角動(dòng)量守恒及其應(yīng)用.doc

角動(dòng)量守恒及其應(yīng)用 李澤林，過程裝備與控制工程，10110902。摘要：掌握角動(dòng)量守恒定律，并通過習(xí)題深入分析其應(yīng)用和注意事項(xiàng)。關(guān)鍵詞：剛體，角動(dòng)量，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，慣性系。 在研究“質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系繞某一定點(diǎn)或軸線運(yùn)動(dòng)”這類問題時(shí)，常常利用“角動(dòng)量守恒定律”來處理此類問題。但是如何正確應(yīng)用角動(dòng)量定律解題尤為重要。本文通過對(duì)角動(dòng)量守恒定律詳細(xì)的推導(dǎo)，加深對(duì)定律的理解，以及通過習(xí)題來深入分析角動(dòng)量守恒的正確應(yīng)用。 1角動(dòng)量守恒定律 11質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律OmP圖1r膠泥碰前作自由落體運(yùn)動(dòng)，所以 （3）由（1）、（2）、（3）式可得 如圖1所示，質(zhì)點(diǎn)m的動(dòng)量為P，相對(duì)于參考點(diǎn)O的角動(dòng)量為L，其值，其中是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量與質(zhì)點(diǎn)相對(duì)參考點(diǎn)0的位置矢量r的夾角。其角動(dòng)量的變化量等于外力的沖量矩（M為外力對(duì)參考點(diǎn)O的力矩），即。若M=0，得=0，即質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)O的角動(dòng)量守恒。 12質(zhì)點(diǎn)系對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律 由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，且處于慣性系中，可以推導(dǎo)出作用于各質(zhì)點(diǎn)諸力對(duì)參考點(diǎn)的外力矩的沖量，仍等于質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該參考點(diǎn)的角動(dòng)量的變化量，即。同樣當(dāng)時(shí)（即質(zhì)點(diǎn)系的和外力矩為零），質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。 13角動(dòng)量守恒的判斷 當(dāng)外力對(duì)參考點(diǎn)的力矩為零，即時(shí)，質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。有四種情況可判斷角動(dòng)量守恒：質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系不受外力。所有外力通過參考點(diǎn)。每個(gè)外力的力矩不為零，但外力矩的矢量和為零。內(nèi)力對(duì)參考點(diǎn)的力矩遠(yuǎn)大于外力對(duì)參考點(diǎn)的合力矩，即內(nèi)力矩對(duì)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的影響遠(yuǎn)超過外力矩的影響，角動(dòng)量近似守恒。 2角動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用 2.1開普勒第二定律，即行星對(duì)太陽的矢徑在相等的時(shí)間間隔內(nèi)掃過相等大小的面積如圖，設(shè)行星的質(zhì)量為m，它相對(duì)太陽的位矢為r，速度為v，走過的路程為s。行星受到太陽對(duì)它的萬有引力，方向沿著它和太陽的連線，因此行星受到的外力矩為零，它相對(duì)于太陽所在的點(diǎn)O角動(dòng)量守恒。 恒矢量角動(dòng)量的大小為 行星的速率為 v=ds/dt 。代入得 式中,為行星對(duì)太陽的矢徑在dt時(shí)間內(nèi)掃過的面積dA的兩倍，。代入得由于角動(dòng)量守恒，L是一個(gè)常量，所以即行星對(duì)太陽的矢徑在相等得時(shí)間間隔內(nèi)掃過的面積相等。 