高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 第3講 立體幾何中的向量方法配套課件 理.ppt

專題五立體幾何 第3講立體幾何中的向量方法 主干知識(shí)梳理 熱點(diǎn)分類突破 真題與押題 3 主干知識(shí)梳理 1 直線與平面 平面與平面的平行與垂直的向量方法設(shè)直線l的方向向量為a a1 b1 c1 平面 的法向量分別為 a2 b2 c2 v a3 b3 c3 以下相同 1 線面平行l(wèi) a a 0 a1a2 b1b2 c1c2 0 2 線面垂直l a a k a1 ka2 b1 kb2 c1 kc2 3 面面平行 v v a2 a3 b2 b3 c2 c3 4 面面垂直 v v 0 a2a3 b2b3 c2c3 0 2 直線與直線 直線與平面 平面與平面的夾角計(jì)算設(shè)直線l m的方向向量分別為a a1 b1 c1 b a2 b2 c2 平面 的法向量分別為 a3 b3 c3 v a4 b4 c4 以下相同 1 線線夾角 2 線面夾角 3 面面夾角設(shè)半平面 的夾角為 0 提醒求二面角時(shí) 兩法向量的夾角有可能是二面角的補(bǔ)角 要注意從圖中分析 3 求空間距離直線到平面的距離 兩平行平面的距離均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離 點(diǎn)p到平面 的距離 d 其中n為 的法向量 m為 內(nèi)任一點(diǎn) 熱點(diǎn)一利用向量證明平行與垂直 熱點(diǎn)二利用向量求空間角 熱點(diǎn)三利用空間向量求解探索性問題 熱點(diǎn)分類突破 例1如圖 在直三棱柱ade bcf中 面abfe和面abcd都是正方形且互相垂直 m為ab的中點(diǎn) o為df的中點(diǎn) 運(yùn)用向量方法證明 1 om 平面bcf 熱點(diǎn)一利用向量證明平行與垂直 思維啟迪從a點(diǎn)出發(fā)的三條直線ab ad ae兩兩垂直 可建立空間直角坐標(biāo)系 證明方法一由題意 得ab ad ae兩兩垂直 以a為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 棱柱ade bcf是直三棱柱 ab 平面bcf 是平面bcf的一個(gè)法向量 且om 平面bcf om 平面bcf 2 平面mdf 平面efcd 證明設(shè)平面mdf與平面efcd的一個(gè)法向量分別為n1 x1 y1 z1 n2 x2 y2 z2 同理可得n2 0 1 1 n1 n2 0 平面mdf 平面efcd 又om 平面bcf om 平面bcf 2 由題意知 bf bc ba兩兩垂直 om cd om fc 又cd fc c om 平面efcd 又om 平面mdf 平面mdf 平面efcd 變式訓(xùn)練1 如圖 在四棱錐p abcd中 pa 平面abcd 底面abcd是菱形 pa ab 2 bad 60 e是pa的中點(diǎn) 1 求證 直線pc 平面bde 證明設(shè)ac bd o 因?yàn)?bad 60 ab 2 底面abcd為菱形 所以bo 1 ao co ac bd 如圖 以o為坐標(biāo)原點(diǎn) 以ob oc所在直線分別為x軸 y軸 過點(diǎn)o且平行于pa的直線為z軸 建立空間直角坐標(biāo)系o xyz 1 設(shè)平面bde的法向量為n1 x1 y1 z1 所以pc 平面bde 故bd pc 2 求證 bd pc 例2如圖 五面體中 四邊形abcd是矩形 ab ef ad 平面abef 且ad 1 ab ef 2 af be 2 p q分別為ae bd的中點(diǎn) 1 求證 pq 平面bce 熱點(diǎn)二利用向量求空間角 思維啟迪易知pq為 ace的中位線 證明連接ac 四邊形abcd是矩形 且q為bd的中點(diǎn) q為ac的中點(diǎn) 又在 aec中 p為ae的中點(diǎn) pq ec ec 面bce pq 面bce pq 平面bce 2 求二面角a df e的余弦值 思維啟迪根據(jù)ad 平面abef構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系 解如圖 取ef的中點(diǎn)m 則af am 以a為坐標(biāo)原點(diǎn) 以am af ad所在直線分別為x y z軸建立空間直角坐標(biāo)系 則a 0 0 0 d 0 0 1 m 2 0 0 f 0 2 0 令x 1 則y 1 z 2 故n 1 1 2 是平面def的一個(gè)法向量 由圖可知所求二面角為銳角 變式訓(xùn)練2 如圖 已知三棱錐o abc的側(cè)棱oa ob oc兩兩垂直 且oa 1 ob oc 2 e是oc的中點(diǎn) 1 求o點(diǎn)到面abc的距離 解以o為原點(diǎn) ob oc oa所在直線分別為x y z軸建立空間直角坐標(biāo)系 如圖 則有a 0 0 1 b 2 0 0 c 0 2 0 e 0 1 0 設(shè)平面abc的法向量為n1 x y z 取n1 1 1 2 2 求二面角e ab c的正弦值 設(shè)平面eab的法向量為n x y z 取n 1 2 2 由 1 知平面abc的一個(gè)法向量為n1 1 1 2 例3如圖 在直三棱柱abc a1b1c1中 ab bc 2aa1 abc 90 d是bc的中點(diǎn) 1 求證 a1b 平面adc1 熱點(diǎn)三利用空間向量求解探索性問題 由abc a1b1c1是直三棱柱 得四邊形acc1a1為矩形 o為a1c的中點(diǎn) 