高考數(shù)學(xué) 7.1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖課件.ppt

第七章立體幾何第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖 知識(shí)梳理 1 必會(huì)知識(shí)教材回扣填一填 1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 多面體的結(jié)構(gòu)特征 平行且相等 全等 公共點(diǎn) 平行于底面 相似 多邊 旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 任一邊 任一直角邊 垂直于底邊的腰 直徑 2 空間幾何體的三視圖 三視圖的形成與名稱 形成 空間幾何體的三視圖是用平行投影得到的 在這種投影之下 與投影面平行的平面圖形留下的影子 與平面圖形的 和 是完全相同的 名稱 三視圖包括 形狀 大小 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 三視圖的畫法 在畫三視圖時(shí) 重疊的線只畫一條 擋住的線要畫成 三視圖的正視圖 側(cè)視圖 俯視圖分別是從幾何體的 方 方 方觀察幾何體畫出的輪廓線 虛線 正前 正左 正上 3 空間幾何體的直觀圖 空間幾何體的直觀圖常用 畫法來畫 基本步驟是 畫幾何體的底面 在已知圖形中取互相垂直的x軸 y軸 兩軸相交于點(diǎn)o 畫直觀圖時(shí) 把它們畫成對(duì)應(yīng)的x 軸 y 軸 兩軸相交于點(diǎn)o 且使 x o y 已知圖形中平行于x軸的線段 在直觀圖中長(zhǎng)度 平行于y軸的線段 長(zhǎng)度 斜二測(cè) 45 或135 不變 減半 畫幾何體的高 在已知圖形中過o點(diǎn)作z軸垂直于xoy平面 在直觀圖中對(duì)應(yīng)的z 軸 也垂直于x o y 平面 已知圖形中平行于z軸的線段 在直觀圖中仍平行于z 軸且長(zhǎng)度 不變 2 必備結(jié)論教材提煉記一記 1 正棱柱 正棱錐的結(jié)構(gòu)特征 正棱柱 側(cè)棱 于底面的棱柱叫做直棱柱 底面是 的直棱柱叫做正棱柱 反之 正棱柱的底面是 側(cè)棱 于底面 側(cè)面是矩形 正棱錐 底面是正多邊形 頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐 特別地 各棱 的正三棱錐叫正四面體 垂直 正多邊形 正多邊形 垂直 均相等 2 簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征 由簡(jiǎn)單幾何體 或 或 一部分而成 3 三視圖的長(zhǎng)度特征 一個(gè)幾何體的三視圖 平齊 對(duì)正 相等 3 必用技法核心總結(jié)看一看 1 三視圖與直觀圖互相轉(zhuǎn)換的方法 2 數(shù)學(xué)思想 轉(zhuǎn)化與化歸思想 拼接 截去 挖去 高 長(zhǎng) 寬 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 底面是正方形的四棱柱為正四棱柱 2 有一個(gè)面是多邊形 其余各面都是三角形的幾何體是棱錐 3 夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是圓柱 4 用斜二測(cè)畫法畫水平放置的 a時(shí) 若 a的兩邊分別平行于x軸和y軸 且 a 90 則在直觀圖中 a 45 5 正方體 球 圓錐各自的三視圖中 三視圖均相同 解析 1 錯(cuò)誤 因?yàn)閭?cè)棱不一定與底面垂直 2 錯(cuò)誤 盡管幾何體滿足了一個(gè)面是多邊形 其余各面都是三角形 但不能保證三角形具有公共頂點(diǎn) 3 錯(cuò)誤 因?yàn)閮蓚€(gè)平行截面不能保證與底面平行 4 錯(cuò)誤 a應(yīng)為45 或135 5 錯(cuò)誤 正方體的三視圖由于正視的方向不同 其三視圖的形狀可能不同 圓錐的側(cè)視圖與俯視圖顯然不相同 答案 1 2 3 4 5 2 教材改編鏈接教材練一練 1 必修2p10t1改編 如圖 長(zhǎng)方體abcd a b c d 中被截去一部分 其中eh a d 剩下的幾何體是 a 棱臺(tái)b 四棱柱c 五棱柱d 簡(jiǎn)單組合體 解析 選c 由空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征知 該剩下部分為五棱柱abfea dcghd 2 必修2p21t2 4 改編 若某幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體為 解析 由三視圖知該幾何體為上面為一圓柱 下面為一四棱柱組合而成的簡(jiǎn)單組合體 答案 四棱柱與圓柱組合而成的簡(jiǎn)單組合體 3 真題小試感悟考題試一試 1 2014 江西高考 