1.3線段的垂直平分線.doc

線段的垂直平分線課前思考 如圖，A、B表示兩個(gè)倉庫，要在A、B一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉庫的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置? 定理回顧 線段垂直平分線的性質(zhì)： 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 已知：如圖，直線MNAB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的點(diǎn)求證：PA=PB 證明：MNAB， PCA=PCB=90 AC=BC，PC=PC PCAPCB(SAS) ； PA=PB(全等三角形的對應(yīng)邊相等) 你能寫出該定理的逆命題嗎？ 這個(gè)逆命題是真命題嗎？為什么？請自己寫出已知求證，并證明。 總結(jié)： 當(dāng)我們寫出逆命題時(shí)，就想到判斷它的真假如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說明已知：線段AB，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)且PA=PB求證：P點(diǎn)在AB的垂直平分線上證明：過點(diǎn)P作已知線段AB的垂線PC，PA=PB，PC=PC， RtPACRtPBC(HL) AC=BC， 即P點(diǎn)在AB的垂直平分線上證法二：取AB的中點(diǎn)C，過P,C作直線 AP=BP，PC=PC.AC=CB， APCBPC(SSS) PCA=PCB(全等三角形的對應(yīng)角相等) 又PCA+PCB=180， PCA=PCB=90，即PCAB P點(diǎn)在AB的垂直平分線上證法三：過P點(diǎn)作APB的角平分線交AB于點(diǎn)C AP=BP，APC=BPC，PC=PC， APCBPC(SAS) AC=BC，PCA=PCB 又PCA+PCB=180PCA=PCB=90 P點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上概念區(qū)分 垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等。垂直平分線的判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。思維點(diǎn)撥：注意“線段”不要記成“直線”，垂直平分線往往指的是一條直線。動(dòng)手做一做 你還記得用尺規(guī)作圖作已知線段的垂直平分線的作法嗎？回憶一下，什么叫尺規(guī)作圖？ 尺規(guī)作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖。已知：線段AB求作：線段AB的垂直平分線作法：1分別以點(diǎn)A和B為圓心，以大于 AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)C和D 2作直線CD A B 直線CD就是線段AB的垂直平分線實(shí)踐操作： 2已知直線 l 和 l 上一點(diǎn)P，利用尺規(guī)作l的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)P L P問題解決： 如圖，A、B表示兩個(gè)倉庫，要在A、B一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉庫的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置? 問題探究利用尺規(guī)作三角形三條邊的垂直平分線，當(dāng)作完時(shí)你發(fā)現(xiàn)了什么? 證明結(jié)論：三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn).已知：在ABC中，設(shè)AB、BC的垂直平分線交于點(diǎn)O.求證：O點(diǎn)在AC的垂直平分線上證明：連接AO，BO，CO 點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上， OA=OB( ) 同理OB=OCOA=OC O點(diǎn)在AC的垂直平分線上( ) AB、BC、AC的垂直平分線相交于點(diǎn)O三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)定理 三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。