高中數(shù)學 第二章 點、直線、平面之間的位置關系 2.1 空間點、直線、平面之間的位置關系導學案 新人教A版必修2.doc

第二章、點、直線、平面之間的位置關系本章概述空間點、直線、平面之間的位置關系，直線與平面、平面與平面平行的判定及其性質以及直線與平面、平面與平面垂直的判定及其性質，它們是我們認識現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關系的重要工具和必要的基礎知識，對培養(yǎng)空間想象力和邏輯推理能力有一定的輔助和推進作用另外，本章始終采用直觀感知、操作確認、思維論證、度量計算等方法認識和探索幾何圖形的結構及其性質本章共分三大節(jié)：第一大節(jié)是介紹空間點、直線、平面之間的位置關系；第二大節(jié)是研究直線與平面、平面與平面平行的判定與性質；第三大節(jié)是研究直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質學會準確地使用空間幾何的數(shù)學語言表述幾何對象的位置關系，體會公理化思想，培養(yǎng)邏輯思維能力，解決簡單的推理論證及應用問題本章重點是平面的基本性質，空間兩直線、直線與平面、平面與平面間的平行與垂直關系本章難點是直線、平面之間的平行與垂直關系的互相轉化，異面直線所成的角及直線與平面所成的角的計算方法2.1空間點、直線、平面之間的位置關系2.1.1平面【考綱要求】 學習目標1知道平面是不加定義的概念(原始概念)，初步體會平面的基本屬性，會用圖形與字母表示平面2能用符號語言描述空間點、直線、平面之間的位置關系3能用圖形、文字、符號三種語言描述三個公理，理解三個公理的地位與作用目標解讀1用符號語言描述點、直線、平面之間的位置關系是重點；2用文字語言、符號語言、圖形語言描述三個公理是難點【自主學習】1平面(1)平面的概念幾何里所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來的幾何里的平面是 的(2)平面的畫法水平放置的平面通常畫成一個 ，它的銳角通常畫成 ，且橫邊長等于其鄰邊長的 ，如圖.如果一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，把被遮擋部分用 畫出來如圖.2點、線、面之間的位置關系直線、平面都可以看成 的集合點p在直線l上，記作 ；點p在直線l外，記作 ；點a在平面內，記作 ；點a在平面外，記作 ；直線l在平面內，記作 ；直線l在平面外，記作 .3平面的基本性質公理內容圖形符號公理1如果一條直線上的 在一個平面內，那么這條直線在此平面內 ， ，且 ， l公理2 的三點，有且只有一個平面a，b，c三點不共線存在唯一的使a，b，c公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條 ， l，且pl特別提醒：點、線、面間的關系通常借助集合中的符號語言來表示，點為元素，直線與平面都是點構成的集合，幾何中的很多符號規(guī)定都是源于將圖形視為點集故點與直線之間的關系，點與平面之間的關系用符號，表示，直線與平面之間的關系用，表示.【考點突破】要點一 平面的概念及點、線、面的位置關系1.生活中的平面是比較平整、有限的，而立體幾何中所說的平面是從生活中常見平面中抽象、概括出來的，是理想的、絕對平整的、無限延展的立體幾何中的平面無大小、厚薄之分，是不可度量的2平面通常用希臘字母，等表示(常把這些字母寫在代表平面的平行四邊形的一個角上)，如平面，平面，平面等也可以用代表平面的平行四邊形的四個頂點，或者相對的兩個頂點的大寫英文字母作為這個平面的名稱典型例題1、根據(jù)下列符號表示的語句，說明點、線、面之間的位置關系，并畫出相應的圖形：(1)a，b；(2)l，ma，al；(3)pl，p，ql，q.【思路啟迪】正確理解立體幾何中表示點、線、面之間位置關系的符號“”，“”，“”，“”，“”的意義，在此基礎上，實現(xiàn)三種語言間的互譯【解】(1)點a在平面內，點b不在平面內；(2)直線l在平面內，直線m與平面相交于點a，且點a不在直線l上；(3)直線l經過平面外一點p和平面內一點q.