證明連接a1c 交ac1于點(diǎn)o 連接od 又d為bc的中點(diǎn) 所以od為 a1bc的中位線 所以a1b od 因?yàn)閛d 平面adc1 a1b 平面adc1 所以a1b 平面adc1 2 求二面角c1 ad c的余弦值 解由abc a1b1c1是直三棱柱 且 abc 90 得ba bc bb1兩兩垂直 以bc ba bb1所在直線分別為x y z軸 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系b xyz 設(shè)ba 2 則b 0 0 0 c 2 0 0 a 0 2 0 c1 2 0 1 d 1 0 0 易知平面adc的一個(gè)法向量為v 0 0 1 因?yàn)槎娼莄1 ad c是銳二面角 所以二面角c1 ad c的余弦值為 3 試問線段a1b1上是否存在點(diǎn)e 使ae與dc1成60 角 若存在 確定e點(diǎn)位置 若不存在 說明理由 解假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)e 因?yàn)辄c(diǎn)e在線段a1b1上 a1 0 2 1 b1 0 0 1 故可設(shè)e 0 1 其中0 2 因?yàn)閍e與dc1成60 角 所以當(dāng)點(diǎn)e為線段a1b1的中點(diǎn)時(shí) ae與dc1成60 角 變式訓(xùn)練3 如圖 在三棱錐p abc中 ac bc 2 acb 90 ap bp ab pc ac 點(diǎn)d為bc的中點(diǎn) 1 求二面角a pd b的余弦值 解 ac bc pa pb pc pc pca pcb pca pcb pc ac pc cb 又ac cb c pc 平面acb 且pc ca cb兩兩垂直 故以c為坐標(biāo)原點(diǎn) 分別以cb ca cp所在直線為x y z軸建立空間直角坐標(biāo)系 則c 0 0 0 a 0 2 0 d 1 0 0 p 0 0 2 設(shè)平面pad的一個(gè)法向量為n x y z 設(shè)二面角a pd b的平面角為 且 為鈍角 2 在直線ab上是否存在點(diǎn)m 使得pm與平面pad所成角的正弦值為 若存在 求出點(diǎn)m的位置 若不存在 說明理由 解方法一存在 m是ab的中點(diǎn)或a是mb的中點(diǎn) 解得x 1或x 2 m 1 1 0 或m 2 4 0 在直線ab上存在點(diǎn)m 且當(dāng)m是ab的中點(diǎn)或a是mb的中點(diǎn)時(shí) 使得pm與平面pad所成角的正弦值為 方法二存在 m是ab的中點(diǎn)或a是mb的中點(diǎn) m是ab的中點(diǎn)或a是mb的中點(diǎn) 在直線ab上存在點(diǎn)m 且當(dāng)m是ab的中點(diǎn)或a是mb的中點(diǎn)時(shí) 使得pm與平面pad所成角的正弦值為 空間向量在處理空間問題時(shí)具有很大的優(yōu)越性 能把 非運(yùn)算 問題 運(yùn)算 化 即通過直線的方向向量和平面的法向量 把立體幾何中的平行 垂直關(guān)系 各類角 距離以向量的方式表達(dá)出來 把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算問題 應(yīng)用的核心是充分認(rèn)識(shí)形體特征 進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系 通過向量的運(yùn)算解答問題 達(dá)到幾何問題代數(shù)化的目的 同時(shí)注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性 本講規(guī)律總結(jié) 提醒三點(diǎn) 1 直線的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值是線面角的正弦值 而不是余弦值 2 求二面角除利用法向量外 還可以按照二面角的平面角的定義和空間任意兩個(gè)向量都是共面向量的知識(shí) 我們只要是在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)分別作 和二面角的棱垂直的向量 并且兩個(gè)向量的方向均指向棱或者都從棱指向外 那么這兩個(gè)向量所成的角的大小就是二面角的大小 如圖所示 真題感悟 押題精練 真題與押題 真題感悟 2014 北京 如圖 正方形amde的邊長為2 b c分別為am md的中點(diǎn) 在五棱錐p abcde中 f為棱pe的中點(diǎn) 平面abf與棱pd pc分別交于點(diǎn)g h 真題感悟 1 求證 ab fg 證明在正方形amde中 因?yàn)閎是am的中點(diǎn) 所以ab de 又因?yàn)閍b 平面pde de 平面pde 所以ab 平面pde 因?yàn)閍b 平面abf 且平面abf 平面pde fg 所以ab fg 真題感悟 2 若pa 底面abcde 且pa ae 求直線bc與平面abf所成角的大小 并求線段ph的長 解因?yàn)閜a 底面abcde 所以pa ab pa ae 如圖建立空間直角坐標(biāo)系axyz 則a 0 0 0 b 1 0 0 c 2 1 0 p 0 0 2 f 0 1 1 1 1 0 真題感悟 設(shè)平面abf的一個(gè)法向量為n x y z 令z 1 則y 1 所以n 0 1 1 設(shè)直線bc與平面abf所成角為 真題感悟 設(shè)點(diǎn)h的坐標(biāo)為 u v w 即 u v w 2 2 1 2 所以