一幾何體的直觀圖如圖所示 下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是 解析 選b 因?yàn)楦┮晥D是幾何體在下底面上的投影 所以選b 2 2013 四川高考 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的直觀圖可以是 解析 選d 根據(jù)幾何體的三視圖中正視圖與側(cè)視圖一致 并且俯視圖是兩個(gè)圓 可知只有選項(xiàng)d適合 故選d 3 2015 珠海模擬 利用斜二測(cè)畫法得到的 三角形的直觀圖一定是三角形 正方形的直觀圖一定是菱形 等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形 菱形的直觀圖一定是菱形 以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是 解析 由斜二測(cè)畫法的規(guī)則可知 正確 錯(cuò)誤 是一般的平行四邊形 錯(cuò)誤 等腰梯形的直觀圖不可能是平行四邊形 而菱形的直觀圖也不一定是菱形 也錯(cuò)誤 答案 1 考點(diǎn)1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 典例1 1 下列說法正確的是 a 有兩個(gè)平面互相平行 其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱b 四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形c 有兩個(gè)平面互相平行 其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)d 棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后不一定交于一點(diǎn) 2 以下命題 以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐 以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái) 圓柱 圓錐 圓臺(tái)的底面都是圓 一個(gè)平面截圓錐 得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái) 其中正確命題的個(gè)數(shù)為 a 0b 1c 2d 3 解題提示 1 根據(jù)棱柱 棱錐 棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷 2 根據(jù)圓柱 圓錐 圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷 規(guī)范解答 1 選b a錯(cuò) 如圖1 b正確 如圖2 其中底面abcd是矩形 可證明 pab pcb都是直角 這樣四個(gè)側(cè)面都是直角三角形 c錯(cuò) 如圖3 d錯(cuò) 由棱臺(tái)的定義知 其側(cè)棱必相交于同一點(diǎn) 2 選b 命題 錯(cuò) 因?yàn)檫@條邊若是直角三角形的斜邊 則得不到圓錐 命題 錯(cuò) 因?yàn)檫@條腰必須是垂直于兩底的腰 命題 對(duì) 命題 錯(cuò) 必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以 規(guī)律方法 解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的技巧 1 熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型 在條件不變的情況下 變換模型中的線面關(guān)系或增加線 面等基本元素 然后再依據(jù)題意判定 2 利用反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析 即要說明某個(gè)命題是錯(cuò)誤的 只要舉出一個(gè)反例即可 變式訓(xùn)練 給出下列命題 棱柱的側(cè)棱都相等 側(cè)面都是全等的平行四邊形 用一個(gè)平面去截棱錐 棱錐底面與截面之間的部分是棱臺(tái) 若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直 則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直 若四棱柱有兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面 則該四棱柱為直四棱柱 存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體 棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn) 其中正確命題的序號(hào)是 