活用幾何變式,有效突破初二幾何的教學(xué) 道滘中學(xué) 陳偉全.doc

活用幾何變式，有效突破初二幾何的教學(xué)道滘中學(xué) 陳偉全【摘要】 初中幾何圖形的教學(xué)一向是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。本文從對(duì)圖形的變式入手，通過(guò)基本的圖形變式、一題多圖、一圖多題、圖形的運(yùn)動(dòng)變化等對(duì)幾何圖形進(jìn)行變式，從而達(dá)到有效教學(xué)的目的【關(guān)鍵詞】 變式； 心理表征； 空間觀念1 前言幾何圖形是初中教學(xué)的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)和分化點(diǎn)。從每年的中考，涉及到幾何方面的題目的得分都不盡人意，可以這么說(shuō)，那間學(xué)校得幾何就可以得天下，然而學(xué)生往往在這里出現(xiàn)很大的困難，造成分化，有一些小學(xué)數(shù)學(xué)很好的學(xué)生到了初中就因?yàn)闊o(wú)法突破幾何圖形的學(xué)習(xí)，成績(jī)可以說(shuō)的一落千丈。就其原因來(lái)說(shuō)可以分為兩個(gè)方面：1.1 學(xué)生本身的情況根據(jù)心理學(xué)的研究發(fā)現(xiàn)，從初二開(kāi)始，雖然學(xué)生的抽象邏輯思維開(kāi)始由經(jīng)驗(yàn)型向理論型轉(zhuǎn)化，到初二表現(xiàn)出明顯的“飛躍”、突變。但是抽象思維能力，邏輯概括能力，應(yīng)用概念能力處于萌芽狀態(tài)。因而對(duì)幾何的推理、演繹、類(lèi)比、求證感到很吃力。由代數(shù)到幾何發(fā)生了由數(shù)到形、由計(jì)算到推理的轉(zhuǎn)變，學(xué)生一時(shí)難以適應(yīng)。1.2 由于幾何圖形教學(xué)本身的特點(diǎn)平面幾何開(kāi)始部分的教學(xué)內(nèi)容比較零碎，抽象的名詞多、概念多，一時(shí)難以聯(lián)系起來(lái)，學(xué)生感到枯燥乏味，加上嚴(yán)密的幾何語(yǔ)言，使學(xué)生感到幾何入門(mén)艱難，使得學(xué)生往往是了于心，而不了于口?？梢哉f(shuō)是“有口難言”。作為教師，學(xué)生自身的情況具有年齡階段的特點(diǎn)，可以說(shuō)是一個(gè)客觀存在的問(wèn)題。而能夠操作的就是教師如何把知識(shí)有效的傳遞給學(xué)生。根據(jù)認(rèn)知心理學(xué)的研究發(fā)現(xiàn)：學(xué)習(xí)是建構(gòu)內(nèi)在心理表征的過(guò)程，學(xué)習(xí)不是把知識(shí)從外界直接搬到記憶中，而是以已有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過(guò)與外界的相互作用，運(yùn)用已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)新信息進(jìn)行加工而建構(gòu)成的。也就是說(shuō)要獲得知識(shí)的學(xué)習(xí)，必須經(jīng)過(guò)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深層加工才可以獲得。而如何才能促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的加工，就要看老師在課堂上如何引導(dǎo)學(xué)生去學(xué)習(xí)，如何向?qū)W生呈現(xiàn)知識(shí)。也就是說(shuō)向?qū)W生提供怎樣的心理表征才能促進(jìn)學(xué)習(xí)的形成。2 通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)進(jìn)行圖形變式，加深學(xué)生對(duì)圖形內(nèi)在聯(lián)系的理解幾何圖形學(xué)習(xí)的根本是在圖形，初中學(xué)生剛學(xué)平面幾何，頭腦中不易樹(shù)立起正確的幾何圖形 “形象”，適當(dāng)運(yùn)用變式圖形讓學(xué)生體會(huì)到：幾何圖形雖然看上去千變?nèi)f化，但是萬(wàn)變不離其宗，在初中階段的圖形其實(shí)無(wú)非是通過(guò)平移、軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)獲得，只要教師在平常的課堂教學(xué)中有意識(shí)的培養(yǎng)學(xué)生分辨圖形的變化能力。