排隊(duì)論論文上交.doc

計(jì)算機(jī)通信基礎(chǔ)期末論文 排隊(duì)論在生活中的應(yīng)用超市收銀問(wèn)題摘要本文通過(guò)排隊(duì)論的方法，為超市收銀問(wèn)題建立模型，從而研究顧客排隊(duì)結(jié)賬時(shí)間的影響因素，通過(guò)一系列的計(jì)算分析，得出影響最大因素，從而減少顧客的排隊(duì)時(shí)間，改善用戶的購(gòu)物體驗(yàn)。排隊(duì)論是通過(guò)研究各種服務(wù)系統(tǒng)的排隊(duì)現(xiàn)象，解決服務(wù)系統(tǒng)最優(yōu)設(shè)計(jì)和最優(yōu)化控制的一門科學(xué)。本文將根據(jù)超市收銀臺(tái)前排隊(duì)狀況建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用排隊(duì)論的觀點(diǎn)進(jìn)行分析，從而找出可以減少排隊(duì)時(shí)間的最大影響因素。關(guān)鍵詞排隊(duì)論；M/M/s模型；超市收銀排隊(duì)引言在超市里，常?？梢钥吹竭@樣的情況：周末，許多顧客到超市購(gòu)物采購(gòu)一周所需要的生活用品，小小的收銀窗口前沒(méi)過(guò)幾分鐘便排成了長(zhǎng)長(zhǎng)的隊(duì)伍，每個(gè)收銀臺(tái)的前面變得擁擠不堪。等待收銀結(jié)賬的時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，導(dǎo)致本來(lái)愜意美好的周末變得十分焦躁。對(duì)于超市的管理者而言，過(guò)長(zhǎng)的排隊(duì)隊(duì)伍，會(huì)影響顧客對(duì)超市購(gòu)物的體驗(yàn)，造成顧客的流失。因此，減少收銀過(guò)程中的排隊(duì)等待時(shí)間，是超市管理者十分關(guān)心的問(wèn)題。一、排隊(duì)系統(tǒng)簡(jiǎn)介1.1排隊(duì)系統(tǒng)的基本組成排隊(duì)過(guò)程的基本組成為：顧客到達(dá)、排隊(duì)規(guī)則和服務(wù)機(jī)構(gòu)的服務(wù)，如圖1所示。下面，分別對(duì)顧客的到達(dá)、排隊(duì)規(guī)則和服務(wù)機(jī)構(gòu)的服務(wù)進(jìn)行簡(jiǎn)要的介紹1.1.1顧客的到達(dá)過(guò)程顧客的到達(dá)過(guò)程考察的是顧客到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)的規(guī)律。它可以用一定時(shí)間內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)或前后兩個(gè)顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間來(lái)描述，一般分為確定型和隨機(jī)型兩種。在生產(chǎn)線上加工的零件按規(guī)定的間隔時(shí)間依次到達(dá)加工地點(diǎn)屬于確定型輸入。隨機(jī)型的輸入是指在時(shí)間t內(nèi)顧客到達(dá)數(shù) n（t）服從一定的隨機(jī)分布。如服從泊松分布,則在時(shí)間t內(nèi)到達(dá)n個(gè)顧客的概率為1.1.2服務(wù)時(shí)間服務(wù)時(shí)間是指顧客從開(kāi)始接受服務(wù)到服務(wù)完成所花費(fèi)的時(shí)間。由于每位顧客要辦理的業(yè)務(wù)不一定一樣，有存在很多影響服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)時(shí)間的隨機(jī)因素，服務(wù)時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量。1.1.3排隊(duì)規(guī)則排隊(duì)規(guī)則分為等待制、損失制和混合制三種。當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，所有服務(wù)機(jī)構(gòu)都被占用，則顧客排隊(duì)等候，即為等待制。在等待制中，為顧客進(jìn)行服務(wù)的次序可以是先到先服務(wù)，或后到先服務(wù)，或是隨機(jī)服務(wù)和有優(yōu)先權(quán)服務(wù)。