數(shù)學(xué)大師啟示錄 帕斯卡和費(fèi)馬.doc

這是驚人的，起源于賭博的概率理論，竟會(huì)成為人類知識(shí)的最重要的對(duì)象。 拉普拉斯 我找到了許許多多極其優(yōu)美的定理。 費(fèi)馬出類拔萃 在法國(guó)中南部僻靜的克萊蒙費(fèi)朗城，有一座雅致的白色樓房，四周大樹環(huán)抱，前面綠草如茵。1623年6月19日，一個(gè)嬰兒呱呱地哭叫著在這里誕生。他就是法國(guó)杰出的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、哲學(xué)家和文學(xué)家布萊斯帕斯卡。 布萊斯的父親埃利納帕斯卡是地方救護(hù)會(huì)會(huì)長(zhǎng)，學(xué)識(shí)淵博，樂(lè)善好施，在當(dāng)?shù)睾苡忻?。母親安東尼達(dá)白戈妮是位心地善良、容貌美麗的婦女。可惜紅顏薄命，在一次突發(fā)的急病中，她撇下年僅4歲的布萊斯和他的姐妹吉爾帕蒂和杰克琳，猝然去世。 1630年，帕斯卡一家由克萊蒙費(fèi)朗遷到巴黎。這時(shí)候布萊斯剛7歲。孩子早熟，普通學(xué)校里的課程他學(xué)起來(lái)毫不費(fèi)力?？墒牵w弱多病。父親為了避免孩子用腦過(guò)度，親自指導(dǎo)他學(xué)習(xí)，只教他古典語(yǔ)言，不讓他接觸數(shù)學(xué)。誰(shuí)知“弄巧成拙”，埃利納對(duì)數(shù)學(xué)諱莫如深的態(tài)度，反而激起孩子強(qiáng)烈的好奇心。他常常詢問(wèn)父親有關(guān)數(shù)學(xué)的問(wèn)題，埃利納總是避而不答。布萊斯12歲了。有一回他又纏著父親，提出他的老問(wèn)題：“爸爸，幾何是什么?您給講講吧!”經(jīng)不住孩子不斷的請(qǐng)求，埃利納終于給他做了一個(gè)簡(jiǎn)明而生動(dòng)的介紹。這不啻在干柴上點(diǎn)了一把火。長(zhǎng)期被壓抑的熱情一下子迸發(fā)出來(lái)。幾何學(xué)的大門雖然剛露出一道細(xì)縫，里面透出來(lái)的誘人光芒已經(jīng)使布萊斯頭暈?zāi)垦?，如醉如癡。他按捺不住心頭的激動(dòng)，決心用自己的智慧和毅力去敲開這扇莊嚴(yán)的大門。 布萊斯帕斯卡鉆研幾何的事跡，在數(shù)學(xué)史上傳為美談。一開始，沒(méi)有任何書本暗示，他證明出一個(gè)重要的幾何定理：三角形三內(nèi)角之和等于兩直角。這一了不起的成就使他大受鼓舞。父親更是高興得熱淚盈眶。這件事似乎還不夠神奇。據(jù)姐姐吉爾帕蒂說(shuō)，布萊斯在看到歐幾里得幾何原本以前，就獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了這本書的前32個(gè)定理，甚至連順序也完全相同?！叭切稳齼?nèi)角之和等于兩直角”，恰好是幾何原本的第32個(gè)定理。一般認(rèn)為，布萊斯無(wú)疑是獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)和證明了幾何原本的一部分定理，但是吉爾帕蒂的說(shuō)法可能言過(guò)其實(shí)，因?yàn)檫@幾乎是不可思議的事。 兩年以后，14歲的布萊斯就跟隨父親到明尼茲修道院，參加梅森神甫主持的每周討論會(huì)。會(huì)員都是著名的學(xué)者：費(fèi)馬、德札爾格、羅貝瓦爾、笛卡兒從荷蘭和他們保持經(jīng)常的通信。這個(gè)小團(tuán)體后來(lái)發(fā)展為自由學(xué)院，到1699年演變?yōu)榉▏?guó)科學(xué)院。神秘六邊形 正當(dāng)小帕斯卡在幾何上披荊斬棘，迅速向新高峰攀登的時(shí)候，老帕斯卡在事業(yè)上意外地遇到麻煩。由于極端的誠(chéng)實(shí)和正直，在一項(xiàng)征稅問(wèn)題上，他同紅衣主教黎塞留發(fā)生了爭(zhēng)執(zhí)。讀者一定記得，慷慨許諾過(guò)笛卡兒可以自由發(fā)表自己著作的就是這位主教。不過(guò)，這一次他似乎沒(méi)有那么寬容。埃利納只得帶著全家到鄉(xiāng)下躲起來(lái)。事情后來(lái)是怎樣了結(jié)的，說(shuō)法不一。據(jù)說(shuō)是美麗的杰克琳拯救了她父親和家庭。有一次主教去看演出，一位年輕女演員的精彩表演使他大為傾倒。喚到面前來(lái)一問(wèn)，原來(lái)她是埃利納的小女兒。主教二話未說(shuō)，痛快地把舊賬一筆勾銷，還把埃利納安排到法國(guó)北部城市魯昂的稅務(wù)局工作。 課稅員的工作相當(dāng)辛苦。埃利納常常抱著賬本一直計(jì)算到深夜。