a b c d 解析 選c 錯(cuò)誤 因?yàn)槔庵膫?cè)面不一定是全等的平行四邊形 錯(cuò)誤 必須用平行于底面的平面去截棱錐 才能得到棱臺(tái) 正確 根據(jù)面面垂直的判定定理判斷 正確 因?yàn)閮蓚€(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱 又垂直于底面 正確 如圖所示 正方體ac1中的三棱錐c1 abc 四個(gè)面都是直角三角形 正確 由棱臺(tái)的概念可知 因此 正確命題的序號(hào)是 加固訓(xùn)練 2015 北京模擬 下列結(jié)論正確的是 a 各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐b 以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸 其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐c 棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等 則此棱錐可能是六棱錐d 圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線 解析 選d a錯(cuò)誤 如圖所示 由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體 各面都是三角形 但它不是三棱錐 b錯(cuò)誤 如圖 若 abc不是直角三角形或是直角三角形 但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊 所得的幾何體都不是圓錐 c錯(cuò)誤 若六棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等 則底面多邊形是正六邊形 由幾何圖形知 若以正六邊形為底面 側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng) 考點(diǎn)2空間幾何體的三視圖知 考情空間幾何體三視圖的確認(rèn)與應(yīng)用是高考考查空間幾何體的一個(gè)重要考向 常與空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 直觀圖 表面積與體積等知識(shí)綜合 以選擇題 填空題的形式出現(xiàn) 明 角度命題角度1 根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征確認(rèn)其三視圖 典例2 2015 廈門模擬 如圖所示 正方體abcd a1b1c1d1中 e為棱bb1的中點(diǎn) 若用過點(diǎn)a e c1的平面截去該正方體的上半部分 則剩余幾何體的側(cè)視圖為 解題提示 結(jié)合原正方體先確定剩余幾何體的形狀 再確認(rèn)其側(cè)視圖 規(guī)范解答 選c 設(shè)過點(diǎn)a e c1的截面與棱dd1相交于點(diǎn)f 且f是棱dd1的中點(diǎn) 該正方體截去上半部分后 剩余幾何體如圖所示 則它的側(cè)視圖應(yīng)選c 易錯(cuò)警示 解答本題有兩點(diǎn)易出錯(cuò) 1 將剩余的幾何體搞錯(cuò) 錯(cuò)誤認(rèn)為截面過d1點(diǎn)而誤選b或d 2 將剩余幾何體確認(rèn)正確 但將ec1的投影搞錯(cuò)而誤選a 命題角度2 根據(jù)三視圖還原直觀圖 幾何體的結(jié)構(gòu)特征 典例3 2014 新課標(biāo)全國(guó)卷 如圖所示 網(wǎng)格紙的各小格都是正方形 粗實(shí)線畫出的是一個(gè)幾何體的三視圖 則這個(gè)幾何體是 本題源于教材必修2p15t4 a 三棱錐b 三棱柱c 四棱錐d 四棱柱 解題提示 結(jié)合三視圖進(jìn)行判斷 特別注意垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 規(guī)范解答 選b 將三視圖還原為幾何體即可 如圖所示 幾何體為三棱柱 悟 技法1 根據(jù)幾何體確認(rèn)三視圖的技巧由實(shí)物圖畫三視圖或判斷選擇三視圖 按照 正側(cè)一樣高 正俯一樣長(zhǎng) 俯側(cè)一樣寬 的特點(diǎn)確認(rèn) 2 根據(jù)三視圖還原幾何體的技巧策略 1 對(duì)柱 錐 臺(tái) 球的三視圖要熟悉 2 明確三視圖的形成原理 并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為直觀圖 3 遵循 長(zhǎng)對(duì)正 高平齊 寬相等 的原則 提醒 對(duì)于簡(jiǎn)單組合體的三視圖 首先要確定正視 側(cè)視 俯視的方向 其次要注意組合體由哪些幾何體組成 弄清它們的組成方式 特別應(yīng)注意它們的交線的位置 區(qū)分好實(shí)線和虛線的不同 