圖形分別如圖(1)、(2)、(3)所示方法指導：三種語言的相互轉換是一種基本技能，要注意符號語言的意義；由符號語言畫相應圖形時，要注意實、虛線反饋訓練1、在下列命題中，正確命題的個數(shù)為()書桌面是平面8個平面重疊起來，要比6個平面重疊起來厚有一個平面的長是50 m，寬是20 m平面是絕對的平，無厚度，可以無限延展的抽象的數(shù)學概念a1b2c3d4要點二 共面問題1.證明點線共面的主要依據(jù)(1)如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(公理1)；(2)經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面(公理2及其推論)2證明點線共面的具體操作(1)證明幾點共面可先取不共線的三點確定一個平面，再證明其余各點都在這個平面內；(2)證明空間幾條直線共面可先取兩條相交(或平行)直線確定一個平面，再證明其余直線均在這個平面內典型例題2、如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，點e，f分別是aa1，cc1的中點，求證：d1，e，f，b共面【思路啟迪】先利用其中d1，e，f三點確定一平面，然后利用公理3證明四點共面【證明】因為d1，e，f三點不共線，所以d1，e，f三點確定一個平面.由題意得，d1e與da共面于平面a1d且不平行，如圖分別延長d1e與da相交于g，所以g直線d1e，所以g平面.同理設直線d1f與dc的延長線交于h，則h平面.又點g，b，h均在平面ac內，且點e是aa1的中點，aa1dd1，所以agadab，所以agb為等腰三角形，所以abg45.同理cbh45.又abc90，所以g，b，h共線于gh，又gh平面，所以b平面，所以d1，e，f，b共面方法指導：證明點、線共面問題的理論依據(jù)是公理1和公理2，及其推論，常用方法有：(1)先由部分點、線確定一個面，再證其余的點、線都在這個平面內，即用“納入法”；(2)先由其中一部分點、線確定一個平面，其余點、線確定另一個平面，再證平面與重合，即用“同一法”反饋訓練2、求證：兩兩平行的三條直線如果都與另一條直線相交，那么這四條直線共面要點三 點共線或線共點問題1.證明三點共線的依據(jù)是公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們還有其他的公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線也就是說一個點若是兩個平面的公共點，則這個點在這兩個平面的交線上對于這個公理應進一步理解下面三點：如果兩個相交平面有兩個公共點，那么過這兩點的直線就是它們的交線；如果兩個相交平面有三個公共點，那么這三點共線；如果兩個平面相交，那么一個平面內的直線和另一個平面的交點必在這兩個平面的交線上2證明線共點主要利用公理1、公理3作為推理的依據(jù)典型例題3、如圖，e、f、g、h分別是空間四邊形ab、bc、cd、da上的點，且直線eh與直線fg交于點o.求證：b、d、o三點共線【思路啟迪】解答本題只要證明點o在平面abd與平面cbd的交線bd上即可?！咀C明】eab，had，e平面abd，h平面abd.eh平面abd.ehfgo，o平面abd.同理o平面bcd，即o平面abd平面bcd，obd，即b、d、o三點共線方法指導：(1)證明三點共線的常用方法：方法1是首先找出兩個平面，然后證明這三點都是這兩個平面的公共點根據(jù)公理3知，這些點都在交線上方法2是選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一點也在其上(2)證明三線共點的思路是：先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經過這點，把問題轉化為證明點在直線上的問題反饋訓練3、如圖所示，在正方體abcda1b1c1d1中，e為ab的中點，f為aa1的中點求證：ce、d1f、da三線交于一點考點鞏固1如果空間四點a、b、c、d不共面，那么下列判斷正確的是()aa、b、c、d四點中必有三點共線ba、b、c、d四點中不存在三點共線c直線ab與cd相交d直線ab與cd平行2下列說法中正確的個數(shù)為()三角形一定是平面圖形若四邊形的兩對角線相交于一點，則該四邊形是平面圖形圓心和圓上兩點可確定一個平面三條平行線最多可確定三個平面a1 