小帕斯卡在旁邊默默地觀察著父親的工作，他又一次表現(xiàn)出超乎尋常的才能。他發(fā)現(xiàn)一切加減運(yùn)算都可以用機(jī)械來(lái)完成。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的摸索和改進(jìn)，他終于創(chuàng)造出世界上第一臺(tái)可以實(shí)際使用的計(jì)算機(jī)。這是一臺(tái)手搖操作的齒輪系統(tǒng)。每個(gè)齒輪有10個(gè)齒。順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)是加，逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)是減。齒輪每轉(zhuǎn)過(guò)10個(gè)齒，帶動(dòng)旁邊的高階位的齒輪轉(zhuǎn)一個(gè)齒，數(shù)字就進(jìn)了一位。這樣，一個(gè)年剛18歲的孩子成了數(shù)字計(jì)算機(jī)的發(fā)明者。 在這以前，小帕斯卡廢寢忘食的研究還取得一項(xiàng)重要進(jìn)展。他發(fā)現(xiàn)了幾何學(xué)中一個(gè)非常優(yōu)美的定理帕斯卡定理。好在它的一個(gè)特殊情形只用直尺就可以說(shuō)明，我們?cè)谶@里把這個(gè)定理介紹一下。 設(shè)有l(wèi)和l兩條不平行的直線。在它們上面各任意取三點(diǎn)A、B、C和A、B、C。分別把A和B、A和B、B和C、B和C、C和A、C和A連接起來(lái)，就得到三對(duì)直線；AB和AB，BC和BC，CA和CA。如果每對(duì)直線都有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)它們分別為D、E、F。帕斯卡證明了：D、E、F三點(diǎn)必定在同一條直線上。進(jìn)而他把這三對(duì)直線換成圓內(nèi)接六邊形的三對(duì)對(duì)邊，帕斯卡又證明：如果這些對(duì)邊的延長(zhǎng)線分別相交，那么，它們的交點(diǎn)也在同一條直線上。他把這種六邊形稱為“神秘六邊形”。 帕斯卡并不就此滿足。他利用德札爾格所發(fā)明的投射法把這個(gè)定理進(jìn)一步推廣。設(shè)想一只燈泡被一張開了一個(gè)小孔的紙遮住，于是通過(guò)小孔射出一束圓錐狀的光線。如果取一張紙伸到這束光線中去，那么根據(jù)紙片角度的變化，在紙上可以看到光束的邊界呈現(xiàn)不同的圖形：圓、橢圓、拋物線和雙曲線。這些都是圓錐曲線。帕斯卡發(fā)現(xiàn)，上述定理中圓內(nèi)接六邊形的這種性質(zhì)，如果把圓換成其他的圓錐曲線，例如橢圓，同樣是正確的。這在直觀上并不難接受。從下圖可以看出，如果在光束和紙片之間插進(jìn)一塊玻璃，在玻璃上畫一個(gè)“神秘六邊形”，當(dāng)光束穿過(guò)玻璃投射到紙面上的時(shí)候，出現(xiàn)的就是“神秘六邊形”的影子。這影子也是一個(gè)“神秘六邊形”，因?yàn)樗娜龑?duì)對(duì)邊的交點(diǎn)也在一條直線上。 帕斯卡發(fā)現(xiàn)這個(gè)有趣的定理那年才16歲。根據(jù)德札爾格建議，聰明的帕斯卡環(huán)繞這個(gè)定理寫了兩篇論文，把有關(guān)圓錐曲線的不下400條定理其中包括阿波羅尼奧斯和其他前人的成果用投射法作了系統(tǒng)總結(jié)，把它們歸納成少數(shù)幾條基本定理。論文所涉及的是和過(guò)去希臘幾何完全不同的全新領(lǐng)域射影幾何。這里研究的圖形，它的線段長(zhǎng)短和角度大小，在射影對(duì)應(yīng)下可以不同，但是在射影對(duì)應(yīng)中圖形的某些性質(zhì)仍舊保持不變。例如，把圓換成其他的圓錐曲線，它的內(nèi)接六邊形三對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)共線的性質(zhì)是始終保持的?？上н@兩篇珍貴的文稿從來(lái)沒(méi)有發(fā)表，并且旋即失傳；其中的一篇只有薄薄8頁(yè)，題為圓錐截線論，于1779年重新找到。德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲曾經(jīng)看到過(guò)它的手抄本，還對(duì)帕斯卡的外甥談起過(guò)里面的內(nèi)容。笛卡兒在1640年讀過(guò)這兩篇論文，可是他不相信，這樣出色的論文竟會(huì)出自一個(gè)16歲孩子之手!雙重折磨 年輕的帕斯卡為這一連串令人驚羨的成就付出沉重的代價(jià)。通宵達(dá)旦的工作使他的健康遭到極大損害。