垂徑定理.1.2.doc

課時提升作業(yè)(二十三)垂直于弦的直徑(30分鐘50分)一、選擇題(每小題4分,共12分)1.(2013濰坊中考)如圖,O的直徑AB=12,CD是O的弦,CDAB,垂足為P,且BPAP=15,則CD的長為()A.42B.82C.25D.45【解析】選D.連接OC,如圖,設OC的長為r,AB=12,BPAP=15,AP=10,OP=4.由垂徑定理可得OPC是直角三角形,并且CD=2CP.在RtOCP中,由勾股定理CP=OC2-OP2=62-42=25,CD=2CP=45.2.(2013德陽中考)如圖,O的直徑CD過弦EF的中點G,DCF=20,則EOD等于()A.10B.20C.40D.80【解析】選C.連接OF,直徑CD過弦EF的中點G,DE=DF,EOD=FOD,FOD=2DCF=40,EOD=40.3.(2013瀘州中考)已知O的直徑CD=10cm,AB是O的弦,ABCD,垂足為M,且AB=8cm,則AC的長為()A.25cmB.45cmC.25cm或45cmD.23cm或43cm【解析】選C.如圖1所示,分別連接AC和AO,ABCD,AM=12AB=4 cm,在RtAOM中,OM=OA2-AM2=52-42=3(cm),CM=OC+OM=5+3=8(cm),在RtAMC中,AC=CM2+AM2=82+42=45(cm),如圖2所示,由可知OM=3cm, CM=OC-OM=5-3=2(cm),在RtAMC中,AC=CM2+AM2=22+42=25(cm).由得,AC的長為25cm或45cm.【易錯提醒】利用垂徑定理和勾股定理求弦長時,要注意弦在圓上的位置,要多畫圖嘗試,不要漏掉一種情況.二、填空題(每小題4分,共12分)4.(2013寧夏中考)如圖,將半徑為2cm的圓形紙片折疊后,圓弧恰好經過圓心O,則折痕AB的長為cm.【解析】過圓心O作ODAB于D,連接OA.根據題意,得OD=12OA=1cm,在RtADO中,由勾股定理,得AD=3cm,根據垂徑定理,得AB=23cm.答案:235.O的直徑為10,弦AB的長為8,P是弦AB上的一個動點,則OP長的取值范圍為.【解析】如圖,作OMAB于M,連接OB,則BM=12AB=128=4.在RtOMB中,OM=OB2-BM2=52-42=3.當P與M重合時,OP為最短;當P與A(或B)重合時,OP為最長.所以OP的取值范圍是3OP5.答案:3OP56.(2013吉林中考)如圖,AB是O的弦,OCAB于點C,連接OA,OB.點P是半徑OB上任意一點,連接AP.若OA=5cm,OC=3cm,則AP的長度可能是cm(寫出一個符合條件的數值即可).【解題指南】1.確定一個圓中的有關線段長的范圍時,求出該線段長的最小值和最大值即得范圍.2.借助垂徑定理及勾股定理,把動態(tài)問題轉化為靜態(tài)問題,能使問題簡化.【解析】當點P與點O重合時,AP最短,長為5cm,當點P與點B重合時,AP最長,為弦AB的長,通過垂徑定理可得C為AB的中點,AC=OA2-OC2=52-32=4(cm),所以AB=8cm,故5AP8.答案:6(答案不唯一,5AP8均可)三、解答題(共26分)7.(8分)如圖,AB是O的直徑,作半徑OA的垂直平分線,交O于C,D兩點,垂足為H,連接BC,BD.(1)求證:BC=BD.(2)已知CD=6,求O的半徑長.【解析】(1)AB是O的直徑,且ABCD,CH=DH,BC=BD.(2)連接OC,CD平分OA,設O的半徑為r,則OH=12r,CD=6,CH=12CD=3.CHO=90,OH2+CH2=CO2,(12r)2+32=r2,r=23.故O的半徑長是23.【方法技巧】圓中經常用到作輔助線的方法1.連接圓心和弦的端點作出半徑.2.過圓心作弦的垂線.通過輔助線將垂徑定理和勾股定理有機結合,化圓中問題為三角形問題.8.(8分)如圖,AB是O的直徑,BC是弦,ACBC,ODBC于E,交O于D.(1)請寫出三個不同類型的正確結論.(2)若BC=8,ED=2,求O的半徑.【解析】(1)不同類型的正確結論有BE=CE;CD=BD;BED=90;BOD=A;ACOD;OE2+BE2=OB2;SABC=BCOE.(答案不唯一)(2)ODBC,BE=CE=12BC=4.設O的半徑為R,則OE=OD-DE=R-2,在RtOEB中,由勾股定理得OE2+BE2=OB2,即(R-2)2+42=R2,解得R=5,O的半徑為5.【培優(yōu)訓練】9.(10分)如圖,某條河上有一座圓弧形拱橋ACB,橋下面水面寬度AB為7.2 m,橋的最高處點C離水面的高度是2.4 m.現在有一艘寬3 m,船艙頂部為方形并高出水面2 m的貨船要經過這里,問:這艘船能否通過這座拱橋?說明理由.【解析】如圖,MEFN為貨船的頂部,貨船沿中心OC前進最有利,連接OA,ON,設CD交MN于H.AB=7.2,CD=2.4,EF=3,且D為AB,EF的中點,ODAB,OCMN.設OA=R,則OD=OC-CD=R-2.4,AD=12AB=3.6,在RtOAD中,有OA2=AD2+OD2,即R