如果顧客來(lái)到后看到服務(wù)機(jī)構(gòu)沒(méi)有空閑立即離去，則為損失制。有些系統(tǒng)因留給顧客排隊(duì)等待的空間有限，因此超過(guò)所能容納人數(shù)的顧客必須離開(kāi)系統(tǒng)，這種排隊(duì)規(guī)則就是混合制。1.1.4服務(wù)機(jī)構(gòu)可以是一個(gè)或多個(gè)服務(wù)臺(tái)。多個(gè)服務(wù)臺(tái)可以是平行排列的，也可以是串連排列的。服務(wù)時(shí)間一般也分成確定型和隨機(jī)型兩種。下圖說(shuō)明了這些其中一些情況：1.2排隊(duì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型排隊(duì)系統(tǒng)的一般形式符號(hào)為：X/Y/Z/A/B/C。其中：X表示顧客相繼到達(dá)時(shí)間間隔的分布；Y表示服務(wù)時(shí)間的分布；Z表示服務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù)；A表示系統(tǒng)的容量，即可容納的最多顧客數(shù)；B表示顧客源的數(shù)目；C表示服務(wù)規(guī)則。排隊(duì)論的基本問(wèn)題是研究一些數(shù)量指標(biāo)在瞬時(shí)或平穩(wěn)狀態(tài)下的概率分布及其數(shù)字特征，了解系統(tǒng)運(yùn)行的基本特征；系統(tǒng)數(shù)量指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)推斷和系統(tǒng)的優(yōu)化問(wèn)題等。當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行一定時(shí)間達(dá)到平穩(wěn)后，對(duì)任一狀態(tài)n來(lái)說(shuō)，單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)入該狀態(tài)的平均次數(shù)和單位時(shí)間內(nèi)離開(kāi)該狀態(tài)的平均次數(shù)應(yīng)相等，即系統(tǒng)在統(tǒng)計(jì)平衡下“流入=流出”。據(jù)此，可得任一狀態(tài)下的平衡方程如下：由上述平衡方程，可求的：平衡狀態(tài)的分布為：其中：有概率分布的要求：，有： ，則有：注意：（3）式只有當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)才有意義，即當(dāng)時(shí)才能由上述公式得到平穩(wěn)狀態(tài)的概率分布。二、實(shí)例分析2.1模型假說(shuō)假定顧客在周末購(gòu)物高峰期這段時(shí)間到超市購(gòu)物的人數(shù)是無(wú)限的，并且依次以參數(shù)的泊松過(guò)程達(dá)到，達(dá)到的時(shí)間間隔是隨機(jī)的，服從負(fù)指數(shù)分布。每個(gè)收銀臺(tái)以并聯(lián)的方式連接，且每個(gè)收銀窗口對(duì)顧客來(lái)說(shuō)都是一樣的，服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布。收銀臺(tái)收銀實(shí)行先來(lái)先服務(wù)原則，且顧客可自由在隊(duì)列間進(jìn)行轉(zhuǎn)移，并總向最短的隊(duì)列轉(zhuǎn)移，沒(méi)有顧客會(huì)因?yàn)殛?duì)列過(guò)長(zhǎng)而離去，故可認(rèn)為排隊(duì)方式是單一隊(duì)列等待制。一般結(jié)賬結(jié)束的顧客馬上離開(kāi)超市，并且超市足夠大，故我們可認(rèn)為，超市可容納顧客的數(shù)量是足夠的，所以解決顧客結(jié)賬的等待時(shí)間較長(zhǎng)的現(xiàn)象，主要是解決排長(zhǎng)隊(duì)與收銀窗口的問(wèn)題。在這個(gè)大型超市進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，我們收集到以下數(shù)據(jù)。