從17歲起，他的生活幾乎每天都在難忍的病痛中度過(guò)。嚴(yán)重消化不良引起鉆心的胃痛，把他折磨得汗如雨下。長(zhǎng)期的失眠，使漫漫長(zhǎng)夜成為可怕的惡魔。更糟糕的事情還在后面：宗教狂熱開始感染帕斯卡的家庭。這并不奇怪。當(dāng)人類智慧的陽(yáng)光還不能透過(guò)層層迷霧把世界真面目揭開的時(shí)候，宗教就有它存在的空間。當(dāng)生活的道路崎嶇坎坷，而人們還無(wú)法掌握自己命運(yùn)的時(shí)候，迷信就會(huì)乘虛而入。在當(dāng)時(shí)名目繁多的教派中有一個(gè)叫詹森派。它由荷蘭神學(xué)家科爾內(nèi)留斯詹森所創(chuàng)。詹森派既不屬于天主教，也不是新教。它偏激狂熱，蔑視意志自由，鼓吹神力不可反抗。信徒們?yōu)楸硎局艺\(chéng)，要通過(guò)各種方式虐待和折磨自己。十分不幸，好端端的帕斯卡竟迷上了這乖怪離奇的教派。原因雖然是多方面的，但是他體弱多病無(wú)疑起了重要作用。限于當(dāng)時(shí)的醫(yī)學(xué)水平，醫(yī)生們開出的種種處方解除不了帕斯卡的病痛，他只好求助于神。宗教成了他擺脫疾病無(wú)情折磨的救命稻草。從23歲起。帕斯卡從數(shù)學(xué)研究的高峰一步步陷入詹森派的泥潭而不能自拔。這位數(shù)學(xué)史上罕見的天才，在他短促的生命歷程中，從此遭受著病魔和宗教狂的雙重折磨。 但是天才的火花并沒(méi)有熄滅。他還要為物理學(xué)作出貢獻(xiàn)。他對(duì)重力和密閉液體壓強(qiáng)的傳遞等進(jìn)行一系列重要試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)著名的關(guān)于液壓傳遞的帕斯卡定律。意大利物理學(xué)家托里拆利做了一個(gè)著名實(shí)驗(yàn)，測(cè)定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓的水銀柱高度為760毫米。帕斯卡進(jìn)一步把它引申。他建議姐夫彼埃爾帶著氣壓計(jì)到家鄉(xiāng)附近多姆山上去測(cè)量大氣壓強(qiáng)。他認(rèn)為，由于高度升高，氣壓減小，水銀柱的高度應(yīng)該隨著下降。后來(lái)帕斯卡和妹妹杰克琳在返回巴黎的時(shí)候也做了同樣的實(shí)驗(yàn)。 這時(shí)候父親已經(jīng)退休。不久帕斯卡和杰克琳來(lái)巴黎和他住在一起。有一次浪跡四方的笛卡兒來(lái)帕斯卡家訪問(wèn)。笛卡兒當(dāng)時(shí)是譽(yù)滿全球的大學(xué)者；帕斯卡比他年輕近30歲，但是在科學(xué)界也已經(jīng)頭角嶄露，蜚聲遐邇。他們兩人從數(shù)學(xué)、物理、文學(xué)，一直討論到哲學(xué)。臨別的時(shí)候笛卡兒還真摯地給這位年輕朋友提出不少忠告。他勸帕斯卡學(xué)他的樣子，每天躺到上午11點(diǎn)鐘起床；對(duì)于時(shí)時(shí)給帕斯卡帶來(lái)煩惱的胃，笛卡兒建議他只喝肉湯，不要吃別的食物?？上н@些健身之道聽起來(lái)近乎怪誕，帕斯卡沒(méi)有重視。 在巴黎住的時(shí)間不長(zhǎng)，全家又回到克萊蒙費(fèi)朗。家鄉(xiāng)清幽的氣氛比豪華的巴黎更加吸引人。在家鄉(xiāng)，帕斯卡開始創(chuàng)作思緒錄。這是法國(guó)文學(xué)史上一部自我暴露和自我剖析的不可多得的杰作。從中我們可以清楚地看到帕斯卡矛盾的性格：他熱愛(ài)大自然，熱愛(ài)生活，可是他卻不自然地壓制著這些正當(dāng)?shù)挠?。為了做到這一點(diǎn)，他只能到怪誕的詹森教派的教義中去尋求支持。怪不得心理學(xué)家說(shuō)，乖謬的教義和反常的生理現(xiàn)象是一對(duì)難舍難分的孿生兄弟。 在克萊蒙費(fèi)朗住了兩年，全家又來(lái)到巴黎。第二年父親不幸病逝。杰克琳在帕斯卡支持下進(jìn)了波特羅耶爾的修道院。不久，她作為女修道院的圣職志愿人，不斷來(lái)動(dòng)員她哥哥也去波特羅耶爾，攪得帕斯卡心緒不寧，思想斗爭(zhēng)異常激烈。1654年11月23日，他獨(dú)自乘了一輛四駕馬車，在巴黎附近的鄉(xiāng)間道路上狂奔。在通過(guò)紐萊河上一座橋的時(shí)候，領(lǐng)頭的一匹馬突然越過(guò)欄桿，躍入河中。幸虧挽繩一下子被繃斷，馬車仍舊停留在馬路上。這一事件引起帕斯卡的強(qiáng)烈震動(dòng)。他認(rèn)為能逃脫這場(chǎng)橫禍，無(wú)疑是神的意志警告他趕緊在世俗生活上懸崖勒馬。