定理應(yīng)用已知：ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，AB的垂直平分線交AD于O 求證：OA=OB=OC 證明：AB=AC，AD是BC的中線， AD垂直平分BC(等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊) 又AB的垂直平分線與交于點(diǎn)O OB=OC=OA( ) 議一議(1)已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三角形嗎?如果能，能作幾個(gè)?所作出的三角形都全等嗎? (2)已知等腰三角形的底邊，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎?如果能，能作幾個(gè)?所作出的三角形都全等嗎? (3)已知等腰三角形的底邊及底邊上的高，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎?能作幾個(gè)?已知底邊及底邊上的高，求作等腰三角形已知：線段a、h求作：ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h例一：課堂演練一、選擇題1.已知ABC中，ABAC，AB的垂直平分線交AC于D，ABC和DBC的周長分別是60 cm和38 cm，則ABC的腰和底邊長分別為 ( )A24 cm和12 cm B16 cm和22 cm C20 cm和16 cm D22 cm和16 cm 2.如圖，在，90，15，的中垂線交于，為垂足，若10，則等于（）10 8 5 253.已知：如圖，36，的垂直平分線交于，則下列結(jié)論：72；是的平分線；是等腰三角形；是等腰三角形，其中正確的有（）1個(gè) 2個(gè) 3個(gè) 4二、填空題4.如圖，ED為ABC的AC邊上的垂直平分線，且AB=5，BCE的周長為8，則BC . 5.在ABC中，AB=AC，A58，AB的垂直平分線交AC于N，則NBC = .6.命題“線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”的條件是 ，結(jié)論是 三、解答題7.已知D是RtABC斜邊AC的中點(diǎn)，DEAC交BC于E，且EABBAC23，求ACB的度數(shù).探究實(shí)踐8.9.點(diǎn)擊中考10.作業(yè)：一選擇題：1（2013濱城區(qū)二模）如圖，ABC中，B=40，AC的垂直平分線交AC于D，交BC于E，且EAB：CAE=3：1，則C等于（）A28B25C22.5D202（2012江漢區(qū)模擬）如圖，在DAE中，DAE=40，線段AE、AD的中垂線分別交直線DE于B和C兩點(diǎn)，則BAC的大小是（）A100B90C80D1203（2012河池）如左下圖，在ABC中，B=30，BC的垂直平分線交AB于E，垂足為D若ED=5，則CE的長為（）A10B8C5D2.5 4（2012畢節(jié)地區(qū)）如右上圖在RtABC中，A=30，DE垂直平分斜邊AC，交AB于D，E是垂足，連接CD，若BD=1，則AC的長是（）A.B2C.D45（2011紹興）如圖，在ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD若ADC的周長為10，AB=7，則ABC的周長為（）A7B14C17D206（2010臺灣）如圖，直線CP是AB的中垂線且交AB于P，其中AP=2CP甲、乙兩人想在AB上取兩點(diǎn)D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作ACP、BCP之角平分線，分別交AB于D、E，則D、E即為所求；（乙）作AC、BC之中垂線，分別交AB于D、E，則D、E即為所求對于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確（）A兩人都正確B兩人都錯(cuò)誤C甲正確，乙錯(cuò)誤D甲錯(cuò)誤，乙正確7（2009武漢模擬）如圖，D是線段AB，BC的垂直平分線的交點(diǎn)，若ABC=50，則ADC的大小是（）A100B115C130D1508（2009欽州）如圖，AC=AD，BC=BD，則有（）AAB垂直平分CDBCD垂直平分ABCAB與CD互相垂直平分DCD平分ACB9（2007白下區(qū)一模）如圖，MON內(nèi)有一點(diǎn)P，PP1、PP2分別被OM、ON垂直平分，P1P2與OM、ON分別交于點(diǎn)A、B若P1P2=10cm，則PAB的周長為（）A6cmB8cmC10cmD12cm10（2005瀘州）如圖，有A、B、C三個(gè)居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個(gè)小區(qū)之間修建一個(gè)購物超市，使超市到三個(gè)小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在（）A在AC，BC兩邊高線的交點(diǎn)處B在AC，BC兩邊中線的交點(diǎn