破解函數(shù)綜合題.doc

挖掘隱含條件 破解函數(shù)綜合題函數(shù)綜合問題是歷年高考的熱點和重點內(nèi)容之一，一般難度較大，考查內(nèi)容和形式靈活多樣。在解決函數(shù)綜合問題時，要認真分析、處理好各種關(guān)系，把握問題的主線，運用相關(guān)的知識和方法逐步化歸為基本問題來解決，尤其是注意等價轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想的綜合運用。綜合問題的求解往往需要應(yīng)用多種知識和技能，而抽象函數(shù)又是函數(shù)綜合問題中的難點。 抽象函數(shù)是指沒有明確給出解析式，只是給出一些特殊關(guān)系式的函數(shù)，它是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個難點。近年來抽象函數(shù)問題頻頻出現(xiàn)于各類考試題中，由于這類問題抽象性強，靈活性大，多數(shù)同學(xué)感到困惑，求解無從下手，因此，必須全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識，嚴謹審題，分清題目的已知條件，挖掘題目中的隱含條件。為此，本文擬通過數(shù)例進行分類剖析，供學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)時參考。一、求解有關(guān)定義域1、已知函數(shù)的定義域為（或），求的定義域是指求滿足的的取值范圍。 例1、設(shè)函數(shù)的定義域為，求函數(shù)的定義域。分析：一般地說，對于含有參數(shù)的題，應(yīng)對參數(shù)進行討論，解：由（A）因為，所以當時，不等式組（A）的解集為；當時，不等式組（A）的解集為；當時，不等式組（A）的解集為。綜上所述：所求函數(shù)的定義域為中小學(xué)教育庫 高考庫 中考庫 教案庫 試卷庫 課件庫 作文庫 論文庫 學(xué)前家教 電腦庫2、已知函數(shù)的定義域為（或），求函數(shù)定義域是指求時，的值域，即是函數(shù)的定義域。例2、已知函數(shù)的定義域為，求函數(shù)的定義域。分析：注意對函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的定義域的概念要理解清楚。解：由，所以函數(shù)的定義域為。從而由。因此，所求函數(shù)的定義域為二、有關(guān)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用 根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì)以及已知條件，通過恰當?shù)馁x值代換，尋求與的關(guān)系，畫出函數(shù)的示意圖，以形助數(shù)，從而才能使問題迅速獲解。例3、已知函數(shù)f(x)在(1，1)上有定義，f()=1,當且僅當0x1時f(x)0,且對任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明：(1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(1，1)上單調(diào)遞減.分析：對于(1)，獲得f(0)的值進而取x=y是解題關(guān)鍵；對于(2)，判定的范圍是焦點.證明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)為奇函數(shù).(2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減.令0x1x21,則f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0 x2x11x2x1,01,由題意知f()0，即f(x2)0.(1)求f()、f();(2)證明f(x)是周期函數(shù)；分析：由f(x1+x2)=f(x1)f(x2)變形為是解決問題的關(guān)鍵.解：（1）因為對x1,x20,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),所以f(x)=0, x0,1又因為f(1)=f(+)=f()f()=f()2f()=f(+)=f()f()=f（）2又f(1)=a0 f()=a,f()=a(2)證明：依題意設(shè)y=f(x)關(guān)于直線x=1對稱，故f(x)=f(1+1x),即f(x)=f(2x),xR.又由f(x)是偶函數(shù)知f(x)=f(x),xRf(x)=f(2x),xR.將上式中x以x代換得f(x)=f(x+2)，這表明f(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期.例6、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱且滿足：(i)f(x1x2)=；(ii)存在正常數(shù)a使f(a)=1.求證：(1)f(x)是奇函數(shù).(2)f(x)是周期函數(shù)，且有一個周期是4a.證明：(1)不妨令x=x1x2,則f(x)=f(x2x1)= =f(x1x2)=f(x). f(x)是奇函數(shù).(2)要證f(x+4a)=f(x),可先計算f(x+a),f(x+2a).f(x+a)=fx(a)=.f(x+4a)=f(x+2a)+2a=f(x),故f(x)是以4a為周期的周期函數(shù).四、求函數(shù)的某些特殊值和最值這類抽象函數(shù)一般給出定義域，某些性質(zhì)及運算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”。同時，緊扣已知條件進行迭代變換，經(jīng)有限次迭代可直接求出結(jié)果，或者在迭代過程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期性，利用周期性使問題巧妙獲解。例7、已知是定義在R上的函數(shù)，且滿足：，求的值。分析：緊扣已知條件，并多次使用，發(fā)現(xiàn)是周期函數(shù)，從而得解。解：顯然，于是 ， 所以 故是以8為周期的周期函數(shù)，從而 例8、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，對任意實數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),當x0時f(x)0,f(x1)f(x2)=f(x1x2)+x2f(x2)=f(x1x2)+f(x2)f(x1)=f(x2x1)因為x0時f(x)0,f(x1)f(x2)0f(x)在9，9上是減函數(shù)故f(x)的最大值為f(9),最小值為f(9).