他決定皈依詹森教派，并且在貼胸處掛起用羊皮紙做的護(hù)身符，以使自己克服淫邪的誘惑，以及時(shí)刻記住上帝把他從地獄之門拯救出來(lái)的“偉大恩典”。從此他永遠(yuǎn)擺脫世俗，虔誠(chéng)地來(lái)到波特羅耶爾，過(guò)起清心寡欲的修道者生活。值得慶幸的是，在這以前，他對(duì)數(shù)學(xué)所作的最重要的貢獻(xiàn)已經(jīng)完成。他和費(fèi)馬一起創(chuàng)立了概率論的數(shù)學(xué)理論。這一成就使他在數(shù)學(xué)史上享有不朽的地位。皮埃爾費(fèi)馬 和帕斯卡一起創(chuàng)立概率論的費(fèi)馬是帕斯卡家的老朋友，兩人有極親密的友誼，常年保持著書信往來(lái)。 費(fèi)馬的一生很平靜，沒(méi)有什么戲劇性的插曲。父親杜美尼克是位皮革商人，還是法國(guó)西南部小城蒙托邦附近小鎮(zhèn)皮厄蒙的行政長(zhǎng)官。母親克拉拉德朗出身于議會(huì)律師的家庭。皮埃爾費(fèi)馬于1601年8月17日誕生于皮厄蒙。他從小在家里接受教育。后來(lái)為了擔(dān)任公職的需要，來(lái)到法國(guó)南部城市圖盧茲繼續(xù)他的學(xué)業(yè)。他一生安分守己，不愛(ài)出頭露面。由于缺少一位像帕斯卡的姐姐吉爾帕蒂那樣的人來(lái)給后代講述他童年的奇跡，因此除了作為學(xué)生，沒(méi)有別的記載流傳下來(lái)。當(dāng)然，從他獲得的成就來(lái)判斷，他在少年時(shí)代一定是聰明絕頂并且具有驚人的直覺(jué)能力。他在數(shù)學(xué)特別是數(shù)論中出神人化的工作，不能從他的學(xué)校教育里去找原因。因?yàn)樵谫M(fèi)馬當(dāng)學(xué)生的時(shí)候，他最偉大的工作所屬的那些領(lǐng)域的大門還是完全緊閉著的。 1631年5月14日，費(fèi)馬任圖盧茲地區(qū)咨詢委員。同年6月1日，他和母親的小表妹路易絲德朗小姐結(jié)婚?；楹笊幸荒卸?。兒子后來(lái)成為科學(xué)遺囑的執(zhí)行人。兩個(gè)女兒先后進(jìn)了修道院。1648年，他晉升為圖盧茲地方議會(huì)的王室律師。1665年1月12日在圖盧茲附近的小鎮(zhèn)卡德雷斯逝世，享年64歲。 這位誠(chéng)實(shí)正直、一團(tuán)和氣的學(xué)者，在數(shù)學(xué)史上有一則美麗動(dòng)人的故事，就是他在從事律師工作之余所進(jìn)行的數(shù)學(xué)研究。 作為純粹數(shù)學(xué)家，牛頓在發(fā)明微積分的時(shí)候達(dá)到了頂峰。這項(xiàng)偉大創(chuàng)造也獨(dú)立地為萊布尼茲所完成。但是，這樣說(shuō)并不夸張：早在牛頓出世前整整13年，在萊布尼茲呱呱墜地前17年，費(fèi)馬已經(jīng)形成和應(yīng)用了微積分的主要概念和方法。他在1637年的手稿求最大值和最小值的方法給出求函數(shù)最大最小值和求曲線的切線的方法，也就是微分學(xué)的方法。由于他和帕斯卡都求得過(guò)前幾個(gè)自然數(shù)m次冪的和，他也就解決了冪函數(shù)積分問(wèn)題。他還把冪指數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)的情況，這就能計(jì)算雙曲線圍成的面積。這說(shuō)明他掌握了積分的方法?？上зM(fèi)馬在微積分和坐標(biāo)幾何方面的著述都是在他去世以后才由他兒子整理發(fā)表的，這不能不削弱他在當(dāng)時(shí)本可以發(fā)揮的巨大影響。 費(fèi)馬和笛卡兒各自獨(dú)立地發(fā)明了坐標(biāo)幾何。盡管他們交換意見，他們研究坐標(biāo)幾何的目的和方法卻顯著不同。笛卡兒批評(píng)希臘的傳統(tǒng)，主張同它決裂。費(fèi)馬著眼于繼承希臘人的思想。認(rèn)為自己的工作只是用代數(shù)形式來(lái)表達(dá)希臘幾何學(xué)家阿波羅尼奧斯關(guān)于圓錐曲線的研究。真正認(rèn)識(shí)到代數(shù)威力的是笛卡兒，可是他開始只著重于幾何作圖問(wèn)題；費(fèi)馬則強(qiáng)調(diào)軌跡的方程，現(xiàn)在看來(lái)這無(wú)疑更為恰當(dāng)。在對(duì)曲線進(jìn)行分類的時(shí)候，費(fèi)馬糾正笛卡兒的一個(gè)錯(cuò)誤。他指出：對(duì)曲線分類應(yīng)該根據(jù)方程的次數(shù)而不是其他，如一次方程表示直線，二次方程代表圓錐曲線。笛卡兒和費(fèi)馬在學(xué)術(shù)上的分歧導(dǎo)致雙方長(zhǎng)期的激烈爭(zhēng)論。