)處C在AC，BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處D在A，B兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處11（2002哈爾濱）如圖，到ABC的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是ABC的（）A三邊垂直平分線的交點(diǎn)B三條角平分線的交點(diǎn)C三條高的交點(diǎn)D三邊中線的交點(diǎn)12到平面上三點(diǎn)A、B、C距離相等的點(diǎn)有（）A只有一個(gè)B有兩個(gè)C有三個(gè)或三個(gè)以上D有一個(gè)或沒有13點(diǎn)P是ABC中邊AB的垂直平分線上的點(diǎn)，則一定有（）APA=PBBPA=PCCPB=PCD點(diǎn)P到ACB的兩邊的距離相等14給出以下兩個(gè)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上應(yīng)用上述定理進(jìn)行如下推理，如圖，直線l是線段MN的垂直平分線點(diǎn)A在直線l上，AM=AN（）BM=BN，點(diǎn)B在直線l上（）CMCN，點(diǎn)C不在直線l上這是因?yàn)槿绻c(diǎn)C在直線l上，那么CM=CN（）這與條件CMCN矛盾以上推理中各括號內(nèi)應(yīng)注明的理由依次是（）ABCD二填空題（共7小題）15（2013衡水模擬）如圖，在周長為20cm的ABCD中，ABAD，AC，BD相交于點(diǎn)O，OEBD交AD于E，則ABE的周長為 cm16（2011白下區(qū)二模）如圖，ABC中，AB=AC，A=36，D是AC上一點(diǎn)，且BD=BC，過點(diǎn)D分別作DEAB、DFBC，垂足分別是E、F給出以下四個(gè)結(jié)論：DE=DF；點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)；DE垂直平分AB；AB=BC+CD其中正確結(jié)論的序號是 （把你認(rèn)為的正確結(jié)論的序號都填上）17（2009泉州）如圖，在ABC中，BC邊上的垂直平分線DE交邊BC于點(diǎn)D，交邊AB于點(diǎn)E若EDC的周長為24，ABC與四邊形AEDC的周長之差為12，則線段DE的長為 18（2009建鄴區(qū)二模）如圖所示，矩形紙片ABCD中，E是AD的中點(diǎn)且AE=1，BE的垂直平分線MN恰好過點(diǎn)C則矩形的一邊AB長度為 19（2004泰安）如圖，梯形ABCD中，ABCD，ABC=90，AB=9cm，BC=8cm，CD=7cm，M是AD的中點(diǎn)，過M作AD的垂線交BC于N，則BN= cm20如圖，在RtABC中，C=90，B=15，DE垂直平分AB交BC于點(diǎn)E，BE=6，則AC= 21如圖所示，在ABC中，DM、EN分別垂直平分AB和AC，交BC于D、E，若DAE=50，則BAC= 度，若ADE的周長為19cm，則BC= cm三解答題（共8小題）22如圖，在RtABC中，A=90，BC的垂直平分線DE分別交BC、AC邊于點(diǎn)D、E，BE與AD相交于點(diǎn)F設(shè)C=x，AFB=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域23如圖所示，ABC=50，AD垂直平分線段BC交BC于D，ABD的平分線BE交AD于E，連接EC，求AEC的度數(shù)24作圖題：（不寫作法，但必須保留作圖痕跡）如圖：某地有兩所大學(xué)和兩條相交叉的公路，（點(diǎn)M，N表示大學(xué)，AO，BO表示公路）現(xiàn)計(jì)劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相等，到兩條公路的距離也相等你能確定倉庫P應(yīng)該建在什么位置嗎？在所給的圖形中畫出你的設(shè)計(jì)方案25如圖，直線l是線段AB的中垂線，P點(diǎn)在直線l的右側(cè)，則點(diǎn)P到A、B的距離有何關(guān)系？請寫出你的結(jié)論，并說明理由26已知甲村和乙村靠近公路a、b，為了發(fā)展經(jīng)濟(jì)，甲乙兩村準(zhǔn)備合建一個(gè)工廠，經(jīng)協(xié)商，工廠必須滿足以下要求：（1）到兩村的距離相等；（2）到兩條公路的距離相等你能幫忙確定工廠的位置嗎？27利用網(wǎng)格線用三角尺畫圖，（1）在圖中找一點(diǎn)O，使得OA=OB=OC；（2）在AC上找一點(diǎn)P，使得P到AB、BC的距離相等；（3）在射線BP上找一點(diǎn)Q，使得QA=QC28已知：如圖，AB=AE，BC=ED，AFCD且F是CD的中點(diǎn)，求證：B=E29如圖所示，將一個(gè)正三角形紙片沿著它的一條邊上的高剪開，得到如圖所示的兩