而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=12,f(9)=f(9)=12.f(x)在區(qū)間9，9上的最大值為12，最小值為12.五、求參數(shù)范圍 這類參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運算式中，關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內(nèi)的增減性，脫掉“”符號，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組求解解，但要特別注意函數(shù)定義域的作用。例9、定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log3且對任意x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)求證f(x)為奇函數(shù)；(2)若f(k3)+f(3-9-2)0對任意xR恒成立，求實數(shù)k的取值范圍分析：（1）欲證f(x)為奇函數(shù)即要證對任意x都有f(-x)=-f(x)成立在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的問題，求f(0)的值令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函數(shù)得到證明(2)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)。f(x)是奇函數(shù)且在xR上是增函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成二次不等式k3-3+9+2對于任意xR恒成立，再用分離系數(shù)法求解(1)證明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)， 令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0令y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，則有0=f(x)+f(-x)即f(-x)=-f(x)對任意xR成立，所以f(x)是奇函數(shù)(2)分離系數(shù)由k3-3+9+2得例10、已知奇函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x)在0，+)上是增函數(shù)，是否存在實數(shù)m,使f(cos23)+f(4m2mcos)f(0)對所有0,都成立？若存在，求出符合條件的所有實數(shù)m的范圍，若不存在，說明理由.分析：主要運用等價轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想來解決問題.解：f(x)是R上的奇函數(shù)，且在0，+)上是增函數(shù)，f(x)是R上的增函數(shù).于是不等式可等價地轉(zhuǎn)化為f(cos23)f(2mcos4m),即cos232mcos4m,即cos2mcos+2m20.設(shè)t=cos,則問題等價地轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)=t2mt+2m2=(t)2+2m2在0，1上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在0，1上的最小值為正.當0,即m0m1與m042m4+2,421,即m2時，g(1)=m10m1.m2綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m42.六、解不等式 這類不等式一般需要將常數(shù)表示為函數(shù)在某點處的函數(shù)值，再通過函數(shù)的單調(diào)性脫掉函數(shù)符號“”，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解。例11、已知f(x)是定義在1，1上的奇函數(shù)，且f(1)=1，若m、n1，1，m+n0時0.(1)用定義證明f(x)在1，1上是增函數(shù)；(2)解不等式：f(x+)f()；(3)若f(x)t22at+1對所有x1，1，a1，1恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.分析：(1)問單調(diào)性的證明，利用奇偶性靈活變通使用已知條件不等式是關(guān)鍵，(2)問中利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式時，x+1，1，1，1必不可少(3)問利用單調(diào)性把f(x)轉(zhuǎn)化成“1”是點睛之筆.(1)證明：任取x1x2，且x1，x21，1，則f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=(x1x2)1x1x21，x1+(x2)0，由已知0，又 x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x)在1，1上為增函數(shù).(2)解：f(x)在1，1上為增函數(shù)， 解得：x|x1，xR(3)解：由(1)可知f(x)在1，1上為增函數(shù)，且f(1)=1，故對x1，1，恒有f(x)1，所以要f(x)t22at+1對所有x1，1，a1，1恒成立，即要t22at+11成立，故t22at0，記g(a)=t22at，對a1，1，g(a)0，只需g(a)在1，1上的最小值大于等于0，g(1)0，g(1)0，解得，t2或t=0或t2.t的取值范圍是：t|t2或t=0或t2.七、討論方程根的問題例12、 對函數(shù)y=f(x)定義域中任一個x的值均有f(x+a)=f(ax)。(1)求證y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱；(2)若函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x都有f(x+2)=f(2x),且方程f(x)=0恰好有四個不同實根，求這些實根之和.分析：數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化.(1)證明：設(shè)(x0,y0)是函數(shù)y=f(x)圖象上任一點，則y0=f(x0),又f(a+x)=f(ax),f(2ax0)=fa+(ax0)=fa(ax0)=f(x0)=y0,(2ax0,y0)也在函數(shù)的圖象上，而=a,點(x0,y0)與(2ax