就可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，理解圖形中的數(shù)量的變化。例2.1（新人教版八年級(jí)上第14頁(yè)例4）設(shè)ACBC,BDAD,AC=BD（圖1）.求證BC=AD圖1 分析 本次考查學(xué)生對(duì)全等三角形其中（HL）的應(yīng)用，本題的難點(diǎn)是：學(xué)生通過(guò)對(duì)圖形的觀察得到題目當(dāng)中隱含的條件：公共邊AB=AB 上題當(dāng)中的圖形它只是由兩個(gè)簡(jiǎn)單的三角形變化而來(lái)。變式如下：平 移旋轉(zhuǎn)圖3圖2圖4圖5圖2、3中通過(guò)平移變式使原圖中的公共邊相等，加深到要求學(xué)生進(jìn)行線(xiàn)段加減的等量變化。能促進(jìn)學(xué)生的幾何表達(dá)。圖4通過(guò)旋轉(zhuǎn)的變化使學(xué)生由邊之間的數(shù)量變化，轉(zhuǎn)向角的數(shù)量的變化。圖5通過(guò)綜合的變化由公共邊相等轉(zhuǎn)向公共角相等的變化。對(duì)于初二的學(xué)生來(lái)說(shuō)，接觸幾何的時(shí)間不長(zhǎng)，通過(guò)指導(dǎo)學(xué)生觀看圖形的變化有利于增強(qiáng)學(xué)生的理解圖形的一些隱含的條件，體會(huì)到數(shù)量變化的一個(gè)過(guò)程，使學(xué)生心里有底。增強(qiáng)學(xué)生的信心3 通過(guò)一題多圖，加深學(xué)生對(duì)定理的理解，培養(yǎng)學(xué)生看圖能力 初中學(xué)生學(xué)習(xí)幾何圖形存在的現(xiàn)象是：定理的基本內(nèi)容往往都能背出來(lái)，課本上的例題也能聽(tīng)明白，在解決問(wèn)題時(shí)，學(xué)生往往在標(biāo)準(zhǔn)圖形中容易找到所需的數(shù)量關(guān)系，而在非標(biāo)準(zhǔn)圖形中卻感到困難。哪怕是圖形上一點(diǎn)點(diǎn)的小變化也會(huì)產(chǎn)生障礙而無(wú)法解決，究其原因是：對(duì)定理沒(méi)有進(jìn)行深層加工，沒(méi)有真正體會(huì)到幾何概念的本質(zhì)屬性。作為老師課堂上應(yīng)該向?qū)W生提供適當(dāng)?shù)膱D形變化，使學(xué)生加深對(duì)定理的理解，促進(jìn)建構(gòu)內(nèi)在心理表征。圖6例3.1（新人教版八年級(jí)上第27頁(yè)第9題）ACB=90,AC=BC,BECE,ADCE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm（圖6）。求BE的長(zhǎng)。 分析本題的思路是：先證明BCEDAC,再?gòu)娜鹊贸鰧?duì)應(yīng)邊相等從而解決問(wèn)題而學(xué)生在具體做的過(guò)程當(dāng)中往往出現(xiàn)的問(wèn)題是無(wú)法利用“同角的余角相等”得到證明全等的條件。圖形組合變化擺放位置變化圖7圖8如何幫助學(xué)生突破這一難點(diǎn)，使學(xué)生真正的理解掌握知識(shí)，可以通過(guò)改變圖形促進(jìn)思考：圖形的變式：4 通過(guò)條件的改變進(jìn)行題目的變式，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真審題的習(xí)慣現(xiàn)在的學(xué)生不習(xí)慣于看題目往往是老師讀題目。實(shí)際上老師已經(jīng)通過(guò)斷句，語(yǔ)氣輕重把題目中的條件告訴了學(xué)生，通過(guò)對(duì)各種情況中的圖形變化，條件變化，結(jié)論變化，讓學(xué)生感知各變形題之間的內(nèi)在聯(lián)系。有助于開(kāi)拓學(xué)生的視野，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)變能力，達(dá)到從一個(gè)幾何圖形培養(yǎng)學(xué)生多向思維和發(fā)散性思維的目的圖9例4.1 （新人教版八年級(jí)上第66頁(yè)第11題）ABC是等邊三角形，BD是中線(xiàn)，延長(zhǎng)至E,使CE=CD（圖9），求證DB=DE.