在爭(zhēng)論中，笛卡兒常常意氣用事，語(yǔ)言尖刻，甚至諷刺費(fèi)馬是“我們的極大和極小大臣”?？墒俏覀冞@位大律師始終心平氣和，保持著應(yīng)有的禮貌。后來(lái)他倆的關(guān)系有所緩和。費(fèi)馬在1660年寫了一篇文章，在指出笛卡兒的幾何學(xué)中的一處錯(cuò)誤的同時(shí)，誠(chéng)懇地說(shuō)，他是這樣佩服笛卡兒的天才，即使他有錯(cuò)誤，他的工作甚至比別人沒(méi)有錯(cuò)誤的工作更有價(jià)值?？上б呀?jīng)去世的笛卡兒不像費(fèi)馬這樣寬宏大量。 費(fèi)馬最偉大的工作是數(shù)論，或者用高斯樸實(shí)無(wú)華的名稱：算術(shù)。 在今天小學(xué)的教科書中，“算術(shù)”的內(nèi)容在希臘時(shí)代被分成不同的兩部分：算法和算術(shù)。前者一般是有關(guān)貿(mào)易和日常生活中應(yīng)用的計(jì)算；后者就是費(fèi)馬和高斯意義上的算術(shù)，它研究數(shù)的性質(zhì)。費(fèi)馬認(rèn)為算術(shù)被人們忽視了。他抱怨說(shuō)，幾乎沒(méi)有什么人提出或者懂得算術(shù)問(wèn)題。他相信，算術(shù)有它自己的特殊園地：整數(shù)論。他的辛勤勞動(dòng)為算術(shù)奠定基礎(chǔ)，并且決定了算術(shù)在高斯以前100多年的發(fā)展方向。 人們關(guān)于貌似簡(jiǎn)單的正整數(shù)研究雖然已有很長(zhǎng)的歷史，但是對(duì)它們的認(rèn)識(shí)還很不夠。一些長(zhǎng)期未解決的問(wèn)題往往乍看不難，實(shí)際上卻極難解決。為了證明一個(gè)有關(guān)正整數(shù)的命題，數(shù)學(xué)家往往不得不先發(fā)掘代數(shù)和分析中許多微妙而深?yuàn)W的定理，甚至建立全新的數(shù)學(xué)概念和普遍有效的數(shù)學(xué)方法。結(jié)果新興的龐大的分支和如林的數(shù)學(xué)定理掩蓋了它們發(fā)端的原始問(wèn)題。這些導(dǎo)源于“樸素的”算術(shù)問(wèn)題的新數(shù)學(xué)常常同物理世界有密切的聯(lián)系，并且可以應(yīng)用在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域，特別是計(jì)算數(shù)學(xué)。說(shuō)到數(shù)論對(duì)數(shù)學(xué)乃至科學(xué)技術(shù)，從而對(duì)整個(gè)人類社會(huì)巨大的積極作用，我們不能不提到數(shù)論研究的先驅(qū)費(fèi)馬。 要了解費(fèi)馬，最好從所謂“費(fèi)馬數(shù)”說(shuō)起。請(qǐng)看下面的數(shù)列： 3，5，17，257，65537，它們又可以表示為：3=21+1，5=22+1，17=24+1，257=28+1，65537=216+1， 這些數(shù)除了1和它本身以外，沒(méi)有別的整數(shù)可以整除它，所以是素?cái)?shù)。于是費(fèi)馬就猜測(cè)：所有形如的數(shù)，后人稱為費(fèi)馬數(shù)，都是素?cái)?shù)。不過(guò)，費(fèi)馬坦率地承認(rèn)，自己不能證明這個(gè)命題。事實(shí)上，他后來(lái)也對(duì)這個(gè)命題的正確性發(fā)生了懷疑。在費(fèi)馬去世67年以后，歐拉證明了n=5時(shí)=232+1=4294967297=6416700417不是素?cái)?shù)。 幾乎整整過(guò)了200年，1796年3月30日，一位18歲的德國(guó)青年卡爾弗雷德里希高斯解決了一個(gè)同初等幾何有關(guān)的問(wèn)題：用圓規(guī)直尺作出一個(gè)正十七邊形。這是2000多年來(lái)許多數(shù)學(xué)家竭力追求的目標(biāo)。他同時(shí)還證明了：當(dāng)多邊形的邊數(shù)或者是費(fèi)馬素?cái)?shù)，或者是不同的費(fèi)馬素?cái)?shù)的乘積，用圓規(guī)直尺作邊數(shù)為奇數(shù)的正多邊形才是可能的。這就是說(shuō)，可以用尺規(guī)作出正三角形、正五邊形、正十七邊形、正二百五十七邊形、，或正35=15邊形、正317=51邊形，但是不能作出正七邊形、正九邊形等。這個(gè)成就使高斯異常振奮，以致放棄了他同樣喜愛(ài)的語(yǔ)言學(xué)，選擇數(shù)學(xué)作為自己獻(xiàn)身的事業(yè)。 