分析,需要我們反復(fù)推敲歸納,從而確定其形式,應(yīng)該說構(gòu)造方法的形成是在探索中前進(jìn),在前進(jìn)中探索。參考文獻(xiàn)中學(xué)教材全
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