分析本題主要考查了學(xué)生對(duì)“三線(xiàn)合一”“等角對(duì)等邊”的應(yīng)用例4.1的變式1：圖10 “BD是中線(xiàn)”可以改為“BD是角平分線(xiàn)”或者“BD是高”這樣有利于提高學(xué)生對(duì)“三線(xiàn)合一”的理解和應(yīng)用達(dá)到形成內(nèi)在心理表征例4.1的變式2：ABC是等腰三角形，BD是角平分線(xiàn)，延長(zhǎng)至E,使CE=CD，(圖10)求證 DB=DE。分析把“等邊三角形”改成“等腰三角形”使得學(xué)生有具體的數(shù)量的計(jì)算解決問(wèn)題，到完全抽象的數(shù)量關(guān)系的推導(dǎo)。在難度上有了很大的提高，可以增強(qiáng)學(xué)生推理和演繹能力的訓(xùn)練。5 通過(guò)運(yùn)動(dòng)思想進(jìn)行圖形的變式培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念新課標(biāo)中指出：在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的空間的觀念，空間觀念其中的一點(diǎn)是描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化。通過(guò)變式培養(yǎng)學(xué)生層層推進(jìn)深入探究的能力。教學(xué)中要特別重視對(duì)課本例題和習(xí)題的改裝或引申。數(shù)學(xué)的思想方法都隱藏在課本例題或習(xí)題中，我們?cè)诮虒W(xué)中要善于對(duì)這類(lèi)習(xí)題進(jìn)行必要的挖掘,即通過(guò)一個(gè)典型的例題，最大可能的覆蓋知識(shí)點(diǎn),把分散的知識(shí)點(diǎn)串成一條線(xiàn)，往往會(huì)起到意想不到的效果，有利于知識(shí)的建構(gòu)。例5.1（2008安徽中考）已知：點(diǎn)O到ABC的兩邊AB，AC所在直線(xiàn)的距離相等，且OB=OC。1) 若點(diǎn)O在邊BC上（圖11），求證：AB=AC;2) 若點(diǎn)O在ABC的內(nèi)部（圖12），求證：AB=AC;A3) 若點(diǎn)O在ABC的外部，AB=AC成立嗎？請(qǐng)畫(huà)出圖表示并證明圖11圖13圖12分析作為本題第（1）、（2）小問(wèn)一般學(xué)生都可以通過(guò)利用（HL）證明兩個(gè)直角三角形來(lái)解決問(wèn)題，問(wèn)題是第（3）小問(wèn)學(xué)生如何通過(guò)點(diǎn)O的位置的變化準(zhǔn)確畫(huà)出圖，并能從點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)中看出那些數(shù)量、位置關(guān)系保持不變。實(shí)踐表明，圖形變式對(duì)提高學(xué)生識(shí)圖的能力，靈活應(yīng)用能力起著重要作用。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師通過(guò)變式練習(xí)，可以把一個(gè)看似孤立的問(wèn)題從不同角度向外擴(kuò)散，并形成一個(gè)有規(guī)律可尋的系列，幫助學(xué)生在問(wèn)題的解答過(guò)程中去尋找解類(lèi)似問(wèn)題的思路、方法，有意識(shí)地展現(xiàn)教學(xué)過(guò)程中教師與學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過(guò)程，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)地參與教學(xué)的全過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析和解決問(wèn)題的能力，以及大膽創(chuàng)新、勇于探索的精神，從而真正把學(xué)生能力的培養(yǎng)落到實(shí)處。但圖形的變式要注意掌握好“度”，不能偏離教學(xué)大綱，難度太大的變式難以使學(xué)生獲得成功的喜悅，反而容易使學(xué)生喪失解題的自信心，因此，變式要做到由易到難、循序漸進(jìn)。在幾何教學(xué)中，解決圖形變換這類(lèi)問(wèn)題必須牢固掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，借助圖形去思考和探索，并利用動(dòng)靜結(jié)合的思想把握變化中的不變?cè)?，要在圖形運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)其中不變的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，從