所謂“費(fèi)馬小定理”，是費(fèi)馬在數(shù)論中另一種類型的發(fā)現(xiàn)，它是1640年10月18日費(fèi)馬給好朋友倍西的信中傳出去的。這個(gè)定理說(shuō)，如果n是任意整數(shù)，P是素?cái)?shù)，那么np一n就可以被P整除。舉例來(lái)說(shuō)，取P=3，n=5，535等于120，可以被3整除。 數(shù)論上有的定理被認(rèn)為是“重要的”，而有的定理好不容易才證明出來(lái)，卻被認(rèn)為是“無(wú)關(guān)緊要”的。這是為什么?要說(shuō)明其中的道理并不容易。首先一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)然不是絕對(duì)的，是它可以應(yīng)用于數(shù)學(xué)的其他分支；其次是它對(duì)數(shù)論或別的數(shù)學(xué)研究有啟發(fā)作用；第三，它本身在某些方面具有普遍性。費(fèi)馬小定理適合所有這些要求；它對(duì)許多數(shù)學(xué)分支，包括群論在內(nèi)，是一個(gè)不可缺少的結(jié)論。它啟發(fā)了許多重要的數(shù)學(xué)研究，甚至是某些研究的直接起因。由于它是對(duì)任意的整數(shù)和素?cái)?shù)來(lái)說(shuō)的，所以有很大的普遍性。顯然，這樣普遍的定理，要發(fā)現(xiàn)它是極不容易，也是非常罕見的。 缺少研究整數(shù)經(jīng)驗(yàn)的人，對(duì)等式27=25+2可能沒(méi)有什么感受，但是稍有經(jīng)驗(yàn)的人就會(huì)想到，27=3 3，25=52。因此，方程 y3=x2+2有一個(gè)整數(shù)解：x=5，y=3。假如讀者想檢驗(yàn)一下自己是不是有出眾的智力，不妨試試能不能證明：x=5，y=3，是這個(gè)方程惟一的整數(shù)解。專家們認(rèn)為，要解決這個(gè)看起來(lái)似乎是兒戲般的問(wèn)題，在智力上的要求比領(lǐng)悟相對(duì)論還要高! 方程y3=x2+2是一個(gè)不定方程，因?yàn)槲粗獢?shù)有兩個(gè)，而方程只有一個(gè)。如果不限制方程的解必須為整數(shù)，解這類方程沒(méi)有任何困難。任意給出x一個(gè)值，y就是x2+2的立方根，所以方程的解有無(wú)限多個(gè)。丟番圖首先提出求這種不定方程的整數(shù)解或有理數(shù)解。于是問(wèn)題就不同于以前而變得非常困難了。費(fèi)馬說(shuō)他證明了上述方程只有惟一的整數(shù)解，可是沒(méi)有公布他的證明。他去世后不久，人們找到了他的證明?？茖W(xué)史研究證實(shí)，在1994年以前除了惟一的一個(gè)例外，凡是被費(fèi)馬肯定過(guò)的命題，都被正確地證明了。那僅有的例外就是赫赫有名的“費(fèi)馬大定理”。 標(biāo)志著希臘代數(shù)最高峰的丟番圖的算術(shù)，在1621年有了它的拉丁文譯本。費(fèi)馬在工作之余讀的就是這個(gè)版本。他有個(gè)習(xí)慣，在看書的時(shí)候把思考的結(jié)論簡(jiǎn)要地旁注在書的空白處。這些空白當(dāng)然不適宜于寫出證明的全過(guò)程。后來(lái)，他的兒子在1670年出版了著名的頁(yè)端筆記。在算術(shù)第二冊(cè)上第8個(gè)問(wèn)題，也就是由畢達(dá)哥拉斯定理引出的求方程 x2+y2=z2的有理數(shù)解的旁邊，人們看到費(fèi)馬用拉丁文寫了如下的一段注解： “相反，不可能把一個(gè)立方數(shù)分為兩個(gè)立方數(shù)的和，一個(gè)數(shù)的四次冪不能分為兩個(gè)四次冪的和；一般說(shuō)來(lái)，高于二次的任何次冪，不能分為兩個(gè)同次冪的和。我想出了這個(gè)論斷的一個(gè)真正奇妙的證明，只是這里的空白太狹小，不容我把它寫下來(lái)?！?這就是費(fèi)馬大約在1637年左右發(fā)現(xiàn)的、引起歷史上大大小小的數(shù)學(xué)家注目的費(fèi)馬大定理。用數(shù)學(xué)記號(hào)表示就是：正整數(shù)n大于2時(shí)，方程 xn+yn=zn沒(méi)有正整數(shù)解，當(dāng)然也就沒(méi)有有理數(shù)解。 人們沒(méi)有見到費(fèi)馬那個(gè)絕妙的證明，只是見到他對(duì)n=4時(shí)證明的大意。后來(lái)歐拉作出了n=3和n=4的證明；以后只要對(duì)素?cái)?shù)n來(lái)證明了。1823年勒讓德證明了n=5的情形；1849年庫(kù)默爾引入全新的理想數(shù)概念，證明當(dāng)n=37、n=59、n=67時(shí)費(fèi)馬大定理成立。