具體函數(shù)與抽象函數(shù)相結(jié)合是學(xué)好“函數(shù)”的有效手段.doc

第三講 具體函數(shù)與抽象函數(shù)相結(jié)合是學(xué)好“函數(shù)”的有效手段1. 以指數(shù)函數(shù)為背景 我們把學(xué)習(xí)過的函數(shù)，如指數(shù)函數(shù) y=ax(a0，且 a 1)，對(duì)數(shù)函數(shù) y=logax(a0，且 a 1， x0)，用抽象的函數(shù)符號(hào)和語言進(jìn)行表述，并在此基礎(chǔ)上對(duì)函數(shù)的圖象、性質(zhì)進(jìn)行證明和研究，是掌握函數(shù)方法、函數(shù)思想極其有效的方法 .1.以指數(shù)函數(shù)為背景例 1 設(shè)函數(shù) y=f(x)定義在實(shí)數(shù)集 R上，當(dāng) x0時(shí)， f(x)1，且對(duì)任意實(shí)數(shù) m， n都有 f(m+n)=f(m) f(n).(1)證明 f(x)在 R上，恒有 f(x)0.(2)證明 f(x)在 R上是增函數(shù) .證明 (1)f(x)在 R上，恒有 f(x)0.設(shè) n0， m=0，則 f(x)1， f(0+n)=f(0) f(n)，即 f(n)=f(0) f(n).又 f(n)1， f(0)=1，設(shè) x0，從而 f(-x)0. f(0)=f(x-x)=f(x) f(-x)=1, f(x)= 1 f(-x)0. 不論 x為任意實(shí)數(shù)，都有 f(x)0.證明 (2)f(x)在 R上是增函數(shù)設(shè) x10).由 t0，有 f(t)1， f(x2)=f(x1+t)=f(x1) f(t)f(x1)； f(x)在 R上是增函數(shù) .例 2 (1)下列函數(shù)中，具有性質(zhì) f(x+y)=f(x) f(y)(x， y R)的是 ( ).A.f(x)=x2B. f(x)=2xC.f(x)=2x D.f(x)=-x+1(2)設(shè)函數(shù) y=f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，則函數(shù) y=f(x-1)與 y=f(1-x)的圖象關(guān)于 ( ).A.直線 y=0對(duì)稱 B.直線 x=0對(duì)稱C.直線 y=1對(duì)稱 D.直線 x=1對(duì)稱解 (1)：由 f(x+y)=f(x) f(y)(x， y R)知，取 f(x)=2x滿足題設(shè)要求 .而 f(x)=x2， f(x)=2x， f(x)=-x+1不符合要求 . 應(yīng)選 B.解 (2)：可選取 f(x)=2x(x R)，符合題設(shè)要求 . y=f(x-1)=2 x-1， y=f(1-x)=21-x=( )x-1，而曲線 y=2x-1是由曲線 y=2x向右平移 1個(gè)單位得到的，曲線 y=( ) x-1是由曲線 y=( ) x向右平移 1個(gè)單位得到的 . 它們應(yīng)關(guān)于直線 x=1對(duì)稱， 應(yīng)選 D.例 3 設(shè)函數(shù) y=f(x)定義在 R上，且對(duì)任意實(shí)數(shù) m， n恒有 f(m+n)=f(m) f(n)，且當(dāng) x0時(shí)， 0f(x)1.(1)求證 f(0)=1，且當(dāng) x1；(2)求證 f(x)在 R上遞減；(3)設(shè)集合 A=(x， y) f(x2) f(y2)f(1)， B=(x， y) f(ax-y+2)=1， a R，若 A B=，求 a的取值范圍 .證明 (1)求證 f(0)=1，且當(dāng) x1，令 m=1， n=0，得 f(1)=f(1) f(0). 0f(1)1， f(0)=1.設(shè) x0，則 f(x-x)=f(x) f(-x)， f(0)=1， f(x) f(-x)=1,f(x)= . -x0， 0f(-x)1.(2)求證 f(x)在 R上遞減證明 1：設(shè) x10， 0f(x2-x1)1.令 m=x1， m+n=x2，則 n=x2-x1， f(x2)=f(x1) f(x2-x1)： 0 1，即 f(x2)f(x1). f(x)在 R上遞減 .證明 2：設(shè) x10， 0f(x2-x1)1； f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1) f(x1)-f(x1) =f(x1)f(x2-x1)-1.而 f(x2-x1)-1O， f(x2)-f(x1)0，即 f(x2)f(1)， B=(x， y) f(ax-y+2)=1， a R，若 A B=，求 a的取值范圍 .解：由 f(x2) f(y2)f(1)，有 f(x2+y2)f(1). f(x)在 R上是減函數(shù)， x2+y21.由 f(ax-y+2)=1，得 f(ax-y-2)=f(0)， ax-y+2=0.解 消去 y,得 (a2+1)x2+4ax+30, A B=， =( 4a)2-12(a2+1) 0，即 a2 3. -3 A 3.