b2 c3 d43如圖，平面平面=l，a，b，c，cl，直線abl=d，過a，b，c三點確定的平面為，則平面，的交線必過()a點a b點bc點c，但不過點d d點c和點d4兩兩相交的三條直線最多可確定_ _個平面5如圖，正方體abcda1b1c1d1中，平面a1c與平面bdc1的交線是_ _6如圖，在四面體abcd中，e、g分別為bc、ab的中點，f在cd上，h在ad上，且有df：fc=dh：ha=2：3，求證：ef、gh、bd交于一點7如圖所示，在正方體abcda1b1c1d1中，設線段a1c與平面abc1d1交于q，求證：b，q，d1三點共線8如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，e、f、g分別為ab、bc、cc1的中點，作出過e、f、g的截面考點鞏固-答案1、解析：a、b、c、d四點中若有三點共線，則必與另一點共面；直線ab與cd既不平行也不相交，否則a、b、c、d共面答案：b2、解析：正確；不正確，因為圓心和兩點共線時不可以確定一個平面答案：c3、解析：ab，dab，d.又dl，l，d.c，c，與的交線為cd.故選d.答案：d4、解析：當三條直線相交于一點且不共面時，確定的平面最多，有3個答案：35、解析：因為c1平面a1c且c1平面bdc1；同理m平面a1c且m平面bdc1，所以平面a1c與平面bdc1的交線是c1m.答案：c1m6、證明：因為e、g分別為bc、ab的中點，所以geac.又因為df：fcdh：ha2：3，所以fhac，從而fhge，故e、f、h、g四點共面，所以四邊形efhg是一個梯形，gh和ef交于一點o.因為o在平面abd內，又在平面bcd內，所以o在這兩平面的交線上，而這兩個平面的交線是bd，且交線只有這一條，所以點o在直線bd上這就證明了gh和ef的交點也在bd上，所以ef、gh、bd交于一點7、解：連接a1b，cd1.顯然，b平面a1bcd1，d1平面a1bcd1.bd1平面a1bcd1.同理：bd1平面abc1d1.平面abc1d1平面a1bcd1bd1.a1c平面abc1d1q，q平面abc1d1.又a1c平面a1bcd1，q平面a1bcd1.qbd1，即b，q，d1三點共線8、解：如圖，連接ef，設直線ef與直線ad、cd分別交于點p、q連接qg，設直線qg與直線c1d1、dd1分別交于點h、r，連接pr，設直線pr與直線a1d1、aa1分別交于點i、j則六邊形efghij即為正方體過e、f、g的截面2.1.2空間中直線與直線之間的位置關系【考綱要求】 學習目標1會判斷空間兩直線的位置關系2理解兩異面直線的定義，會求兩異面直線所成角3能用公理4解決一些簡單的相關問題目標解讀1空間兩直線的位置關系的判斷與異面直線所成的角的求法是重點；2求兩異面直線所成的角是難點【自主學習】1空間兩條直線的位置關系(1)異面直線我們把 的兩條直線叫做異面直線(2)空間兩條直線的位置關系有且只有三種2平行公理公理4平行于同一條直線的兩條直線 3等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角 4異面直線所成的角(1)a，b是兩條異面直線，過空間中 作直線aa，bb，我們把a與b所成的 叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)(2)如果兩條異面直線a、b所成的角是 ，那么我們就說這兩條直線互相垂直，記作 .