根據(jù)他的理論，n100時(shí)費(fèi)馬大定理成立。到20世紀(jì)80年代，利用電子計(jì)算機(jī)證明n125 000時(shí)結(jié)論成立。當(dāng)然n取上述所有整數(shù)的整數(shù)倍也都成立。但是這無(wú)限多的情形，還不是大于2的一切整數(shù)。300多年來(lái)不計(jì)其數(shù)的優(yōu)秀數(shù)學(xué)家，付出了艱巨的勞動(dòng)，還是沒(méi)有找到問(wèn)題的答案。20世紀(jì)有“神童”之稱、創(chuàng)立“控制論”的卓越數(shù)學(xué)家維納，在試圖證明費(fèi)馬大定理的時(shí)候感嘆：“每次我所假設(shè)的論證都像愚人金一樣，很快就令人失望了”。鼎鼎大名的數(shù)學(xué)家勒貝格曾經(jīng)發(fā)表過(guò)對(duì)費(fèi)馬大定理的證明。起初許多人以為這個(gè)大難題果真被這位分析大師解決了。但是后來(lái)有人指出他的證明中有錯(cuò)誤。這真有點(diǎn)令人掃興。勒貝格盯著自己有錯(cuò)的證明喃喃地說(shuō)道：“我想我可以消除這個(gè)錯(cuò)誤?！笨上罱K并沒(méi)有成功。無(wú)數(shù)大數(shù)學(xué)家花了大量心血也都沒(méi)有找到正確的證明。這使不少數(shù)學(xué)家懷疑費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)的絕妙證明是不是搞錯(cuò)了。包括高斯在內(nèi)，不少數(shù)學(xué)家都認(rèn)為一定是費(fèi)馬搞錯(cuò)了。 但是，也有許多人認(rèn)為，我們不能像寓言中的狐貍那樣，因?yàn)樽约撼圆恢咸眩驼f(shuō)葡萄是酸的。作為一位“業(yè)余的”數(shù)學(xué)家，費(fèi)馬只滿足于自己享受研究的樂(lè)趣，并不介意把自己的思想完整地寫出來(lái)公開發(fā)表。他大多數(shù)研究成果是通過(guò)和友人通信而聞名于世的。他只寫過(guò)為數(shù)不多的幾篇論著，有的還是在他去世以后由后人整理發(fā)表的。因此，根據(jù)他一貫的為人和非凡的才能，我們沒(méi)有理由懷疑他曾經(jīng)得到過(guò)一個(gè)絕妙的證明。 這樁歷史懸案的真相究竟如何，讀者可以作出自己的判斷。但是，令人高興的是：英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯維爾斯經(jīng)過(guò)九年頑強(qiáng)拼搏，終于在1994年證明了費(fèi)馬大定理。他證明費(fèi)馬大定理的論文模曲線和費(fèi)馬大定理于1994年10月14日送交普林斯頓的數(shù)學(xué)年刊。一周前，他和他的學(xué)生泰勒的合作論文?？舜鷶?shù)的環(huán)論性質(zhì)已經(jīng)寄去審查，這是證明上述定理不可缺少的工具。1995年5月數(shù)學(xué)年刊一同發(fā)表了這兩篇論文，從而宣布困擾數(shù)學(xué)界350多年的費(fèi)馬大定理已被一舉攻克。維爾斯的證明運(yùn)用了20世紀(jì)代數(shù)幾何與代數(shù)數(shù)論一系列研究成果，顯示了現(xiàn)代數(shù)學(xué)整體的巨大力量。涓涓細(xì)流 誰(shuí)會(huì)想到一瀉千里的大江發(fā)端于高山上的涓涓細(xì)流?帕斯卡和費(fèi)馬也沒(méi)有料到，賭徒之間毫不引人注目的爭(zhēng)論，居然會(huì)發(fā)展出一種非常有用的數(shù)學(xué)理論。這種理論已經(jīng)幾乎深入到人類生活的各個(gè)方面；它在近代物理學(xué)上的應(yīng)用，迫使人們重新考慮對(duì)物理世界的認(rèn)識(shí)。 概率論最早是由貴族們?cè)谫€博中發(fā)生的問(wèn)題引起的。有一天，性喜賭博的德梅雷爵士向帕斯卡請(qǐng)教幾個(gè)在賭博中經(jīng)常遇到的問(wèn)題。比如說(shuō)，同時(shí)擲兩顆骰子出現(xiàn)兩個(gè)都是6點(diǎn)的機(jī)會(huì)是不是超過(guò)124？ 數(shù)學(xué)家以前沒(méi)有處理過(guò)這類問(wèn)題。這類現(xiàn)象從個(gè)別來(lái)看是無(wú)規(guī)則的。同時(shí)擲兩顆骰子，誰(shuí)能預(yù)料它們出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)呢?這種不確定性給研究帶來(lái)困難。