數(shù)值分析54.ppt

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 1 5 4迭代方法 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 2 設(shè)非奇異 迭代法求解的基本思路 把線性方程組的解 化為一個(gè)迭代序列的極限來(lái)實(shí)現(xiàn) 首先將線性方程組化為一個(gè)適合迭代的 等價(jià)方程組 取任意初始向量構(gòu)成迭代序列 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 3 若迭代序列收斂 即 則有 即為原線性方程組的解 定理5 13 對(duì)于任何初始向量 迭代法 收斂的充分必要條件為 其中為矩陣的譜半徑 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 4 證明 記 則由 有 或 可以看出 對(duì)于任意的 即任意 從而收斂的充分必要條件為 證畢 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 5 定理5 14 誤差估計(jì) 若迭代矩陣的某種范數(shù) 則迭代方法 有如下誤差估計(jì) 證明 略 將線性方程組化為等價(jià)的適合迭代的形式 的方法很多 但下面幾種方法經(jīng)常用到 他們的優(yōu)點(diǎn)是這些迭代方法的收斂性可以由矩陣 的性質(zhì)加以判斷 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 6 我們將矩陣分解為 其中 Jacobi迭代方法 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 7 將化為等價(jià)形式 若所有 則上式可寫為分量形式 或即 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 8 定義迭代法為 其中Jacobi迭代矩陣 式可寫為分量形式 方法 1 稱為Jacobi迭代方法 1 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 9 解方程組寫成分量形式 即 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 10 迭代格式 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 11 由定理5 13 Jacobi方法收斂的充分必要條件為 并由定理5 14知 若 則Jacobi迭代法收斂 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 12 Gauss Seidel迭代方法 利用 定義 2 這樣在計(jì)算新分量時(shí) 利用了新值 例求方程組 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 13 的Gauss Seidel迭代格式 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 14 記 其中 分別為的 嚴(yán)格下 上三角形部分元素構(gòu)成的三角陣 Gauss Seidel方法的矩陣形式為 或者 這說(shuō)明Gauss Seidel方法的迭代矩陣為 從而有 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 15 由定理5 13 Gauss Seidel方法收斂的充分必要條件為 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 16 例 給出方程組其中 問(wèn) 分別利用Jacobi迭代法和Gauss Seidel迭代法是否收斂 解 對(duì) 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 17 而 即 所以 對(duì) Jacobi方法收斂 G S方法發(fā)散 同理 對(duì)于 其中 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 18 即得 而 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 19 則 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 20 SOR方法 超松弛方法 SOR 方法迭代格式如下 即 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 21 為寫成矩陣形式 變形為 稱為松弛因子 即為方法 即 亦即 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 22 其中 SOR法的迭代矩陣為 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 23 解 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 24 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 25 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 26 SOR方法收斂的充分必要條件 證明 由 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 27 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 28 即 所有特征值之模的乘積為 等號(hào)僅當(dāng)?shù)乃刑卣髦档哪６枷嗟葧r(shí)成立 又SOR方法收斂 即得 即有 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 29 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 30 例 給定 其中 證明當(dāng)時(shí)對(duì)稱正定 從而G S迭代方法收斂 證明當(dāng)時(shí)Jacobi迭代方法收斂 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 31 1 由題設(shè)知 為對(duì)稱陣 證明 要求 時(shí)對(duì)稱正定 從而G S迭代方法收斂 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 32 2 由定理 是對(duì)角元素為正的實(shí)對(duì)稱陣 由 1 知 當(dāng)時(shí) 對(duì)稱正定 所以 當(dāng)時(shí)Jacobi迭代方法收斂 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 33 課堂練習(xí) 寫出求解下方程組的