高考數學總復習 第5章 第5節(jié) 數列的綜合應用課件 新人教A版.ppt

第五節(jié)數列的綜合應用 1 認識數列的函數特性 能結合方程 不等式和解析幾何等知識解決一些數列綜合題 2 能在實際情形中運用數列知識解決實際問題 一 數列綜合應用題的解題步驟1 審題 弄清題意 分析涉及哪些數學內容 在每個數學內容中 各是什么問題 2 分解 把整個大題分解成幾個小題或幾個 步驟 每個小題或每個 步驟 分別是數列問題 函數問題 解析幾何問題 不等式問題等 3 求解 分別求解這些小題或這些 步驟 從而得到整個問題的解答 具體解題步驟如下框圖 二 數列應用問題的常見模型1 等差模型 一般地 如果增加 或減少 的量是一個固定的具體量時 該模型是等差模型 增加 或減少 的量就是公差 其一般形式是 an 1 an d 常數 2 等比模型 一般地 如果增加 或減少 的量是一個固定的百分數時 該模型是等比模型 與變化前的量的比就是公比 3 混合模型 在一個問題中 同時涉及到等差數列和等比數列的模型 4 生長模型 如果某一個量 每一期以一個固定的百分數增加 或減少 同時又以一個固定的具體量增加 或減少 時 我們稱該模型為生長模型 如分期付款問題 樹木的生長與砍伐問題等 5 遞推模型 如果容易找到該數列任意一項an與它的前一項an 1 或前n項 間的遞推關系式 那么我們可以用遞推數列的知識求解問題 銀行儲蓄單利公式及復利公式是什么模型 提示 單利公式是等差數列模型 復利公式是等比數列模型 1 若a b c成等比數列 則函數y ax2 bx c的圖象與x軸的交點的個數為 a 0b 1c 2d 不能確定解析 由題意b2 ac ac 0 b2 4ac 3b2 0 答案 a 2 設等差數列 an 的公差d不為0 a1 9d 若ak是a1與a2k的等比中項 則k等于 a 2b 4c 6d 8解析 an a1 n 1 d n 8 d 且ak2 a1a2k 8 k d 2 9d 8 2k d k 4 答案 b 答案 c 答案 4 5 某科研單位欲拿出一定的經費獎勵科研人員 第1名得全部資金的一半多一萬元 第二名得剩下的一半多一萬元 以名次類推都得到剩下的一半多一萬元 到第10名恰好資金分完 則此科研單位共拿出 萬元資金進行獎勵 答案 2046 1 等差數列與等比數列相結合的綜合問題是高考考查的重點 特別是等差 等比數列的通項公式 前n項和公式以及等差中項 等比中項問題是歷年命題的熱點 2 利用等比數列前n項和公式時注意公比q的取值 同時對兩種數列的性質 要熟悉它們的推導過程 利用好性質 可降低題目的難度 解題時有時還需利用條件聯立方程求解 活學活用 1 設 an 是公比大于1的等比數列 sn為數列 an 的前n項和 已知s3 7 且a1 3 3a2 a3 4構成等差數列 1 求數列 an 的通項 2 令bn lna3n 1 n 1 2 求數列 bn 的前n項和tn 1 解等差等比數列應用題 首先要認真審題 深刻理解問題的實際背景 理清蘊含在語言中的數學關系 把應用問題抽象為數學中的等差數列問題 使關系明朗化 標準化 然后用等差數列知識求解 這其中體現了把實際問題數學化的能力 也就是所謂的數學建模能力 2 解等差等比數列應用題的關鍵是建模 建模的思路是 從實際出發(fā) 通過抽象概括建立數列模型 通過對模型的解析 再返回實際中去 2011湖南高考 某企業(yè)在第1年初購買一臺價值為120萬元的設備m m的價值在使用過程中逐年減少 從第2年到第6年 每年初m的價值比上年初減少10萬元 從第7年開始 每年初m的價值為上年初的75 1 求第n年初m的價值an的表達式 特別提醒 與等比數列聯系較大的是 增長率 遞減率 的概念 在經濟上多涉及利潤 成本 效益的增減問題 在人口數量的研究中也要研究增長率問題 金融問題更多涉及復利的問題 這都與等比數列有關 1 設n年內 本年度為第一年 總投入為an萬元 旅游業(yè)總收入為bn萬元 寫出an bn的表達式 2 至少經過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入 數列與其他知識的綜合問題主要指的是用幾何方法或函數的解析式構造數列 用函數或方程的方法研究數列問題 函數與數列的綜合問題主要有以下兩類 一是已知函數的條件 利用函數的性質圖象研究數列問題 如恒成立 最值問題等 二是已知數列條件 利用數列的范圍 公式 求和方法等知識對式子化簡變形 從而解決函數問題 思路點撥 1 由已知代入函數解析式得an 1與an的關系從而獲解 2 兩兩結合提取公因式利用第一步條件獲解 3 利用裂項求和及數列性質求解 特別提醒 本題在求sn的取值范圍時思路易受阻 原因是忽視了數列中常用單調性求解的方法 活學活用 同理 n 1 2rn 1 從而 n 1 n rn rn 1 2rn 1 將 n 2rn代入 解得rn 1 3rn 故 rn 為公比q 3的等