購(gòu)物高峰期超市的顧客流分布情況：共統(tǒng)計(jì)了3059人次的數(shù)據(jù)(以10秒為一個(gè)單位)，見(jiàn)下表：每10秒到達(dá)人數(shù)1 2 3 4 5 7 頻數(shù) 257 441 894 956 350161由概率論的知識(shí)可知，若分布滿足，則該分布為泊松分布。(其中為泊松分布的密度，為泊松分布的參數(shù))由上表可知=3.39。2.2模型建立及求解基于以上的假設(shè)，我們的模型符合排隊(duì)論中的多服務(wù)臺(tái)等待模型(M/M/s).該模型的特點(diǎn)是：服務(wù)系統(tǒng)中有s個(gè)窗口(即s個(gè)服務(wù)員)，顧客按泊松流來(lái)到服務(wù)系統(tǒng)，到達(dá)強(qiáng)度為；服務(wù)員的能力都是，服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布，每個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間。當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，如果所有服務(wù)員都忙著，顧客便參加排隊(duì)等待服務(wù)，一直等到有服務(wù)員為他服務(wù)為止。由調(diào)查數(shù)據(jù)可知(超市現(xiàn)有窗口6個(gè))帶入以上各式可得：服務(wù)員能力：系統(tǒng)服務(wù)強(qiáng)度：，因?yàn)?,所以極限存在。空閑概率： 系統(tǒng)中排隊(duì)顧客的平均數(shù)：顧客平均排隊(duì)時(shí)間：顧客平均逗留時(shí)間：系統(tǒng)中顧客的平均數(shù)：由此可見(jiàn)，當(dāng)我們?cè)谶@個(gè)時(shí)間段去超市購(gòu)物時(shí)，一進(jìn)門就會(huì)發(fā)現(xiàn)里面已經(jīng)是人滿為患了，幾乎不可能找到空閑的收銀臺(tái)。而且，已經(jīng)有32個(gè)顧客在排隊(duì)，27個(gè)人這在排隊(duì)等待，平均一個(gè)窗口5人。當(dāng)我們開(kāi)始排隊(duì)時(shí)要過(guò)80秒鐘才輪到我們，要過(guò)95秒鐘才能夠收銀完畢，離開(kāi)超市。2.3模型分析對(duì)于顧客來(lái)說(shuō)等待收銀的時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，會(huì)變得十分焦躁，造成時(shí)間的浪費(fèi)，會(huì)極大的影響顧客對(duì)這次購(gòu)物的體驗(yàn)，因此，盡量縮短顧客排隊(duì)等待的時(shí)間對(duì)顧客來(lái)說(shuō)，十分重要。同時(shí)，顧客在超市的排隊(duì)的平均逗留時(shí)間很大程度上可以決定顧客對(duì)超市的選擇，所以超市的經(jīng)營(yíng)者也希望盡可能的滿足顧客的要求。研究顧客平均逗留時(shí)間將是解決本模型的關(guān)鍵所在，平均逗留時(shí)間是由平均排隊(duì)時(shí)間W和平均服務(wù)時(shí)間組成。我個(gè)人認(rèn)為15秒的平均服務(wù)時(shí)間對(duì)于服務(wù)員來(lái)說(shuō)已經(jīng)是極限了，如果在加快速度反而可能手忙腳亂，增大出錯(cuò)的可能性，到時(shí)反而會(huì)降低效率，因此，我認(rèn)為平均服務(wù)時(shí)間不可改變，是個(gè)常數(shù)。至于平均排隊(duì)時(shí)間W我們有公式可知它由顧客到達(dá)強(qiáng)度，每個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間和窗口數(shù)S來(lái)決定的，由于超市周圍居民區(qū)的居民是一定的，所有居民對(duì)于生活用品的需求是一定的。即每周都會(huì)去這個(gè)超市購(gòu)物，因此我們可以認(rèn)為顧客流是穩(wěn)定的，即為常數(shù)，由上面的分析可知也是常數(shù)因此能對(duì)平均排隊(duì)時(shí)間構(gòu)成影響的就只有窗口S了。因此如果要增強(qiáng)顧客的購(gòu)物體驗(yàn)，使得顧客結(jié)賬時(shí)等待時(shí)間不至于過(guò)長(zhǎng)，對(duì)于這