特別提醒：兩條直線的位置關系有三種：相交，平行，異面在判斷兩直線的位置關系時，這三種情況都要考慮到兩條直線異面，是指找不到平面，使這兩條直線同在這一平面內；并不是說，這兩條直線不同在某一平面內，它們就是異面直線【考點突破】要點一 空間兩條直線位置關系的判斷空間兩直線的位置關系有且只有三種：相交、平行、異面，其中相交直線和平行直線也稱共面直線兩直線位置關系的判定，除運用定義進行外，還要注意通過感覺和空間想象來進行畫出圖形可以使抽象的問題具體化，這在解決立體幾何的問題中，是經常用到的一種方法，在構圖時，要注意想到各種可能典型例題1、如圖，已知正方體abcda1b1c1d1，判斷下列直線的位置關系：直線a1b與直線d1c的位置關系是_；直線a1b與直線b1c的位置關系是_；直線d1d與直線d1c的位置關系是_；直線ab與直線b1c的位置關系是_【思路啟迪】首先看兩直線是否有交點，判斷是否是相交，然后在沒有交點的兩直線中判斷這兩直線是否在一個平面內，如果不在，則兩直線異面【解析】直線d1d與直線d1c相交于d1點，所以應該填“相交”；直線a1b與直線d1c在平面a1bcd1中，且沒有交點，則兩直線“平行”所以應該填“平行”；點a1、b、b1在一個平面a1bb1內，而c不在平面a1bb1內，則直線a1b與直線b1c“異面”同理，直線ab與直線b1c“異面”所以都應該填“異面”【答案】平行異面相交異面方法指導：判斷直線平行、相交可用平面幾何中的定義和方法來處理，判定異面直線的方法有反證法和定義法，只是用定義法不好判斷，往往根據(jù)過平面內一點與平面外一點的直線和這個平面內不經過該點的直線是異面直線來判斷反饋訓練1、已知三條直線a，b，c，a與b異面，b與c異面，則a與c的位置關系是_要點二 平行公理、等角定理的應用1.平行公理為我們提供了一種證明兩直線平行的方法，即證明直線ab，只需找到直線c，使得ca，同時cb.2“等角定理”為兩條異面直線所成的角的定義提供了可能性與唯一性，即過空間任一點，作兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角(或直角)都是相等的，而與所取點的位置無關典型例題2、已知棱長為a的正方體abcda1b1c1d1中，m，n分別是棱cd、ad的中點(1)求證：四邊形mna1c1是梯形； (2)求證：dnmd1a1c1.【思路啟迪】(1)問可借助中位線及公理4，證明平行；(2)問可借助“等角定理”求證【證明】(1)如圖，連接ac，在acd中，m、n分別是cd、ad的中點，mn是三角形的中位線，mnac，mnac.由正方體的性質得：aca1c1，aca1c1.mna1c1，且mna1c1，即mna1c1，四邊形mna1c1是梯形方法指導：證明兩直線平行時，通常利用平面幾何中的三角形中位線、梯形中位線、平行四邊形的性質、平行線分線段成比例定理以及公理4.反饋訓練2、如圖，空間四邊形abcd中，e，f，g，h分別是ab，bc，cd，da的中點求證：四邊形efgh是平行四邊形要點三 異面直線所成的角求異面直線所成的角，關鍵是通過平移法求解過某一點作平行線將異面直線所成的角轉化為平面角，最后通過解三角形求解主要以“作，證，算”來求異面直線所成的角，同時，要注意異面直線所成角的范圍是(0，90典型例題3、如圖，在空間四邊形abcd中，ad=bc=2a，e、f分別是ab、cd的中點，ef=a，求ad、bc所成的角【思路啟迪】要求異面直線ad、bc所成的角，可通過空間中找一些特殊的點此題已知e、f分別為兩邊中點，故可尋找某一邊中點作角，如bd中點m，即emf(或其補角)為所求角【解】如圖，取bd中點m.由題意可知em為bad的中位線，em=ad.同理mf=bc，ema，mfa.且emf(或其補角)為所求角在等腰mef中，取ef的中點n，連接mn，則mnef.又已知efa，ena.故有sinemn.emn60，從而emf12090.ad、bc所成的角為emf的補角即ad與bc所成的角為60.方法指導：(1)平移直線得出的角有可能是兩條異面直線所成角的補角，要注意識別這種情況(2)三角形的中位線是立體幾何中常用到的線段，是解決立體幾何問題最重要的輔助線，三角形中位線的性質是求兩異面直線所成角的基礎，要通過適當?shù)木毩?