例 4 指數(shù)函數(shù) Y=( )x的圖象與直線 y=x的交點(diǎn)橫坐標(biāo) x0滿足 ( ).A.0x0 B. x0= C.x01解：先確定對(duì)比函數(shù) y=( )x與直線 y=x的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為 x= ，即交點(diǎn)坐標(biāo)為 ( ， ).根據(jù)指數(shù)函數(shù) y=( )x與 y=( )x的圖象位置關(guān)系，可知 0x0 ，應(yīng)選 A.(詳解請(qǐng)參見講解視頻 )2. 以對(duì)數(shù)函數(shù)為背景例 1 已知 f(x)在 (0， + )上是增函數(shù)，且 f(1)=0， f(x)+f(y)=f(xy).求證 0xy f(y) .證明： Oxy1， f(x)是增函數(shù)， f(x)f(y)，即 f(x)f(y)0. 0xy1， 0xy1; f(x)+f(y)=f(xy)f(1)=0.由 f(x)-f(y)0， f(x)+f(t)0，即 f(x) f(y) .例 2 設(shè)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?(0， + )， f(x)的值隨 x的增大而增大，且 f()=f(x)-f(y)，(1)求證 f(1)=0，(2)求證 f(xy)=f(x)+f(y)，(3)若 f(2)=1，解不等式 f(x)-f( ) 2.證明： (1)f(1)=0 ( )=f(x)-f(y)，令 x=y=1， f(1)=f(1)-f(1)=0，即 f(1)=0.證明： (2)f(xy)=f(x)+f(y) f(x)=f( )=f(xy)-f(y)， f(xy)=f(x)+f(y)解： (3)若 f(2)=1，解不等式， f(x)-f( ) 2 f(2)=1， f(2)+f(2)=1+1=2，即 f(4)=2. f(x)-f( ) 2， f( )=f(x)-f(y)， f(x2-3x) f(4)； x2-3 4；即 x2-3x-4 0.由得 3x 4， 不等式的解集為 x 3x 4.例 3 設(shè)函數(shù) y =f(x)(x R，且 x 0)，對(duì)任意實(shí)數(shù) x1， x2滿足 f(x1)+f(x2)=f(x1x2).(1)求證 f(1)=f(-1)=0；(2)求證 y=f(x)是偶函數(shù)；(3)已知 y=f(x)在 (0， + )上是增函數(shù)，解不等式， f(x)+f(x- )0.證明： (1)f(1)=f(-1)=0令 x1=x2=1，則 f(1)+f(1)=f(1 1)， f(1)=0. 令 x1=x2=-1，則 f(-1)+f(-1)=f(1)=0， f(1)=0.證明： (2)y=f(x)是偶函數(shù)令 x1=x2=x，則 2f (x)=f(x2)， 2f (-x)=f(x2)， f(x)=f(- x)； f(x)是偶函數(shù) .解： (3)已知 y=f(x)在 (0， + )上是增函數(shù)，解不等式 f(x)+f(x-)0.由 f(x)+f(x- )0，得 f(x2- x)f(1)， f(x)在 (0， + )上是增函數(shù)， 0x2- xl或 -1x2- x0.解之，得不等式的解集為x 1- x0 或 0x 或 x1+ .同時(shí)以指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)為背景例 1 已知函數(shù) y=f(x)，則它的反函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱的函數(shù)為 _.解：取 y=f(x)=2x，它存在反函數(shù) f-1(x)=log2x，它關(guān)于 y軸對(duì)稱的函數(shù)為 f-1(-x)=log2(-x)如圖所示：所求函數(shù)為： y=f-1(-x).例 2 已知函數(shù) y=f(x)存在反函數(shù) y=g(x)，若 f(3)=1，則函數(shù) y=g(x-1)的圖象在下列各點(diǎn)中必經(jīng)過 ( ).A.(-2， 3) B.(0， 3)C.(2， -1) D.(4， -1)解：取 y=f(x)=log，滿足 f(3)=-1，且存在反函數(shù) y=g(x)=( )x，則 g(x-1)=( )x-1經(jīng)檢驗(yàn)知，只有點(diǎn) (0， 3)在它的圖象上 . 應(yīng)選 B.例 3 設(shè)函數(shù) f(x)與 g(x)互為反函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù) x， y有 f(x)+f(y)=f(xy)，求證 g(x+y)=g(x)g(y)證明： f(x)， g(x)互為反函數(shù)， gf(x)=fg(x)=x. 對(duì) x， y R，有 xy=gf(xy)=gf(x)+