通 一類1 2015 天津模擬 一個(gè)正方體截去兩個(gè)角后所得幾何體的正視圖 俯視圖如圖所示 則其側(cè)視圖為 解析 選c 根據(jù)一個(gè)正方體截去兩個(gè)角后所得幾何體的正視圖 俯視圖可得幾何體的直觀圖為 所以側(cè)視圖為 2 2013 湖南高考 已知正方體的棱長(zhǎng)為1 其俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形 側(cè)視圖是一個(gè)面積為的矩形 則該正方體的正視圖的面積等于 解析 選d 由題知此正方體的正視圖與側(cè)視圖是一樣的 正視圖的面積與側(cè)視圖的面積相等 為 3 2015 威海模擬 一空間幾何體的三視圖如圖所示 則此空間幾何體的直觀圖為 解析 選a 由正視圖與俯視圖知 上部的三棱錐的頂點(diǎn)應(yīng)在棱的中點(diǎn)處 選a 4 2015 鄭州模擬 一只螞蟻從正方體abcd a1b1c1d1的頂點(diǎn)a處出發(fā) 經(jīng)正方體的表面 按最短路線爬行到達(dá)頂點(diǎn)c1位置 則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻?zhàn)疃膛佬新肪€的正視圖是 a b c d 解析 選c 由已知得最短路線應(yīng)有四條 其正視圖符合要求的只有 故選c 考點(diǎn)空間幾何體的直觀圖 典例 1 2015 宜春模擬 已知正三角形abc的邊長(zhǎng)為a 那么 abc的平面直觀圖 a b c 的面積為 2 如圖所示 四邊形a b c d 是一水平放置的平面圖形的斜二測(cè)畫法的直觀圖 在斜二測(cè)直觀圖中 四邊形a b c d 是一直角梯形 a b c d a d c d 且b c 與y 軸平行 若a b 6 d c 4 a d 2 則這個(gè)平面圖形的實(shí)際面積為 解題提示 1 先建立坐標(biāo)系 然后畫出 abc的直觀圖 a b c 求出 a b c 相關(guān)的邊 確定其面積 2 按照斜二測(cè)畫法 將直角梯形還原為平面圖形再求解 規(guī)范解答 1 選d 如圖 所示的實(shí)際圖形和直觀圖 由 可知 a b ab a o c 在圖 中作c d a b 于d 則c d 所以s a b c a b c d 2 根據(jù)斜二測(cè)畫法規(guī)則可知 該平面圖形是直角梯形 且ab 6 cd 4 由于c b a d 2 所以cb 4 故平面圖形的實(shí)際面積為 6 4 4 20 答案 20 互動(dòng)探究 若本例 1 改為 a1b1c1是邊長(zhǎng)為a的正三角形 且 a1b1c1是 abc的直觀圖 則 abc的面積為多少 解析 如圖 可知在 a1d1c1中 由正弦定理得x a 所以s abc 規(guī)律方法 直觀圖畫法的關(guān)鍵與結(jié)論 1 關(guān)鍵 在斜二測(cè)畫法中 要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段 平行于x軸的線段平行性不變 長(zhǎng)度不變 平行于y軸的線段平行性不變 長(zhǎng)度減半 2 結(jié)論 按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖 其面積與原圖形的面積的關(guān)系 s直觀圖 s原圖形 變式訓(xùn)練 如圖 正方形oabc的邊長(zhǎng)為1cm 它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖 則原圖形的周長(zhǎng)為 解析 將直觀圖還原為平面圖形 如圖 可知還原后的圖形中ob 2 ab 于是周長(zhǎng)為2 3 2 1 8 cm 答案 8cm 加固訓(xùn)練 1 如圖所示是水平放置三角形的直觀圖 d是 abc的bc邊中點(diǎn) ab bc分別與y 軸 x 軸平行 則三條線段ab ad ac中 a 最長(zhǎng)的是ab 最短的是acb 最長(zhǎng)的是ac 最短的是abc 最長(zhǎng)的是ab 最短的是add 最長(zhǎng)的是ac 最短的是ad 解析 選b 由條件知 原平面圖形中ab bc 從而ab ad ac 2 水平放置的 abc的斜二測(cè)直觀圖如圖所示 若a1c1 2 abc的面積為2 則a1b1的長(zhǎng)為 解析 由直觀圖可知ac bc bc 2b1c1 ac 2 又因?yàn)閍c bc 2 所以bc 2 則b1c1 bc 所以 22 2 2 2 cos45 2 解得a1b1 答案 3 如圖所示 梯形a1b1c1d1是一個(gè)平面圖形abcd的直觀圖 若a1d1 o1y a1b1 c1d1 a1b1 c1d1 2 a1d1 o1d1 1 請(qǐng)畫出原來的平面幾何圖形的形狀 并求原圖形的面積 解析 如圖 建立直角坐標(biāo)系xoy 在x軸上截取od o1d1 1 oc o1c1 2 在過點(diǎn)d的y軸的平行線上截取da 2d1a1 2