，逐步體會其重要性和應用的技巧反饋訓練3、如圖，長方體abcda1b1c1d1中，aa1=ab=2，ad=1，點e、f、g分別是dd1、ab、cc1的中點，求異面直線a1e與gf所成的角考點鞏固 1若a、b是異面直線，和a、b同時相交的兩直線c、d一定是()a異面直線b相交直線c平行直線 d異面或相交直線2已知在三棱錐abcd中，m、n分別為ab、cd的中點，則下列結論正確的是()amn(acbd) bmn(acbd)cmn(acbd) dmn(acbd)3如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，bm與ed平行；cn與be是異面直線；cn與bm成60角；dm與bn垂直以上四個命題中，正確命題的序號是()abcd4若aob45，直線aoa，直線a與ob異面，則a與ob所成的角是_5如圖，正方體abcda1b1c1d1中，下列各組直線：aa1與bc；a1c1與bd；ac與bd1；bd與b1c，其中異面角為90的有_ 6如圖在正方體abcda1b1c1d1中，e，f，e1，f1分別為棱ad，ab，b1c1，c1d1的中點求證：ea1f=e1cf1.7如圖，在四面體abcd中，e、f、m分別是棱ad，bc，ac上的點，且=，已知ab=cd=5，ef=，求異面直線ab和cd所成的角8在長方體abcdabcd的面ac上有一點p，如圖所示，其中p點不在對角線bd上(1)過p點在空間作一直線l，使l直線bd，應該如何作圖，并說明理由(2)過p點在平面ac內作一直線l，使l與直線bd成角，這樣的直線有幾條？考點鞏固-答案1、解析：如圖，(1)中c，d相交，(2)中c，d異面答案：d2、解析：取ad中點g，連接mg，ng，則mgbd，ngac，在mng中，mnmgng，mn(acbd)答案：d3、解析：如圖，把正方體的平面展開圖還原到原來的正方體，顯然bm與ed為異面直線，故命題不成立；而cn與be平行，故命題不成立；而4個選項中僅有c項不含.應選c.答案：c4、解析：由aoa，得aob即異面直線a與ob所成的角，故a與ob所成角為45.答案：455、解析：正方體中，棱與棱成90角；相對的兩面對角線成90角；面對角線與體對角線異面且垂直答案：6、證明：如圖所示，在正方體ac1中，取a1b1的中點m，連接bm、mf1，則bfa1mab.又bfa1m，四邊形a1fbm為平行四邊形a1fbm.而f1，m分別為c1d1，a1b1的中點，則f1m綊c1b1.而c1b1綊bc，f1mbc，且f1mbc.四邊形f1mbc為平行四邊形，bmf1c.又bma1f，a1fcf1.同理取a1d1的中點n，連接dn，e1n，則a1n綊de，四邊形a1nde為平行四邊形a1edn.又e1ncd，且e1ncd，四邊形e1ndc為平行四邊形，dnce1.a1ece1.ea1f與e1cf1的兩邊分別對應平行即a1ece1，a1fcf1，ea1fe1cf1.7、解：因為，所以emdc，且，所以em2，同理可證mfab，且，所以fm3，所以emf即為異面直角ab和cd所成的角在emf中，em2，fm3，ef，所以em2fm2ef2，所以emf90，即異面直線ab和cd所成的角為90.8、解： (1)連接bd，在平面ac內過p點作直線l，使lbd，則l即為所求作的直線bdbd，lbd，lbd.(2)在平面ac內作l，使l與bd相交成角，bdbd，l與bd也成角，即l為所求作的直線若l與bd是異面直線，則l與bd所成的角，當時，這樣的l有且只有一條；當時，這樣的l有兩條若l與bd共面，則l與bd平行，這樣的直線只有一條21.3空間中直線與平面之間的位置關系21.4平面與平面之間的位置關系1、 考綱要求：1了解直線與平面之間的三種位置關系，會用圖形語言和符號語言表示2了解平面與平面之間的兩種位置關系，會用符號語言和圖形語言表示2、 自主學習 問題1、空間中的兩條直線又有怎樣的位置關系呢？觀察教室內日光燈管所在直線與黑板的左右側所在的直線；操場上旗桿所在的直線與長安街所在的直線，楊家坪輕軌線與公路所在的直線，它們的共同特征是什么？ababcdcd思考：如下圖，長方體abcd-abcd中，線段ab所在直線與線段cc所在直線的位置關系如何？問題2：歸納總結 ，形成概念異面直線:問題3：空間中兩條直線的位置關系有三種：問題4：判斷：下列各圖中直線l與m是異面直線嗎? 1 2 3 4 5 6問題5：思考：在同一平面內，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線平行。