不過(guò)這些不規(guī)則現(xiàn)象在數(shù)學(xué)上稱為“隨機(jī)現(xiàn)象”通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)和觀察，就其整體來(lái)看，卻有一種嚴(yán)格的非偶然的規(guī)律性。一顆骰子擲下去，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)固然無(wú)法事先確定。但是如果投擲次數(shù)大量增加，那么出現(xiàn)某一個(gè)點(diǎn)數(shù)比如說(shuō)3點(diǎn)的機(jī)會(huì)就非常接近于16。同樣，一個(gè)充滿氣體的密閉容器，雖然容器內(nèi)每一個(gè)氣體分子的速度和方向是雜亂的，因而就個(gè)別分子來(lái)說(shuō)，它對(duì)器壁所產(chǎn)生的壓力是不確定的，它忽兒撞在這里，忽兒撞在那里；忽兒撞得重，忽兒撞得輕；但是這些氣體分子的總體對(duì)器壁的壓力卻有其規(guī)律性：它們總的壓力基本上是一個(gè)確定的值。概率論就是從數(shù)量上來(lái)研究這種規(guī)律性。 帕斯卡巧妙地解決了梅雷爵士的問(wèn)題，并且在1654年7月29日致費(fèi)馬的信中談到它們的解答。從此，他和費(fèi)馬就這一類問(wèn)題開始一系列通信，為概率論的數(shù)學(xué)理論奠定了基礎(chǔ)。 概率論的應(yīng)用決不僅僅是限于在賭博上。正如荷蘭科學(xué)家惠更斯(16291695)在關(guān)于骰子游戲或賭博的計(jì)算一書中指出： “在任何場(chǎng)合， 我認(rèn)為， 如果讀者仔細(xì)考察一下研究對(duì)象就會(huì)發(fā)現(xiàn)，你所處理的不僅是賭博。這里實(shí)際上包含著很有趣很深刻的理論基礎(chǔ)?！?的確是這樣。概率論深入到各個(gè)領(lǐng)域，連日常生活中最簡(jiǎn)單的問(wèn)題，比如稱一個(gè)物體的重量，也離不開它。雖然物體的重量是確定的客觀存在，可是它真實(shí)的數(shù)值你卻稱不出來(lái)。我們到商店去買500克糖，實(shí)際得到的并不是真正的500克，而只是它的近似值。即使用最精密的天平也無(wú)法稱出絲毫不差的500克。當(dāng)我們用某一種儀器對(duì)它進(jìn)行多次測(cè)量的時(shí)候，任意兩次的測(cè)量結(jié)果往往是不相同的。但是根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)的理論，由各次測(cè)量結(jié)果可以推算，真實(shí)的重量落在某一個(gè)數(shù)值范圍內(nèi)的可能性有多大。在量子物理學(xué)中，同樣離不開概率理論，我們說(shuō)不出某個(gè)電子在原子中的確切位置， 但是可以計(jì)算這個(gè)電子出現(xiàn)在某一區(qū)域里的機(jī)會(huì)有多少。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，概率論在保險(xiǎn)、統(tǒng)計(jì)、誤差理論、生物學(xué)、天文學(xué)、近代物理學(xué)以至整個(gè)工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到日益廣泛的應(yīng)用，成為數(shù)學(xué)幾個(gè)最主要的分支之一。智者千慮必有一失 “智者千慮必有一失”，就連最聰明的人也有糊涂的時(shí)候。帕斯卡創(chuàng)立概率的數(shù)學(xué)理論，可是卻把它應(yīng)用于完全錯(cuò)誤的方面。 一個(gè)人在采取某個(gè)行動(dòng)以前，通常要權(quán)衡一下利弊，想想它是不是值得。從數(shù)學(xué)上說(shuō)，就是要估計(jì)一下“期望”成果和代價(jià)的差額乘以成功的可能性。帕斯卡在他的名著思緒錄里，利用這個(gè)數(shù)學(xué)理論來(lái)為自己選擇的生活道路辯解。他說(shuō)，通過(guò)當(dāng)修道士來(lái)爭(zhēng)取得到永生的可能性固然極小，但是可能贏得的成果永恒的幸福的價(jià)值卻有無(wú)限大。無(wú)限大乘上一個(gè)很小的數(shù)(即成功的可能性)仍是無(wú)限大。于是帕斯卡得出結(jié)論：這才是一個(gè)人真正值得遵循的道路!可悲的是，這位偉大的數(shù)學(xué)家不知道，企圖通過(guò)刻苦修行來(lái)求得永生，不是機(jī)會(huì)大小的問(wèn)題，而是根本不可能。對(duì)不可能事件計(jì)算“期望”，它的結(jié)果當(dāng)