4.1.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和復(fù)數(shù)序列.doc

第四章 級(jí) 數(shù) 第一節(jié) 級(jí)數(shù)和序列的基本性質(zhì)1、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和復(fù)數(shù)序列：復(fù)數(shù)序列就是：在這里，是復(fù)數(shù)，一般簡(jiǎn)單記為。按照是有界或無(wú)界序列，我們也稱為有界或無(wú)界序列。設(shè)是一個(gè)復(fù)常數(shù)。如果任給，可以找到一個(gè)正數(shù)N，使得當(dāng)nN時(shí),那么我們說(shuō)收斂或有極限，或者說(shuō)是收斂序列，并且收斂于，記作。如果序列不收斂，則稱發(fā)散，或者說(shuō)它是發(fā)散序列。令，其中a和b是實(shí)數(shù)。由不等式容易看出，等價(jià)于下列兩極限式：因此，有下面的注解：注解1、序列收斂（于）的必要與充分條件是：序列收斂（于a）以及序列收斂（于b）。注解2、復(fù)數(shù)序列也可以解釋為復(fù)平面上的點(diǎn)列，于是點(diǎn)列收斂于，或者說(shuō)有極限點(diǎn)的定義用幾何語(yǔ)言可以敘述為：任給的一個(gè)鄰域，相應(yīng)地可以找到一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)nN時(shí)，在這個(gè)鄰域內(nèi)。注解3、利用兩個(gè)實(shí)數(shù)序列的相應(yīng)的結(jié)果，我們可以證明，兩個(gè)收斂復(fù)數(shù)序列的和、差、積、商仍收斂，并且其極限是相應(yīng)極限的和、差積、商。復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)就是或記為，或，其中是復(fù)數(shù)。定義其部分和序列為：如果序列收斂，那么我們說(shuō)級(jí)數(shù)收斂；如果的極限是，那么說(shuō)的和是，或者說(shuō)收斂于，記作，如果序列發(fā)散，那么我們說(shuō)級(jí)數(shù)發(fā)散。注解1、對(duì)于一個(gè)復(fù)數(shù)序列，我們可以作一個(gè)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)如下則序列的斂散性和此級(jí)數(shù)的斂散性相同。注解2、級(jí)數(shù)收斂于的定義可以敘述為：，注解3、如果級(jí)數(shù)收斂，那么注解4、令，我們有因此，級(jí)數(shù)收斂（于）的必要與充分條件是：級(jí)數(shù)收斂（于a）以及級(jí)數(shù)收斂（于b）。注解5、關(guān)于實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一些基本結(jié)果，可以不加改變地推廣到復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，例如下面的柯西收斂原理：柯西收斂原理（復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)）：級(jí)數(shù)收斂必要與充分條件是：任給，可以找到一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)nN，p=1,2,3,時(shí)，柯西收斂原理（復(fù)數(shù)序列）：序列收斂必要與充分條件是：任給，可以找到一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)m及nN，對(duì)于復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，我們也引入絕對(duì)收斂的概念：如果級(jí)數(shù)收斂，我們稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。注解1、級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂必要與充分條件是：級(jí)數(shù)以及絕對(duì)收斂：事實(shí)上，有注解2、若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則一定收斂。例、當(dāng)時(shí)，絕對(duì)收斂；并且有我們