空間中，如果兩條直線都與第三條直線平行，是否也有類似的規(guī)律?問題6：一支筆所在的直線與一個作業(yè)本所在的平面，可能有幾種位置關系？問題7：如圖，線段ab所在直線與長方體的六個面所在平面有幾種位置關系？問題8：如何用圖形語言表示直線與平面的三種位置關系?問題9：如何用符號語言表示直線與平面的三種位置關系？3、 考點突破1、典型例題類型一直線與平面、平面與平面位置關系的畫法【例1】 指出圖中的圖形畫法是否正確，若不正確，請你畫出正確圖形解(1)(2)(3)(4)的圖形畫法都不正確，正確畫法如圖所示【反饋訓練1】 作出下列各小題的圖形(1)畫直線a、b，使aa，b；(2)畫平面、，使，m，n；(3)畫平面、，直線a、b，使l，a，b，且a，bb.解：如圖類型二直線與平面位置關系的判斷【例2】 如圖在正方體abcd a1b1c1d1中判斷下列位置關系：(1)ad1所在直線與平面bcc1的位置關系是_；(2)平面a1bc1與平面abcd的位置關系是_答案(1)平行(2)相交【反饋訓練2】 簡述下列問題的結論，并畫圖說明(1)直線a，直線baa，則b與的位置關系如何？(2)直線a，直線ba，則b與的位置關系如何？解(1)b在平面內或b與平面相交，如圖(1)； 圖(1) 圖(2)(2)在平面內或與平面平行，如圖(2) 類型三平面與平面的位置關系的判斷【例3】 給出的下列四個命題中，其中正確命題的個數(shù)是()平面內有兩條直線和平面平行，那么這兩個平面平行；平面內有無數(shù)條直線和平面平行，則與平行；平面內abc的三個頂點到平面的距離相等，則與平行；若兩個平面有無數(shù)個公共點，則這兩個平面的位置關系是相交或重合a0 b1 c3 d4思路探索 根據(jù)平面平行、相交的定義，借助于模型長方體或正方體進行判斷解析如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，對于，在平面a1d1da中，ad平面a1b1c1d1，分別取aa1、dd1的中點e，f，連接ef，則知ef平面a1b1c1d1.但平面aa1d1d與平面a1b1c1d1是相交的，交線為a1d1，故命題錯對于，在正方體abcda1b1c1d1的面aa1d1d中，與a1d1平行的直線有無數(shù)條，但平面aa1d1d與平面a1b1c1d1不平行，而是相交于直線a1d1，故是錯誤的對于，在正方體abcda1b1c1d1中，分別取aa1，dd1，bb1，cc1的中點e，f，g，h，a1，b，c到平面efhg的距離相等，而a1bc與平面efhg相交，故是錯誤的兩平面位置關系中不存在重合，若重合則為一個平面，故命題錯答案a規(guī)律方法(1)由于下節(jié)課學習平面與平面的判定定理，所以現(xiàn)在判斷兩平面的位置關系或兩平面內的線線，線面關系，我們常根據(jù)定義，借助實物模型“百寶箱”長方體(或正方體)進行判斷(2)反證法也用于相關問題的證明【反饋訓練3】 (1)平面內有無數(shù)條直線與平面平行，問是否正確，為什么？(2)平面內的所有直線與平面都平行，問是否正確，為什么？解(1)不正確如圖所示，設l，則在平面內與l平行的直線可以有無數(shù)條：a1，a2，an，它們是一組平行線，這時a1，a2，an，與平面都平行(因為a1，a2，an，與平面無交點)，但此時與不平行，l.(2)正確平面內所有直線與平面平行，則平面與平面無交點，符合平面與平面平行的定義方法技巧反證法在線面位置關系證明中的 應用在立體幾何有關線線、線面、面面位置關系的證明中，對于一些明顯成立，但直接證明又缺少推理依據(jù)的問題，常利用反證法來證明，即從否定結論出發(fā)，進行推理，直到推出與已知條件或與學過的定理(公理)及其它事實相矛盾，從而說明原結論成立【示例】 證明：如果一條直線l經過平面內一點a，又經過平面外一點b，則此直線l必與平面相交思路分析 本題證明的實質是直線l與平面除去點a外，不存在其他公共點，可以利用反證法證明由已知直線l和平面有公共點a，如圖所示，直線l與平面不平行假設直線l和平面不相交，則l，bl，b.這與已知b矛盾，直線l和平面相交題后反思 當正面說理較為困難時，可假設要證命題不