2.2如圖所示，一根質(zhì)量可以忽略的細(xì)桿，長為2l，兩端和中心處分別固連著質(zhì)量為m的小球B、D和C，開始時(shí)靜止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一質(zhì)量為M的小球A，以一給定速度v0沿垂直于桿DB的方向與右端小球B作彈性碰撞。求剛碰后小球A、B、C、D的速度，并詳細(xì)討論以后可能發(fā)生的運(yùn)動(dòng)情況。mmmMDBCAV0本題粗看是一類彈性碰撞類問題，利用動(dòng)量守恒、能量守恒及桿子牽連速度來求解。但本題涉及4個(gè)物體組成的質(zhì)點(diǎn)系，未知量多，利用上述關(guān)系還不能求解。挖掘題中的守恒規(guī)律成為本題的難點(diǎn)，且守恒規(guī)律不易挖掘。解析 小球A、B碰撞瞬間，球A擠壓B，其作用力方向垂直于桿，使球B獲得沿方向的速度。從而在碰撞瞬間使小球C、D的速度也沿方向。對(duì)質(zhì)點(diǎn)組B、C、D與A組成的系統(tǒng)，碰撞前后動(dòng)量守恒。由于小球C位于由B、C、D三球組成的質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心處，所以小球C的速度也就是質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心速度。可得： （1）質(zhì)點(diǎn)組B、C、D與A是彈性碰撞，碰撞前后質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能相等。碰撞后A、B、C、D的速度分別為、，得 （2）（2） 對(duì)質(zhì)點(diǎn)組B、C、D在碰撞瞬間，在B處受到A球的作用力，若取B（與B球重合的空間固定點(diǎn)）為參考點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)組B、C、D在碰撞前后，外力矩等于零，所以質(zhì)點(diǎn)組角動(dòng)量守恒?？傻?（3）由桿的剛性條件有： （4）由（1）、（2）、（3）、（4）式，可得 （5） （6） （7） （8）碰撞后各小球的運(yùn)動(dòng)碰撞后，質(zhì)點(diǎn)組B、C、D不受外力作用，其質(zhì)心作勻速運(yùn)動(dòng)，即，碰撞后，B、D兩小球?qū)⒗@小球C作勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度的大小為 。方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向。由（6）式可知，碰后小球A的速度的大小和方向與M、m的大小有關(guān)，由于M、m取值不同而導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)情形比較復(fù)雜，即可以使；且；情景的出現(xiàn)，在此不作詳細(xì)討論。2.3一質(zhì)量為速度為的子彈擊中并嵌入一質(zhì)量為、長度為L的棒的一端，速度與棒垂直，棒原來靜止于光滑的水平面上，子彈擊中棒后與棒共同運(yùn)動(dòng)。求棒和子彈繞垂直于平面的軸的角速度的大小。由題可知，子彈和棒構(gòu)成的系統(tǒng)在打擊前后所收到的外力為零，因此系統(tǒng)對(duì)任意一定軸的合力矩為零，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。下面對(duì)幾種常見的解法作出分析討論。常見的錯(cuò)誤解： 取固定z軸（過A點(diǎn)），因子彈打擊時(shí)間很短，棒在打擊過程中位置可以看做不變。設(shè)打擊后系統(tǒng)的角速度為，則根據(jù)角動(dòng)量守恒定律得（我剛開始做的解法） 其中 所以 這種錯(cuò)誤的解法究竟是錯(cuò)在哪里呢？這種解法忽視了角動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用條件，角動(dòng)量守恒定律適用于慣性參考系和質(zhì)心參考系。若把z軸作為桿過A點(diǎn)的定軸，此時(shí)A點(diǎn)受到撞擊后做變速運(yùn)動(dòng)，無形之中所選的參考系為非慣性參考系，因而角動(dòng)量對(duì)z軸不守恒，此時(shí)在根據(jù)角動(dòng)量守恒定律列出的式子自然是錯(cuò)的。正確的解法為設(shè)系統(tǒng)的質(zhì)心C與桿的中點(diǎn)O距離為d，以系統(tǒng)質(zhì)心為z軸，此時(shí)系統(tǒng)對(duì)質(zhì)心的合力矩為零，故對(duì)z軸角動(dòng)量守恒，得 式中 通過上述分析可得：角動(dòng)量守恒定律適用于慣性系和